Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel2UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

3.2.31. Точка (3;−1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой y + 6 = 0. Составить уравнение этого эллипса, зная

его эксцентриситет ε = 2 2 .

3.2.32. Дана гипербола 16x 2 −9y2 −64x −54y −161 = 0. Найти: 1)

координаты ее центра C; 2) полуоси;	3)	эксцентриситет; 4) уравнения
асимптот; 5) уравнения директрис.
3.2.33. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в
вершинах эллипса 64x 2 +100y2 = 6400	, а	директрисы проходят через
фокусы этого эллипса.

3.2.34.Найти острый угол между асимптотами гиперболы, если ее

эксцентриситет равен 2.

3.2.35.Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет

ε= 54 , фокус F(5;0) и уравнение соответствующей директрисы 5x −16 = 0.

3.2.36.Парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку (4;−1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.

3.2.37.Установить, какие линии определяются следующими

уравнениями: 1) 4y − x 2 = 4x +8;

2)y = −2 x ;

3)16x 2 −9y2 −64x −54y −161 = 0;

4)y = −3 x 2 +1;

5)3x + 4 y2 +9 = 0 ;

6)x = −2 −5 −6y − y2 ;

7)16x 2 + 25y2 +32x −100y − 284 = 0 ;

8)ρ(3 − 2 cos ϕ)=12 ;

9)ρ(3 − 4 cos ϕ)=15;

10)ρ(4 −5cos ϕ)=18;

11)ρ(3 −3cos ϕ)=1.

3.2.38.Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точки

A и B, если: 1) A (1; 4; 3), B (2; 0; 5); 2) A (2;−1;4), B(3;5;7).

3.2.39.Найти параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A и B, если: 1) A (2;5;−1), B(3;4;5); 2) A (4;0;6), B(−1;2;3).

3.2.40.Найти общие уравнения прямой заданной в канонической форме:

1)x −2 4 = y 3+ 3 = z 5−1; 2) x 3+ 5 = y 4−1 = z−+14 .

3.2.41.Найти общие уравнения прямой, заданной в параметрической

форме:

x = 2 t +1,	x = −t + 4,	x = 3 t + 4,
			−1,
1) y = 3 t − 4,	2) y = 2 t −5,	3) y =t	−1,

z = 5 t + 6.	z = 3 t +1.	z =t.

3.2.42. Найти канонические уравнения прямой заданной общими

уравнениями: 1)	2 x + y − z	− 2	= 0,	2)	3 x − 4 y + z − 2 = 0,
						= 0.
	x + 4 y −5 z = 0.				4 x + y −3z −9

3.2.43. Найти параметрические уравнения прямой заданной общими

3x − y + z −1 =

2 x + 3 y + z − 4

= 0,

уравнениями: 1)

= 0.

6 x +y −9 z = 0.

x −y + 2 z −1

3.2.44. Доказать параллельность прямых:

x + 2

y −1

x + y − z = 0,

− 2

x − y −5 z −8 = 0;

2) x = 2 t + 5, y = −t + 2, z = t − 7 и x + 3 y + z + 2 = 0,
										x − y −3z − 2 = 0;
3)	x + y −3z +1 = 0,								x + 2 y −5 z −1 = 0,
					+ 3 = 0			и
	x − y + z								x − 2 y + 3 z −9 = 0.
3.2.45. Доказать перпендикулярность прямых:
1)		x	=	y −1	=	z	3 x + y −5 z +1 = 0,
							и
	1			− 2
					3		2 x + 3 y −8 z + 3 = 0;
	x = 2 t +1,							+ y − 4 z + 2 = 0,
2) y = 3 t −					2, и 2x
	z = −6 t +1						4 x − y −5 z + 4 = 0;

	x + y −3z −1 = 0,								и	2 x + y + 2 z + 5 = 0,
3)					9 z − 2 = 0
	2 x − y −									2 x − 2 y − z + 2 = 0.

3.2.46. Найти острый угол между прямыми:

x + 4	= y + 2	= z +1,	x −3			= y −3 = z − 4 .
1	−1	2		1			1			2
3.2.47. Определить косинус угла между прямыми
x + y + 4 z −3 = 0, x +1				=	y − 4		=	z +	2	.

