КТП

3. 4–вектор

Спинор ϕ преобразуется по представлению (1/2, 0) : ϕ → (1/2, 0) а ϕ → (0, 1/2) . В силу этого прямое произведение ϕ ϕ преобразуется по неприводимому представлению ϕ ϕ → (1/2, 1/2) , а это есть 4–вектор. 4– вектор распадается на скаляр и вектор: ϕ+ϕ — скаляр, а ϕ+~σϕ — вектор. Итак,

Аналогично для компонент χ

Формы (2.172) и (2.173) являются 4–векторами относительно собственной группы Лоренца, так как при отражении переходят друг в друга, а не сами в себя. Очевидно, что 4–х компонентными величинами, переходящими сами в себя являются их линейные комбинации

i = 0, 1, 2, 3.

4–мерный вектор относительно полной группы Лоренца

Матрицы γi называют матрицами Дирака. Отметим, что вид матриц (2.175) отвечает так называемому спинорному представлению.

Свойства:

γ0+ = γ0, ~γ0+ = −~γ0, γ02 = 1, γα2 = −1, α = 1, 2, 3.

4. Псевдовектор

Псевдовектор означает, что при пространственных отражениях его 3- х мерная величина не меняет знак, а скалярная изменяет, поэтому для его построения достаточно в форме (2.174) изменить знаки. Эта форма выражается через

Замечание.

Подчеркнем существенное различие в структуре скаляра (псевдоскаляра) и вектора (псевдовектора). В скалярных величинах спарены спиноры ϕ+χ и χ+ϕ , а в векторных — ϕ+ϕ и χ+χ . Учитывая, что компоненты ϕ+ϕ и

произведения ϕ+ χ и χ+ ϕ . Так как спиноры χ и ϕ+ преобразуются по представлению (0, 1/2) , а ϕ и χ, + — по представлению (1/2, 0) , то прямое произведение этих спиноров может быть записано в следующем виде:

Первые слагаемые в правых частях (2.177) дают скаляры ϕ+χ и χ+ϕ относительно собственной группы Лоренца. Используя их линейные комбинации, мы построили ранее скаляр и псевдоскаляр относительно полной группы Лоренца. Взяв же сумму и разность вторых слагаемых в (2.177) (которые являются 4–векторами), получим еще одну ковариантную относительно полной группы Лоренца величину — антисимметричный тензор вто-

Данное выражение содержит шесть компонент и представляет собой антисимметричный тензор второго ранга. Он может быть записан в следующем

Всего 16 компонент, как и должно быть (прямое произведение биспиноров содержит 16 компонент).

Замечание.

Полученные соотношения очевидно справедливы и для различных бис-

пиноров ¯1 2 , так как это не отражается на трансформационных свойствах

ψ ψ

этих физических величин.

2.18 Алгебраические свойства матриц Дирака

Напомним еще раз выражения для матриц Дирака:

Отметим, что равен нулю также шпур произведения любого числа γ –матриц, если какая либо из них встречается нечетное число раз (произведение четного числа γ –матриц равно ±1 ).

5. Любую матрицу Q размером (4×4) можно разложить по базису из 16–ти

Для определения Ci умножим левую и правую часть (2.187) на матрицы i и возьмем шпур:

16

X

Sp(Q i) = CiSp( i j) = CiSp( 2i ),

i=1

поскольку Sp( i j) = 0 , если i 6= j . Таким образом

6. Так как γ –матрицы являются векторными (мы при помощи них образовывали векторы), то можно соорудить контравариантные γ –матрицы

Отметим, что в теории часто будут встречаться свертки 4–векторов ai = (a0,~a) с γ –матрицами

Докажем это соотношение:

akγiγkγi =

= akγi(2ηik − γkγi)γi = 2aiγi − aˆ(γiγi) = 2ˆa − 4ˆa = −2ˆa.

|{z}

Выражение, подчеркнутое фигурной скобкой, есть γ02 − ~γ2 = 1 − (−3) = 4 ; 3)

8. Для шпуров сверток aˆ и их произведений имеют место формулы, которые получаются если использовать свойство 1 и соотношение

76 Глава 2. Группа вращений и группа Лоренца

ˆˆˆ

Sp(abc) = 0,

ˆˆˆˆ −

Sp(abcd) = 4[(ab)(cd) (ac)(bd) + (ad)(bc)].

9. Представление Дирака.

Алгебраические свойства γ –матриц не изменятся при преобразованиях

здесь S — некоторая матрица, не зависящая от γi . Такому преобразованию γ –матриц соответствует следующее преобразование биспинора

С точки зрения трансформационных свойств биспинора, преобразование (2.197) означает переход от представления T (1/2, 0) к эквивалентному представлению ST (1/2, 0)S−1 . При этом, очевидно, тензорные свойства билинейных форм остаются неизменными. В конкретных физических приложениях оказывается удобным перейти от матриц γi (2.181) (этот вид называют представлением Вейля или расщепленным представлением (спинорным — по Ландау): в этом представлении матрица γ0 антидиагональна, а γ5 — диагональна) к другому их представлению с помощью (2.196) со следующей унитарной матрицей S

Выражения (2.200) есть представление Дирака (в этом представлении матрица γ0 диагональна, а γ5 — антидиагональна). Биспинор в представлении Вейля (вейлевский биспинор) имеет вид

С помощью (2.197) получим биспинор в представлении Дирака (дираковский биспинор)

Отметим, что представление Дирака замечательно тем, что в нерелятивистском пределе компонента χ˜ (ϕ−ϕ) = 0 , то есть волновая функция вместо 4–х компонент имеет всего две компоненты.

Замечание.

В дираковском представлении (с диагональной матрицей γ0 ) используют разные варианты выбора матриц ~γ (несколько изменяя матрицу S ). В нашем варианте ~γ — антиэрмитов

Это так называемый фейнмановский вариант представления Дирака. Этот вариант удобен при выбранной нами метрике ( x0, x1, x2, x3; x0 = ct — дей-

ствительное)

x2 = x2 − ~x2 = inv

Если же вместо x0 = ct использовать мнимую координату

x4 = ict = ix0

и инвариантом является

x21 + x22 + x23 + x24 = inv,

тогда более удобно выбрать векторные γ –матрицы эрмитовыми, то есть

Это достигается тем, что в фейнмановском варианте ~γ → i~γ .