Сандаков Решение ОДУ

плексных) решений системы (6.5), подчиняющейся условиям:γ2 = γ3 =... = γrm −1 = 0 , γ1 ≠ 0 , т.е. находят максимальное число ли-

нейно независимых вещественных (или комплексных) решений системы

При этом очевидно, что γ0 также отлично от нуля. Если число

вновь найденных линейно независимых решений системы (6.7) вместе с числом линейно независимых решений системы (6.6) окажется меньше rm, то разыскивают максимальное число линейно независимых вещественных (или комплексных) решений системы

(6.5), подчиняющейся условиям γ3 = γ4 =... = γrm −1 = 0 , γ2 ≠ 0 , т.е.

находят максимальное число линейно независимых решений системы

При этом, как легко видеть, векторы γ0 и γ1 также отличны от нуля.

Если число вновь найденных линейно независимых решений системы (6.8) вместе с числом линейно независимых решений систем (6.7) и (6.6) окажется меньше rm, то указанный процесс построения линейно независимых решений вида (6.4) продолжают.

Утверждается, что на каком-то k-м шаге (0 ≤ k ≤ rm – 1) мы получим rm линейно независимых решений системы (6.1) вида (6.4), при этом все rm линейно независимых решений (6.4) системы (6.1)

окажутся такими, что γk +1 = γk +2 =... = γrm −1 = 0 . Пример 6.1. Найти общее решение системы

y1′(x) =3y1 − y2 + y3 ;y2′(x) = y1 + y2 + y3 ;

y3′(x) = 4y1 − y2 + 4y3.

Решение. Характеристическое уравнение данной системы имеет вид

31

или

det(A −λE) = (3 −λ)(1−λ)(4 −λ) −2(1−λ) =

= (1−λ)(λ2 −7λ+10) = (1−λ)(λ −2)(λ −5) = 0,

т.е. это уравнение имеет три различных вещественных корня λ1 = 1,

λ2 = 2, λ3 = 5.

Координаты собственных векторов h1, h2, h3 , отвечающих соб-

ственным значениям λ1, λ2, λ3, находятся из систем, соответственно,

Из этих систем видим, что в качестве собственных векторов можно взять

Следовательно, общее решение заданной системы дифференциальных уравнений имеет вид

Пример 6.2. Найти общее решение системы

y1′(x) = 2y1 − y2 ;y2′(x) = y1 + 2y2 .

Решение. Характеристическое уравнение данной системы имеет

вид

32

или

det(A −λE) = (2 −λ)2 +1 = 0.

Это уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня λ1 = 2 + i,

λ2 = 2 – i.

образуют фундаментальную (комплексную) систему решений, а вектор-функции

образуют вещественную фундаментальную систему решений. Таким образом, общее решение заданной системы имеет вид

33

имеет кратный корень λ1 = λ2 = 2. Будем искать линейно независимые решения системы в виде

где γ0 и γ1 – подлежащие определению постоянные вектор-столбцы. Подставляя решение вида (6.10) в заданную систему, имеем

γ1e2 x +2(γ0 + γ1x)e2 x = A(γ0 + γ1x)e2 x .

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим для определения вектор-столбцов γ0 ,γ1 систему

ние системы имеет такой же вид, что и (6.12), следовательно,

34

γ1 = γγ11 = −11 .

21

Подставив γ1 во второе уравнение системы, получим

или γ10 + γ20 = 1, т.е. за γ0 можно взять вектор-столбец

γ0 = 0 .1

Таким образом, согласно (6.10) получим следующее ненулевое решение системы (6.9):

Очевидно, что y1(x) и y2 (x) – линейно независимые решения си-

стемы (6.9) и поэтому образуют фундаментальную систему решений. Значит, общее решение системы (6.9) имеет вид

или

det(A −λE) = (4 −λ)(2 −λ)2 +(2 −λ) = (2 −λ)(λ2 −6λ+9) = = (2 −λ)(λ−3)2 = 0

имеет корни λ1 = 2 и λ2 = λ3 = 3.

35

Рассмотрим простой корень λ1 = 2. Найдем собственный вектор, отвечающий этому собственному значению λ1 = 2. Он является нетривиальным решением системы

Рассмотрим корень λ2 = λ3 = 3 кратности два. Найдем собственный вектор, отвечающий этому собственному значению. Он является нетривиальным решением системы

Эта система имеет два линейно независимых решения:

Следовательно, для собственного значения λ = 3 его алгебраическая и геометрическая кратности совпадают. Поэтому согласно вышеизложенному функции

образуют ФСР системы (6.13). Тогда общее решение системы (6.13) имеет вид

36

Решение. Характеристическое уравнение данной системы

или (4 −λ)(1−λ)2 +1+3(1−λ) = −λ3 +6λ2 −12λ+8 = (2 −λ)3 = 0 име-

где γ0 , γ1, γ2 – подлежащие определению постоянные вектор-

столбцы. Подставляя решение вида (6.15) в уравнение (6.14) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим для

определения вектор-столбцов γ0 , γ1, γ2 систему

37

Единственным линейно независимым решением этой системы

является вектор-столбец γ0 = 1 . Следовательно, согласно (6.15)

21

Таким образом, за второе ненулевое решение системы (6.14) вида (6.15) можно взять вектор-функцию:

38

Подставив γ2 во второе уравнение системы (6.19), получим

Таким образом, согласно (6.15) получим третье ненулевое решение

Решения y1(x) , y2 (x) , y3 (x) образуют фундаментальную си-

стему решений системы. Поэтому согласно утверждению 6.2 общее решение системы (6.14) имеет вид

39

Задачи для самостоятельного решения

40