			7			3		5
2 x − y + z −1 = 0			7			3		5
3.2.48. Доказать, что прямые заданные параметрическими уравнениями
x = 2 t −3, y = 3 t − 2, z = −4 t + 6							и			x = t + 5, y = −4 t −1, z = t − 4

пересекаются.

3.2.49.

При

каком значении m

прямые

x + 2

z −1

−3

x −3

y −1

z − 7

пересекаются?

Oy и

3.2.50.

Составить уравнение плоскости:

1) параллельной

оси

проходящей через точки A(2;1;−2) и B(−7;−2;1); 2) параллельной плоскости Oxz и проходящей через точку (2;−3;4); 3) проходящей через ось Ox и через точку (2;1;3).

3.2.51. Найти расстояние между параллельными плоскостями

5x +3y − 4z +15 = 0, 15x +9y −12z −5 = 0.

3.2.52.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1;−3;2) параллельно плоскости 7x − 4y + z − 4 = 0.

3.2.53.Через точки (1;2;3) и (− 2;−1;3) провести плоскость перпендикулярно плоскости x + 4y − 2z +5 = 0 .

3.2.54.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало

координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x − y +3z −1 = 0,

x + 2y + z = 0.

3.2.55.Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные

точки: 1) (1;2;0), (2;1;1), (3;0;1); 2) (1;1;1), (0;−1;2), (2;3;−1).

3.2.56.Найти острый угол между прямыми

2x +3y − 4z +5 = 0, x − y + 2z − 4 = 0,

x − y + z = 0.

+ y − z −5 = 0.

3.2.57. Через точку (2;−1;3) провести прямую, параллельную оси Ox .

3.2.58. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через

точку

(2;0;−3)

параллельно: 1)

вектору

a(2;−3;5);

2) прямой

x −1

y + 2 z +1

+ 2z −7 = 0,

3x − y

;

3) оси Ox ; 4) оси Oz; 5) прямой

− 2z −3 = 0.

−1

x +3y

6)прямой x = −2 + t , y = 2t , z =1− 2t .

3.2.59.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1;2;−1)

перпендикулярно прямой

x −3

y − 2

z +1

−3

x −1

y +1

z − 2

3.2.60. Найти точку пересечения

прямой

−1

плоскостью x + y − 2z − 4 = 0.

3.2.61.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1;1;−2)

ипрямую x 2−1 = y 1−3 = 5z .

3.2.62. Найти

уравнение

плоскости,

проходящей

через

прямую

x −1

y + 2

перпендикулярно плоскости 3x − y + 2z − 2 = 0.

3.2.63. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные

прямые:

x + 2

y −1

x −1

z +1

−1

3.2.64. Установить

тип заданных

поверхностей

построить

их:

x 2

=1;

x 2

−

=1;

x 2 − y2 = z2 ;

x 2 − y2 + z2 + 4 = 0;

3x 2 +5y2

=12z ;

4x 2 −8y2 +16z2

= 0 ;

8x 2 − 4y2 + 24z2 − 48 = 0; 8) 4x 2 −12y2 −6z2 =12 .

3.2.65.

Составить

уравнение

плоскостей,

касательных к

сфере

x 2 + y2 + z2 = 9 и параллельных плоскости x + 2y − 2z +15 = 0.

3.2.66.

Установить, при каких значениях m плоскость x + mz −1 = 0

пересекает двуполостный гиперболоид x 2 + y2 − z2

= −1: 1) по эллипсу; 2) по

гиперболе.

ОТВЕТЫ

3.2.1.1) y = x + 2; 2) k =1; 3) α = π4 .

3.2.2.1) y = 2 x − 4; 2) y = 2 x + 4; 3) x + 2 y −8 = 0.

3.2.3.(− 2; −1).

3.2.4.B(11;−11)

3.2.5.1) x +3y +11 = 0 ; 2) 3x − y − 27 = 0.

3.2.6.tg ϕ = 2; ϕ = 63o26′.

3.2.7.1) ϕ =135o ; 2) ϕ = 90o.

