Методичка для тех.спец. математика

39

x → a

x → a +

0 x > a

какое бы δ > 0 не взять, в частности, сколь угодно

малое, значение x (a, a + δ).

2 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.

Говорят,

что число A есть предел функции

y = f (x)

при

x → a

и

это записывают

так:

f(x) → A при

x → a

либо

lim f(x) = A ,

если для

ε > 0 , в

частности,

y

x→a

δ = δ(ε)

сколь угодно малого,

такое, что как

A + ε

только

0 < x − a < δ (ε),

(1)

• A

то для таких x имеет место

•

f (x) − A < ε ,

(2)

A − ε

то есть как только значение независимой пере-

•

менной

x попадает в δ −

окрестность точки

a − δ

a a + δ

0

x

a (x ≠ a), то соответствующее значение

f(x)

Рис. 4

попадает в ε − окрестность точки A (см. рис.

4).

В развернутом виде (1) и (2) имеют вид

a − δ < x < a + δ,

x ≠ a .

(3)

A − ε < f (x) < A + ε.

(4)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.

Функция α = α(x)

называется бесконечно малой

функцией (БМФ) при x → a , если lim α(x) = 0 .

x→a

Теорема 1.

lim f(x) = A если α(x) = f (x) − A есть БМФ при

x→a

x → a , т.е. lim α(x) = lim[f (x) − A] = 0 .

x→a

x→a

Говорят, что f(x) ограничена на числовом (точеч-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.

ном) множестве ω , если

M > 0

и для x ω выполняется требование

f (x) ≤ M .

Теорема 2. Если lim f (x) = A, A − число и A ≠ 0, то

1

ограничена

f (x)

x→a

3. Односторонние пределы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. lim f (x) = A (левосторонний предел функции,

x→a −0

предел функции слева)

ε > 0 , в частности, сколь угодно малого,

δ = δ(ε) > 0 такое, что как только x (a − δ, a), то для таких x выполняет-

ся неравенство

f(x) − A

< ε .

Аналогично определяется правосторонний предел функции (предел спра-

ва)

lim f (x) : ε > 0 ,

в частности, сколь угодно малого, δ = δ(ε) > 0 та-

x→a +0

Теорема 3. Предел функции y = f (x) когда совместно выполняют-

ся три условия:

10 . f (a − 0) − левосторонний предел;

2 0 . f (a + 0) − правосторонний предел;

30 . f (a − 0) = f (a + 0), т.е. односторонние пределы равны.

4. Бесконечно большая функция (ББФ).

lim f(x) = ∞,

f(x) → ∞ при

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.

Говорят, что

x → a , f(x) − ББФ при

x → a , если для

x→a

M > 0 , в частности, сколь угодно большо-

го,

δ = δ(M),

что

как

только

0 <

x − a

< δ(M) , то для таких x имеет ме-

M

y

сто

f (x)

> M .

0

x

(5)

a

опреде-

− M

a − δ •

a + δ

Геометрическая

интерпретация

ления 11 дана на рис. 5.

Рис. 5

lim α(x) = 0,

lim β(x) = 0 ,

(1)

x→a

x→a

то lim[α(x)± β(x)] = 0 .

(2)

x→a

5

0

. lim

a x −1

= ln a;

6

0

. lim

(1 + x)a −1

= a .

x

x

x→0

x→0

lim u(x)ϑ( x)

= {1∞ } ≡ lim[1 + (u(x) − 1)]ϑ( x) = lim[1 + α(x)]

ϑ( x) α( x)

=

α( x)

x→a

1

x→a

x→a

lim α(x )ϑ(x )

= lim [1

+ α(x)]

= e x

→a

.

α(x )

x→a

lim α(x)ϑ(x) = {0 ∞}. Таким образом,

Следовательно, остается

найти

{1∞ } {0 ∞}.

x→a

x 2 +1 x2 +1

1 x2

1

= lim 1 +

lim 1 +

=

ПРИМЕР 2.

2

2

2

lim

x

x

x

x→∞

x→∞

x→∞

1

x 2

= {1∞ }=

1

= lim 1 +

x 2 = α

= lim (1 + α)

= e .

α

x→∞

x 2

x→∞

Здесь использовалось следствие 20 второго замечательного предела.

4. Предел сложной функции. Справедлива

Теорема 4.

Если

lim u(x) = b и lim F(u) = A , то предел сложной

x→a

u→b

функции f(x) = F[u(x)] при x → a и равен A :

lim F[u(x)] = A .

x→a

0

∞

∞},{0

0 },{1∞ },{∞ 0 }

§4. Неопределенности вида

,

∞

,{0

0

0

f (x)

∞

1.

(см. Замечание §2);

2. lim

=

, если f(x) и g(x) − ББФ

0

x→a g(x)

∞

3.

lim{f(x) − g(x)} = {∞ − ∞}, если f(x) и g(x) − ББФ.

x→a

4.

lim α(x)f (x) = {0 ∞}, если α(x) − БМФ; f (x) − ББФ.

x→a