ЛР № 100

Поскольку значения физических величин, полученные в результате измерений, имеют погрешности, они выражаются не точными, а приближенными числами. Незначащими цифрами приближенного числа называются нули, стоящие слева от первой отличной от нуля цифры в десятичных дробях, и нули, поставленные в конце числа, вместо цифр, отброшенных при округлении. Остальные цифры называются значащими. Например, в числе 0,00123 значащими являются цифры 1,2,3 ; в числе 508000 , полученном округлением числа 507893 , последние три нуля – незначащие. В конце числа могут быть и значащие нули. В качестве примера можно привести выражение 5 км 5000 м. Здесь нули не заменяют отброшенные при округлении цифры, а выражают точное соотношение между единицами длины.

Для того чтобы числа не содержали незначащих нулей слева, их принято записывать в так называемой рационализированной форме, которую можно символически представить в виде выражения

а, b... 10c ,

где a,b... – цифры, причем a 0 ; c – показатель степени. При такой записи числа рассмотренных примеров имеют вид 0,00123 1,23 10 2 , 508000 5,08 105 . Значащие цифры при такой записи не отбрасываются:

5 км 5,000 103 м.

При промежуточных расчетах и окончательной записи следует соблюдать следующие правила.

1)Все предварительные расчеты результатов измерений следует производить не более, чем до 3–4 значащих цифр.

2)Значение доверительной погрешности достаточно предварительно рассчитать с точностью до 2 значащих цифр, а для окончательной записи округлить до одной значащей цифры. Данное правило объясняется тем, что при небольшом числе наблюдений (как правило, в учебной лаборатории их не более 5–7) значение погрешности определяется весьма приближенно, и нет особого смысла сохранять в записи большее число значащих цифр.

3)Разряды последних приводимых в окончательной записи значащих цифр результата и его погрешности должны совпадать.

Примеры, иллюстрирующие применение на практике вышеприведенные правила:

12

Напоминание о необходимости указывать в записи окончательного результата единицу измерения, в которой выражается измеряемая величина, и значение доверительной вероятности результата было бы излишним, если бы преподавателям не приходилось постоянно сталкиваться на практике с подобной ’’забывчивостью’’ учащихся.

ПОГРЕШНОСТИ ОДНОКРАТНЫХ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ (приборные погрешности)

Однократное измерение величины х дает единственный результат, который и принимается за результат измерения. Иногда однократность является вынужденной (если, например, измерения уникальны и дорогостоящи). Однократными измерениями ограничиваются и тогда, когда при повторных наблюдениях получаются одинаковые по значению результаты и их дальнейшее повторение лишено смысла. Однако это не означает, что единственное значение, полученное в измерении, является точным. Абсолютно точных приборов не существует, результаты любых измерений будут содержать ошибки, вносимые самими приборами. В большинстве случаев выбор между однократными и многократными измерениями делает экспериментатор, анализируя как качество средств измерения, так и особенности самой измеряемой величины.

Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от того, каким прибором или инструментом оно выполняется. У многих приборов, в основном электроизмерительных, на лицевой панели

указывается так называемый класс точности. Значение класса точности К выражает в процентах от верхнего предела измерения xmax прибора его предельно допустимую погрешность , а именно

К x 100 % ,

max

откуда можно вычислить предельно допустимую погрешность по формуле

точности К 0,5. Тогда предельно допустимая погрешность ( Uпр ) данного прибора

13

Uпр 10 2 0,5 150 0,75 B 0,8 B.

Это значение погрешности неизменно при любом показании прибора. Доверительная вероятность погрешностей, определяемых по формуле (8),

полагается равной единице P 1 .

На электрических сопротивлениях и емкостях предельные погрешности обычно указывают в процентах по отношению к их номиналу. Например, запись на сопротивлении

R 1 кОм 10%

означает, что предельная погрешность данного сопротивления составляет

Rпр 0,1 1 0,1 кОм

Аналогично запись на электроемкости C 3500 пФ 20% означает,

Спр 0,2 3500 700 пФ.

Цифровые электроизмерительные приборы имеют, как правило, предельную погрешность, составляющую единицу последнего разряда при индикации результата.