3.2.8.5 ед. масштаба.

3.2.9.4x −3y + 25 = 0.

3.2.10.3x − 4y +15 = 0 , 4x +3y −30 = 0, 3x − 4y −10 = 0 , 4x +3y −5 = 0.

3.2.11.(AB)4x − y −7 = 0 ; (BC)x +3y −31 = 0 (AC) x +5y −7 = 0.

3.2.12.1) (AB)x −4 2 = y 3+3 ; 2) (CD) x +3 2 = −y4 , h = 4; 3)

cos ϕ =1 10 ;

4)
x − 2	y + 2
L1 : 4 − 2 5 =	3 + 5 ,
L2 : (4 − 2 5) (x − 2)+ (3 + 5) (y + 2)= 0 .
3.2.13. x + y −7 = 0,	x + 7y +5 = 0, x −8y + 20 = 0 .

3.2.14. P (2; −1).

3.2.15. P (2;5).

3.2.16. 3 x −5 y −13 = 0, 8 x −3 y +17 = 0, 5 x + 2 y −1 = 0. 3.2.17. 3x + 7 y − 5 = 0, 3 x + 2 y −10 = 0, 9 x +11y + 5 = 0.

3.2.18. 8 x − y − 24 = 0 .
3.2.19. 5.
3.2.20. 49.	1) 4 x + 3 y −8 = 0, 4 x + 3 y +17 = 0,
3.2.21. Два квадрата:	1) 4 x + 3 y −8 = 0, 4 x + 3 y +17 = 0,
3 x − 4 y − 6 = 0,3 x − 4 y +19 = 0;	2)

4 x + 3 y −8 = 0, 4 x + 3 y −33 = 0, 3 x − 4 y − 6 = 0, 3 x − 4 y +19 = 0.

3.2.22.29 x − 2 y + 33 = 0.

3.2.23.3 x − 4 y + 20 = 0.

	3	2		9	2	65
3.2.24. x +			+ y +		=		.
3.2.24. x +	2		+ y +	2	=	2	.
	2			2		2

3.2.25.(x − 2)2 + (y − 4)2 =10 .

3.2.26.2.

3.2.27.3x − 4y + 43 = 0.

3.2.28.16.

3.2.29.1) 5 и 3; 2) F1 (0;−2) и F2 (0;2); 3) ε = 23; 4) y = ±92.

3.2.30.	x 2	+	y2	=1. Указание. Воспользоваться свойством эллипса:
	17		8

произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.

3.2.31.	x 2 + 2y2 −6x + 24y +31 = 0.
3.2.32.	1) C(2;−3); 2) a = 3; b = 4; 3) ε = 5 3; 4) 4x −3y −17 = 0,
4x +3y +1 = 0; 5) 5x −1 = 0 , 5x −19 = 0.

3.2.33.x 2 − y2 =1. 60 40

3.2.34.60o.

3.2.35.x 2 − y2 =1. 16 9

3.2.36.y2 = 14 x .

3.2.37.1) парабола; 2) часть параболы, расположенная в четвертом

координатном углу; 3) гипербола; 4) ветвь гиперболы, расположенная в нижней полуплоскости; 5) ветвь гиперболы, расположенная в левой полуплоскости; 6) половина эллипса, расположенная в левой полуплоскости; 7) и 8) эллипс; 9) гипербола; 10) правая ветвь гиперболы; 11) парабола.

3.2.38. 1)

x −1

y − 4

z − 3

; 2)

x − 2

y +1

z − 4

− 4

3.2.39. 1) x = t + 2, y = −t + 5, z = 6 t − 1;

2) x = −5t + 4, y = 2 t, z = −3 t +6.

3.2.40. 1)

3 x − 2 y −18 = 0,

4 x −3 y + 23 = 0,

+15 = 0.

3.2.41.

5 y −3z +18 = 0.

y + 4 z

3x − 2 y −11 = 0,

2 x + y −3 = 0,

x −

3z −

4 = 0,

− 2 z +17 =

= 0.

5 y −3z + 38 = 0.

3 y

y − z

3.2.42.1) x−−11 = y 9−1 = z 7−1; 2) x11− 2 = y13−1 = 19z .

