Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Atom-09

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

1.1.5. Собственная проводимость полупроводников

Рассмотрим полупроводник, не содержащий примесей и дефектов. Кроме этого пренебрегаем влиянием поверхностных состояний. При Т=0 К электропроводность такого проводника равна нулю, поскольку в нем нет свободных носителей заряда. Действительно, валентная зона полностью заполнена и не дает никакого вклада в проводимость, а зона проводимость пуста. ПриT 0 K появляется вероятность заброса электронов из валентной зоны в зону проводимости (рис. 1.4.).

В валентной зоне при этом образуются дырки. Ясно, что концентрация электронов n в зоне проводимости будет равна концентрации дырок p в валентной зоне (n=p).

Одновременно с процессом образования свободных носителей (генерацией) идет процесс их исчезновения (рекомбинации). Часть электронов возвращается из зоны проводимости в валентную зону и заполняет разорванные связи (дырки). При данной температуре за счет действия двух конкурирующих процессов генерации и рекомбинации в полупроводнике устанавливается некоторая равновесная концентрация носителей заряда. Так, например, при комнатной температуре концентрация свободных электронов и дырок составляет в кремнии примерно

10 см , в германии приблизительно 10 см .

Рис.1.4. Диаграмма собственной проводимости

Если к полупроводнику приложить электрическое поле +&', то в нем возникает ток, складывающийся из электронной и дырочной составляющих. Полупроводники, в которых за счет перехода некоторого количества электронов из валентной зоны в зону проводимости образуется такое же количество дырок, называют собственными. Соответственно, их проводимость, состоящую из электронной и дырочной составляющих, называют собственной проводимостью.

Приписав электронам в зоне проводимости и дыркам в валентной зоне эффективную массу, мы можем считать их свободными и воспользоваться выражением для электропроводности, полученным в модели свободных электронов Друде Так, например, электронная составляющая тока будет

	2
	j = ne v =	ne τ	E.	(1.25)
		*
		m
Здесь $RX		n
	- эффективная масса электрона, F - время релаксации.

Отсюда для удельной электропроводности с дрейфом электронов получаем

		σ =	ne2τ	(1.26)
		σ =	*	(1.26)
			m
Часто выражения для Y	и		n
Часто выражения для Y	и	записывают несколько иначе. Как и

для металлов введем подвижность электронов, численно равную

скорости

дрейфа

электрическом

поле

единичной

напряженности:

(1.27)

C учетом (1.27) для Y и имеем:

j = neµn E,

(1.28)

σ = neµn .

(1.29)

При этом

eτ

(1.30)

Аналогичное выражение можно написать и для дырочной составляющей. Результирующая электропроводность собственного полупроводника определяется суммой электронной и дырочной компонент

σ = enµn + epµ p ,

где Z[ – подвижность дырок. В (1.31) входят параметра полупроводника – концентрация носителей зарядов.

(1.31)

два важнейших и подвижность

Концентрация носителей. Равновесная концентрация электронов, для которых возможный интервал энергий лежит в пределах зоны проводимости, определяется выражением

Ec max	(1.32)
n = ∫ Nc (E ) f (E)dE,

где ?\ + – плотность электронных состояний в зоне проводимости, т.е. число состояний в единичном интервале энергий в единице объема кристалла, ]+ – известная функция распределения Ферми – Дирака, которая определяет вероятность того, что состояние с энергией E занято электроном в соответствии со следующим выражением.

	E − EF		−1
f (E )= exp		+ 1	(1.33)

	kT		,

где +K - энергия Ферми.

Учитывая, что для стандартной зоны проводимости E(k) имеет вид вблизи минимума

E = E +	ħ2k 2	= E +	p2	,
E = E +	2m*	= E +	2m*	,
c	2m*	c	2m*
	n		n

для ?\ + получаем выражение

2m* 2 1

Nc (E ) = 4π ħ2n (E − Ec )2 .

(1.34)

(1.35)

Аналогичное выражение мы получим и для валентной зоны. Так для максимума можно записать

E = E −

ħ2k 2

= E −

(1.36)

2m*

а для плотности состояния дырок имеем выражение

2m*

(1.37)

Nv (E )= 4π

(Ev − E)2 .

Подставляя выражение (1.35) и выражение (1.33) в (1.32),

получим выражение для концентрации электронов

2m*

∞

4π

(E − Ec )2 dE

n = ∫

(1.38)

E − EF

+ 1

exp

Интегрирование в (1.38) нужно провести от дна зоны E_ до её

потолка. Однако, функция Ферми –

Дирака при + T +K

быстро

спадает до нуля, и поэтому верхний предел интегрирования в (1.38) заменен на бесконечность.

