Численные методы (лекции)2013

Этот метод называется методом Ньютона или методом касательных. Заметим, что метод Ньютона состоит в том, что мы находим касательную в точке xn. Затем ищем пересечение этой касательной

сосью Ox. Это и будет следующее приближение. Метод Ньютона можно записать, как

xn+1 = s(xn),

где

Рассмотрим вопрос о сходимости метода Ньютона. Для этого нам потребуется теорема о среднем.

Теорема 8.4. Пусть f (x) и g(x) непрерывные функции на отрезке [a; b] и g(x) неотрицательна. Тогда существует ξ [a; b] такое, что

Z b Z b

f (x)g(x)dx = f (ξ) g(x)dx.

a a

Теорема 8.5. Пусть x корень уравнения f (x) = 0. Предположим, что f (x) дважды дифференцируемая функция на отрезке Ur (x ), f ′′(x) непрерывна на этом отрезке и f ′(x) =6 0 на Ur (x ). Пусть

0 < m1 = inf |f ′(x)|, M2 = sup |f ′′(x)|,

причем

q = M2|x0 − x | < 1.

2m1

Тогда метод Ньютона сходится для любого x0 Ur (x ).

Доказательство. Перепишем метод Ньютона в виде

f (xn) xn+1 − x = xn − x − f ′(xn) ,

30

или

8.3. Метод секущих. Метод секущих состоит в том, что мы проводим через две точки (xn−1, f (xn−1) и (xn, f (xn)) прямую, и ищем пересечение ее со осью Ox. В аналитической записи метод секущих записывается так

xn − xn−1

xn+1 = xn − f (xn) − f (xn−1) f (xn).

9.Лекция 9

9.1.Численное дифференцирование. Простейшие слу-

чаи. Пусть дано разбиение a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b отрезка [a; b] на n равных частей, т.е. xi = a + ih. Мы хотим приблизить производные функции u(x). Обозначим ui = u(xi), u′i = u′(xi) и u(ik) = u(xi). В качестве приближенного значения u′(xi) мы можем взять одно из следующих выражений

31

Найдем погрешность. Для этого воспользуемся формулой Тейлора. Получаем

= u′i + h2 (u′′′(ζ3) + u′′′(ζ4)), 12

где ζ3, ζ4 [xi−1; xi+1]. Мы можем считать u′′′(x) непрерывной. Тогда существует ζ5 [xi−1; xi+1] такой, что u′′′(ζ3) + u′′′(ζ4) = 2u′′′(ζ5). Отсюда

где ξ1, ξ2, ξ3 [xi−1; xi+1].

9.2. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши

x′ = f (t, x), x(t0 ) = x0.

Пусть ti = t0 + τ i равномерная сетка с шагом τ . Тогда рассмотрим разностное уравнение

xn+1 − xn = f (tn, xn).

τ

32

Таким образом, мы получим приближенные значения функции x(t) в точках tn. Данный метод называется методом Эйлера. Мы будем говорить, что разностный метод сходится в точке t, если при τ → 0 и tn = nτ = t последовательность |xn − x(tn)| → 0. Метод сходится на отрезке [t0; T ], если он сходится в каждой точке. Погрешностью метода в точке tn называется rn = xn −x(tn). Рассмотрим равенство

Z τ

x(tn+1) = x(tn + τ ) = x(tn) + x′(tn + z)dz.

0

Заменим R0τ x′(tn + z)dz на τ x′(tn) + O(τ 2). Тогда

x(tn+1) = x(tn) + τ x′(tn) + O(τ 2) = x(tn) + τ f (tn, xn) + O(τ 2).

Таким образом, мы получили метод Эйлера. Заметим, что погрешность метода Эйлера в точке tn равна O(τ ).

Теперь, вместо τ x′(tn) + O(τ 2) воспользуемся формулой трапеции

Кутта второго порядка.

Запишем явный вид методов Рунге–Кутта. В процессе вычисления фиксируются некоторые числа

α2, . . . , αq p1, . . . pq , βij , 0 < j < i ≤ q

последовательно получаем

k1(τ ) = τ f (tn, xn),

k2(τ ) = τ f (tn + α2τ, xn + β21k1(τ )),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

kq (τ ) = τ f (tn + αq τ, xn + βq1k1(τ ) + · · · + βq, q − 1kq−1(τ ))

и полагаем

q

X

xn+1 = xn + piki(τ ).

i=1

33

34