В таблице 3 указаны предельные погрешности приборов и инструментов, наиболее часто используемых в лабораторном физическом практикуме

Таблица 3

Предельные погрешности лабораторных приборов и инструментов

14

Погрешности, указанные в таблице 3, включают в себя неточности изготовления приборов, погрешности в нанесении их шкал, а также погрешности счета показаний (округление отсчетов), которые поэтому отдельно не рассматриваются. Подчеркнем, что погрешности, приведенные в этой таблице, являются предельными, т.е. отвечают вероятности P 1.

При P 1 приборная погрешность рассчитывается по формуле

либо берется равным цене деления или половине цены деления прибора (см. таблицу 3).

Обобщая правила вычисления погрешностей при прямых измерениях, необходимо иметь в виду следующее. При прямых измерениях каким–либо прибором, когда получаются неповторяющиеся отсчеты и нужно находить среднее, прежде всего следует оценить приборную погрешность согласно данным таблицы 3. В случае приблизительного равенства погрешностей

xсл и xприб результирующую погрешность результата измерений вычисляют по формуле

15

xсл t n,P S(x) окажется по крайней мере в 2 раза меньше приборной

xприб , то случайной погрешностью можно пренебречь и тогда

x xприб . Отметим, что случайную погрешность можно сделать

очень малой величиной (например, за счет увеличения числа измерений), однако измерения не могут быть точнее, чем это допускает прибор. И наоборот, когда случайная погрешность по крайней мере в 2 раза больше,

чем приборная, то пренебрегают последней и x xсл .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

В большинстве экспериментов интересующая нас величина непосредственно не измеряется. Вместо этого измеряются другие

Если для каждого аргумента в выражении (11) экспериментально

A A(x, y, z,...),

получающееся при подстановке в выражение (11) вместо истинных значений аргументов их средних экспериментальных значений.

Доверительная погрешность A косвенных измерений величины A определяется погрешностями x, y, z,... прямых измерений (однократных или многократных) всех аргументов x, y, z,..., входящих в формулу (11).

Полное приращение A функции A(x, y, z,...) , обусловленное изменением ее аргументов x, y, z,...на малые величины x, y, z,... , может быть, как известно из курса высшей математики, c достаточной точностью вычислено по формуле

16

соответствующим аргументам. При вычислении частной производной все

аргументы функции A A(x, y, z,...), кроме того, по которому производится дифференцирование, считаются постоянными.

Рассматривая в выражении (12) величины x, y, z,... как погрешности прямых (однократных или многократных) измерений аргументов x, y, z,..., можем считать каждый из слагаемых правой части

этой формулы вкладом в общую погрешность измерений функции A . Полагая эти вклады независимыми, по принятому в математической статистике закону сложения погрешностей получаем общую формулу для

вычисления погрешности A при косвенных измерениях

Таким образом, для того чтобы определить абсолютную погрешность результата косвенного измерения, следует найти частные производные

функции A по всем аргументам, подставить в них найденные на предыдущем этапе измерений средние значения аргументов x, y, z,... и провести расчет по формуле (13).

При расчете погрешностей по формуле (13) допустимо пренебрегать теми слагаемыми подкоренного выражения, которые по крайней мере в 2 – 3 раза меньше максимального. (коэффициент 3 применяется в тех случаях, когда слагаемых много и малые погрешности могут внести заметный вклад в общую погрешность). Это соображение существенно упрощает расчет погрешности, а также позволяет четко выявить тот аргумент, погрешность которого имеет определяющее значение. Данный подход удобен при обсуждении результатов и важен для поиска путей повышения точности результатов.

Если искомая функция A A(x, y, z,...) удобна для логарифмирования (представляет собой произведение простых функций измеряемых аргументов), учитывают, что полное приращение функции

(ln A) может быть с достаточной точностью рассчитано по формуле

и вместо выражения (13) получают следующее соотношение

17

Заметим, что правая часть выражения (15) дает значение относительной

погрешности E( A) A результата данного косвенного измерения.

A

Окончательно рекомендуется следующий алгоритм обработки результатов косвенных измерений.