Введем безразмерные переменные
	E − Eс	= ε ;	EF − Ec	= η.	(1.39)

	kT		kT

Величины ` и a представляют собой приведенные в единицах 1 энергию электрона в зоне проводимости и уровень Ферми, отсчитываемые от дна зоны +с. С учетом этого выражение (1.38) преобразуется к виду

		3			1
	2m* 2		3 ∞		ε2 dε
n = 4π		2n	(kT)2			= NcF1/2	(η ).
n = 4π	ħ	2n	(kT)2	∫0 exp(ε −η )+ 1		= NcF1/2	(η ).
	ħ			∫0 exp(ε −η )+ 1

где величина

			3
Nc = 2	2π m*kT 2
		n
	ħ	2
	ħ

(1.40)

(1.41)

получила название эффективной плотности состояний в зоне проводимости, а выражение

						1
F	η		=	2	∞	ε2 dε	-	(1.42)
F	η	)	=		∫0		-	(1.42)
1/2	(	)		π		exp(ε −η )+ 1
				π		exp(ε −η )+ 1

получило название интеграла Ферми – Дирака порядка 1⁄2. Формулу (1.40) можно записать в более удобном для расчетов виде, если в (1.41) подставить численные значения универсальных постоянных:

		3	3
n = 4,82 ×1015	m* 2			(1.43)
		n	T2 F1/2 (η ).

		m

Для равновесной концентрации дырок в валентной зоне запишем выражение, аналогичное (1.32)

Ev	(1.44)
p = ∫ N (E ) f p (E)dE.	(1.44)
Ev min
где ][+ - функция распределения дырок	в валентной зоне,

которая определяет вероятность того, что в состоянии термодинамического равновесия на уровне с энергией E отсутствует электрон, в соответствие со следующим выражением

f p (E )= 1 − f (E ) = 1 −

(1.45)

E − EF

EF − E

+ 1

exp

C учетом (1.45), а также (1.37) выражение (1.44) для

концентрации дырок принимает следующий вид

2m*p

(Ev − E)2 dE

p = 4π

∫

(1.46)

EF − E

−∞ exp

+ 1

Нижний предел интегрирования здесь заменен на N∞. Это можно сделать, если учесть, что функция ][ + быстро спадает.

Используя безразмерные переменные (1.39), а также введя обозначения

E − E

;

E − E

;

− E

(1.47)

= ε

= η + ε

+ ε

Выражение (1.46) приводим к следующему виду:

p = Nv F1/2 (−η − εi )

(1.48)

где Nυ - эффективная плотность дырочных состояний в валентной зоне, имеющая вид

	2π m* kT			3
Nυ = 2	2π m* kT			2
Nυ = 2		2		(1.49)
		p
	H
	H		,

а F1/2( 0 η 0 εi) 0 интеграл Ферми – Дирака для валентной зоны имеющий следующий вид

					1
		2	∞	εp	2 dεi		(1.50)
F1/2	(−η − εi )=		∫0			.
				exp(εp + εi + η )+ 1
		π
		π

Таким образом, исходя из выражений (1.32) и (1.48), можно сделать вывод, что для определения концентрации электронов и дырок p необходимо вычислить интегралы Ферми – Дирака (1.42), (1.50). Эти интегралы не вычисляются точно, но для них имеются приближенные выражения, справедливые для определенных областей изменения аргумента, которые значительно упрощают формулы для концентрации электронов и дырок:

пп

при

- Ґ < x < - 1

(1.51)

пe

= п

при - 1< x < 5

(1.52)

1/ 2

( )

0, 27 + e

при 5 < x < Ґ

(1.53)

оп3

Приближение (1.51) соответствует статистики Больцмана. Оно

справедливо при a de"fdс g N1, т.е. при +K g +с N 1 . Таким образом, если уровень Ферми лежит ниже края зоны

проводимости Ec более чем на 1 , то полупроводник описывается классической статистикой, т.е. является невырожденным. Если +K лежит выше +с более чем на 51 , то полупроводник полностью вырожден. Аппроксимация (1.52), справедливая для случая +с N 51 g +K gg +с 51 , пригодна для описания полупроводников с промежуточными (от невырожденных к полностью вырожденным) свойствами.

Используя приближения (1.51) и учитывая (1.43), находим концентрацию электронов в невырожденном собственном полупроводнике:

			3	3
	15	m* 2					E − E	F		(1.54)
n = 4,82	×10		n	T 2	exp	−	c

			m				kT		,

Температурная зависимость которой, в основном, определяется экспоненциальной составляющей.

Для полностью вырожденного полупроводника из (1.43) с учетом (1.51) и (1.53) получаем выражение для концентрации электронов

8π

2mn*

EF − Ec 2

(1.55)

n =

−E )

3 π

которое отражает отсутствие температурной зависимости.

