Goryachev_Specialnye_glavy_funkcionalnogo_analiza_2013

6.а) Доказать утверждение:

7. Привести1пример расходящегося знакоположительно- ãî ðÿäà P an, у которого pn an < 1.

n=1

3.Знакопеременные числовые ряды

Âэтом разделе мы рассмотрим знакопеременные числовые ряды ряды, в которых как угодно далеко встречаются как положительные, так и отрицательные слагаемые, то

есть для всякого N найдутся номера n1 > N è n2 > N такие,

÷òî an1 > 0, an2 < 0.

Дело в том, если положительные и отрицательные слагаемые встречаются лишь до определ¼нного номера, а затем знак членов ряда стабилизируется, то после отбрасывания нескольких первых членов ряда (что, как уже отмечалось на с. 15, не влияет на сходимость ряда, а влияет лишь на сумму ряда в случае его сходимости) мы получаем либо

жительный ðÿä, ëèáî ðÿä знакоотрицательный , который становится знакоположительным после вынесения общего знака минус за знак суммы. Знакопеременные ряды уже упоминались на с. 25, когда шла речь о том, что для знакоположительного ряда сходимость эквивалентна ограниченности его частичных сумм.

3.1. Абсолютная и условная сходимость

1

Ðÿä P an называется абсолютно сходящимся, åñëè ðÿä

n=1

1

P

janj сходится.

n=1

Это понятие, разумеется, можно рассматривать для любого ряда, но интерес оно представляет лишь для ряда знакопеременного, так как для знакоположительного ряда абсолютная сходимость тождественна сходимости.

есть для любого " > 0 найд¼тся номер N, что для всех номе-

ров n и m таких, что m > n > N, имеет место неравенство

Ðÿä P janj знакоположительный, поэтому для иссле-

n=1

дования его на абсолютную сходимость можно применять признаки сходимости, установленные для знакоположительных рядов. Как мы видели, доказывая утверждения предыдущего раздела, очень часто бывает так: выполнение некоторого условия да¼т сходимость ряда, а невыполнение расходимость. Для знакопеременных рядов, как мы увидим ниже, чаще всего ситуация иная: если выполняется условие какого-то признака, то ряд сходится, а если не выполняется, то вопрос о сходимости оста¼тся открытым. Далее, признаки сходимости знакопеременных рядов, давая положительный ответ на вопрос о сходимости ряда, оставляют открытым ответ на вопрос о характере этой сходимости, то есть как сходится ряд: абсолютно или условно. Разумеется, если при исследовании ряда на абсолютную сходимость

в частности, в признаке Даламбера и радикальном призна-

äåë lim janj = 0.

n!1

3.2.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка

Рассмотрим вначале достаточные условия сходимости так называемых знакочередующихся рядов, то есть таких, члены которых поочер¼дно то неотрицательны, то неположительны.

Т е о р е м а 3.2 (признак Лейбница). Если числовая по- следовательность fung1n=1 монотонно не возрастает и стре-

мится к нулю:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (3.1) следует, что un > 0. Рассмотрим частичную сумму ч¼тного порядка S2m = a1 + a2 + + + a2m 1 + a2m = u1 u2 + + u2m 1 u2m. Мы видим,

Часть I. Числовые ряды

= S2m + u2m+1 u2m+2 > S2m . С другой сторо-

íû, S2m = u1 (u2 u3) (u2m 2 u2m 1) u2m 6 u1.

Таким образом, последовательность fS2mg1m=1 монотонно не убывает и ограничена сверху, следовательно, существует

предел lim S2m = S. Но частичная сумма неч¼тного по-

m!1

рядка S2m+1 = S2m + u2m+1, следовательно, согласно (3.1)

существует и lim S2m+1 = S. Отсюда вытекает, что исход-

m!1 1 1

íûé ðÿä P an = P( 1)n 1 un сходится к сумме S. Теорема

n=1 n=1

доказана.

С л е д с т в и е (оценка остатка знакочередующихся ря-

дов). Пусть выполняются условия теоремы 3.2 и сумма ря-

1

äà P( 1)n 1 un = S. Тогда

n=1

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. При доказательстве теоремы 3.2 получено, что частичные суммы ч¼тного порядка S2m, ìî- нотонно не убывая, стремятся к сумме ряда S. С другой

стороны, S2m+1 = S2m 1 (u2m u2m+1) 6 S2m 1, то есть частичные суммы неч¼тного порядка стремятся к тому же числу S, монотонно не возрастая. Поэтому для всякого m

справедливы следующие неравенства:

Из двойного неравенства (3.3), как нетрудно видеть, следует, что

Из неравенства (3.5) при неч¼тных n и из неравенства (3.6) при ч¼тных n вытекает неравенство (3.2). Следствие доказано.

Неравенство (3.2) используется при приближ¼нных вы- числениях с помощью рядов, так как да¼т возможность оценить количество слагаемых в знакочередующемся ряде с монотонно (по абсолютной величине) невозрастающими членами, чтобы получить сумму ряда с заданной точностью " > 0:

нужно взять столько слагаемых, чтобы абсолютная величи- на первого отброшенного слагаемого была меньше ".

П р и м е р. Рассмотрим ряд

n=1

называемый рядом Лейбница. Общий член этого ряда an =

всем условиям теоремы 3.2, следовательно, он сходится, åãî

1

сходимость условная, òàê êàê ðÿä P janj расходящий-

n=1

ñÿ гармонический ряд (1.11). Найд¼м сумму этого ряда. Согласно (2.40) и (2.41) имеем, что частичные суммы ряда (3.7)

3.3.Преобразование Абеля. Признаки Дирихле и Абеля

Для получения других признаков, которые можно применять не только к знакочередующимся, но и к другим зна-

копеременным рядам, рассмотрим преобразование Абеля. Пусть имеются две числовые последовательности: fang1n=1

è fbng1n=1. Обозначим через fBkg1k=1 последовательность ча-

1

Пусть m и n любые номера, такие, что m > n > 1. Тогда, используя (3.10), имеем

+an+2(Bn+2 Bn+1) + + am(Bm Bm 1):

Раскрывая в (3.11) скобки и перегруппировывая слагаемые,