1. Выполнить (однократные или многократные) прямые измерения аргументов х, y, z... измеряемой функции A(х, y, z,...)

x1, х2 ,..., хnx ; y1, y2 ,..., yny ; z;... .

(Подразумевается, что величина z является результатом однократного прямого измерения.)

2. Найти среднеарифметические значение аргументов

3. Вычислить абсолютные погрешности отдельных результатов наблюдений для каждого аргумента (при многократных его измерениях), а также их квадраты и соответствующие суммы

прологарифмировать ее и по формуле (15) вычислить относительную погрешность

результата измерений по общей формуле (13)

18

6. Вычислить предварительный результат измерений

AA(x, y, z,...) .

7.Округлив результат измерений и погрешность, записать окончательный результат в виде

НЕВОСПРОИЗВОДИМЫЕ КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Иногда при выполнении косвенных измерений невозможно повторить наблюдения в тождественных условиях относительно одного или нескольких аргументов измеряемой функции. Например, при измерении коэффициента вязкости жидкости в нее бросают металлические шарики (дробинки). Каждый из брошенных в жидкость шариков сразу же достать нельзя. Условия опытов, повторенных с разными шариками, не будут одинаковыми из-за различия размеров и формы шариков, различного состояния их поверхностей и т.д. В этом случае говорят, что косвенные измерения невоспроизводимы. Тем не менее коэффициент вязкости характеризует одну и ту же исследуемую жидкость, и расчет должен давать близкие значения этого коэффициента для всех шариков.

Для невоспроизводимых косвенных измерений рекомендуется следующий порядок обработки их результатов.

рассматривается затем как случайная величина с нормальным законом

распределения погрешностей Ai . Иначе говоря, значения Ai рассматриваются как результаты прямых многократных измерений

физической величины A . В соответствии с этим в качестве наиболее вероятного значения берется среднее арифметическое

А1 n Аi ,

n i 1

апогрешность вычисляется по формуле (как случайная погрешность)

19

т.е. по правилам обработки результатов прямых многократных измерений.

ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Пример 1. В работе № 103 коэффициент поверхностного натяжения жидкости определяется по расчетной формуле

внешний диаметры кольца соответственно.

Для получения расчетной формулы погрешности учтем, что выражение

(16)относительно удобно для логарифмирования (содержит три

множителя: F,(D1 D2 ), ) и, следовательно, целесообразно искать погрешность по формуле (15) с учетом замены соответствующих значений функции и аргументов:

ln ln F ln(D1 D2 ) ln .

Находим частные производные

Выражение для расчета относительной погрешности будет

Отсутствие в данной формуле значения относительной погрешности числа обусловлено тем, что в настоящее время значение этого числа известно с высокой точностью.

20

Пример 2. В работе № 108 требуется определить отношение

C

p

теплоемкостей (коэффициент Пуассона) воздуха C . Расчетная

v

формула имеет вид

где h1 и h2 – разности уровней жидкости (воды) в манометре для некоторых двух состояний воздуха в сосуде.

Косвенные измерения в данном эксперименте являются невоспроизводимыми, поскольку, повторяя опыт, накачать и выпустить каждый раз одинаковое количество воздуха невозможно. Значения вычисляются в каждом наблюдении по результатам прямых измерений

величин h1 и h2 , а затем обрабатываются как результаты прямых многократных измерений. Следовательно, доверительная погрешность

определяется как случайная по формуле

Пример 3. В лабораторной работе № 117 коэффициент жесткости пружины определяется по формуле

пружины при увеличении массы груза на 50 г, g – ускорение свободного падения (на широте Санкт–Петербурга).

Воспользовавшись алгоритмом обработки результатов косвенных измерений в случае удобной для логарифмирования расчетной формулы, получим (см. пример 1) выражение

в котором погрешностью ускорения свободного падения можно пренебречь в силу ее малости.

В этой работе требуется также найти экспериментальное и расчетное значения периодов колебания груза Tэксп и Tтеор (масса груза задается

преподавателем). Соответствующие формулы погрешностей имеют следующий вид:

а) для расчетного значения периода колебания груза

21