Из (1.51) - (1.53) легко получить приближенное выражение для F1/2 ( 0 η 0 εi)

- h-

при-

< - h - e < - 1

(1.56)

пe

(1.57)

(- h -

e )= н

при- 1< - h -

e < 5

- h-

1/2

0, 27 + e

(1.58)

- h -

)

при5 < - h -

< Ґ

(

п3

При+K T +i 1 полупроводник

является

невырожденным, а

при +K gg +i N 51 – полностью вырожденным.

Принимая во внимание (1.56) и (1.58), из (1.48) получаем для концентрации дырок в невырожденном полупроводнике следующее выражение

4,82 1015 m* p = × p

3
2	3	exp		EF − Eυ
	T 2		−	EF − Eυ
	T 2		−
				kT
				kT

	(1.59)
	(1.59)

Для вырожденного полупроводника концентрация определяется выражением:

Eυ

− EF

8π

2 p

(E υ −EF )

p =

Nυ

3 π

дырок

(1.60)

Полученные выражения для n и p позволяют вычислять концентрацию электронов и дырок, если известно положение уровня Ферми. Поскольку положение уровня Ферми

определяется условием	электронейтральности	собственного
полупроводника, его можно найти, решив уравнение n=p или
Nc	F1/2 (η ) = Nυ F1/2 (−η − ε i )	(1.61)

Для невырожденного полупроводника (1.61) принимает вид

Nce	= Nυ e	−η −εi		(1.62)
η		−η −εi	,
			,

Из которого легко найти энергию Ферми EF :

E =	Ec + Eυ	+	kT	ln	Nυ	.	(1.63)
	2
F		2			Nc

или с учетом выражений (1.41) и (1.49) для Nν и Nc выражение (1.63) преобразуется в следующий вид:

			m*p		3
	E + E		m*p		4	(1.64)
EF =	c	υ	+ kT ln		.
EF =		2	+ kT ln	*	.
		2	m
				n

Если $[X $RX , то положение уровня Ферми в собственном полупроводнике на зависит от температуры и он лежит в середине запрещенной зоны. При $[X j $RX +K расположен в центре запрещенной зоны только для T=0 К. С повышением температуры он линейно смещается к той зоне, в которой меньше эффективная масса носителей, что иллюстрируется на рис 1.5.

U

UV

	lmX g lnX

Uk
Uk	X	X
	lm	ln
	lm	ln

	lnX g lmX

UW
UW

Рис.1.5. Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике

Учитывая, что в собственном полупроводнике 4 = 4 , определим собственную концентрацию носителей заряда:

1	1			E − E		(1.65)

ni = (n p)2	= (Nc Nυ )2	exp	−	c	υ
				2kT

или с учетом выражений для Nc и Nυ:

2π k 2

(1.66)

* *

= 2

(mn mp )4 T 2

exp

−

2kT

Концентрация носителей заряда (электронов и дырок) в невырожденном собственном полупроводнике оказалась не зависящей от положения уровня Ферми. Она увеличивается с температурой по экспоненциальному закону с энергией активации, равной половине ширины запрещенной зоны.

Температурная зависимость концентрации собственных носителей, построенная в координатах C4 4 от f, представляет собой практически прямую линию:


ni	= const −	3 ln		1	−	Eg	(1.67)
						2kT
		2	T

Поскольку функцией ln vfw можно пренебречь по сравнению с членом, пропорциональным vfw (рис. 1.6.).

rm ms

o⁄p

Рис.1.6. Зависимость концентрации носителей в собственном полупроводнике в координатах C4 4 от 1⁄

Тангенс угла наклона этой прямой определяется запрещенной зоны Eg в соответствии с выражением

tg (ϕ ) = − Eg 2k

шириной

(1.68)

Анализ (1.67) показывает, что для определения Eg можно использовать экспериментальную зависимость C4 4 от 1/T.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015197 Кб12art%3A10.1007%2Fs11089-008-0188-0.pdf
#
20.09.201930 Кб8asdasd.docx
#
17.03.2015367 Кб11Atom-03-05.pdf
#
17.03.2015441 Кб10Atom-04.pdf
#
17.03.2015402 Кб19Atom-07.pdf
#
17.03.20153 Мб15Atom-09.pdf
#
20.09.20192 Мб11Avstralia коррект.doc
#
06.03.20164 Мб18Azbuka_dlya_potrebiteley_uslug_ZhKKh.pdf
#
01.07.202571 Кб3AХ Лекция 11.doc
#
17.03.201529 Мб334Barrows_Clayton_W_-_Introduction_to_managemen.pdf
#
20.04.2019673 Кб14BFU.doc