3.2.43.1) x = 8 t + 1, y = 33 t + 3, z = 9 t + 1;

2) x = 7 t, y = −3 t +1, z = −5 t +1.

3.2.46.600 .

3.2.47.cos ϕ = 8341 .

3.2.49.m = 3.

3.2.50.1) x +3z + 4 = 0; 2) y +3 = 0; 3) 3y − z = 0 .

3.2.51.6.

3.2.52.7x − 4z +1− 21 = 0.

3.2.53.2x − 2y −3z +11 = 0.

3.2.54.7x − y −5z = 0.

3.2.55.1) x + y −3 = 0; 2) 2x − y −1 = 0.

3.2.56.cos ϕ = 0,9445; ϕ =19o11′.

y +1 = 0,

x − 2

y +1

z −3

3.2.57.

= 0.

или

z −3

z +3

3.2.58. 1)

x − 2

x +3

; 2)

x − 2

;

−3

−1

x − 2

z +3

; 4)

x − 2

z +3

;

x − 2

z +3

; 6)

x − 2

z +3

− 4

−1 2

3.2.59.x −3y + 4z +9 = 0.

3.2.60.(− 2;0;3).

3.2.61.2x + y − z −5 = 0.

3.2.62.4x + 2y −5z = 0 .

3.2.63.4x +13y − z −5 = 0.

3.2.64.1) эллипсоид; 2) однополостный гиперболоид; 3) конус; 4)

двуполостный гиперболоид; 5) эллиптический параболоид; 6) конус; 7) однополостный гиперболоид; 8) двуполостный гиперболоид.

3.2.65.x + 2y − 2z −9 = 0 ; x + 2y − 2z +9 = 0.

3.2.66.1) 1 < m < 2 ; 2) m <1.

3.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание №1

Даты координаты вершин треугольника ABC. Требуется: 1) вычислить длину стороны [AB]; 2) составить уравнение линии (AB); 3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины C; 4) вычислить расстояние от вершины C до стороны [AB]; 5) составить уравнение медианы, проведенной из вершины A ; 6) вычислить угол A в радианах с точностью до двух знаков.

№

−

10;

−

(6;1)

16.

(1;

−

(9; 4)

(6;10)

(

(7;7)

(12;0)

(18;8)

(0;5)

17.

(

1;1)

(4;13)

−

(10;

−

18.

(1;

−

6;5)

(6;11)

(

(7; 4)

(8; 2)

(14;10)

(

4;7)

19.

(

−

(4;10)

−

(9;8)

(2;

−

(

−

(14;1)

20.

(1; 2)

(6;14)

−

(2;

−

(8;7)

−

10; 4)

21.

(12;

−

10)

6;14)

−

12;

−

(

−

(5;

−

(1;10)

(17; 2)

22.

(5;

−

13;16)

−

19;

−

(

(14;

−

(20; 2)

(2;

−

23.

(18;

−

12)

(0;12)

−

(

(9; 29)

(3; 4)

(

1;7)

(15;9)

24.

(27;5)

(3;12)

−

10.

(1;

−

(7;6)

−

11;3)

25.

(30;

−

(12;17)

(6;0)

(

11.

−

(7;5)

(4;11)

26.

(15;13)

−

3;37)

−

9; 20)

(

−

12.

−

2;1)

(6;7)

(3;13)

27.

(3;11)

15;35)

−

21;18)

(

−

13.

(2;

−

(10;5)

(7;11)

28.

(9; 20)

9; 44)

−

15; 27)

(

14.

(1;1)

(9;7)

(6;13)

29.

−

31)

−

21;

−

27;

−

24)

(

−

15.

−

1; 2)

(7;8)

(4;14)

30.

(7;19)

11; 4)

−

17; 26)

(

Задание №2

1. Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через

точку

пересечения

его

сторон

x − y −1 = 0

y −1 = 0 , если известно,

что

диагонали параллелограмма пересекаются в точке (−1;0).

2.Найти координаты точки, симметричной точке (2; − 4) относительно прямой 4 x + 3 y +1 = 0.

3.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (−1; 2) так,

что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми x + 2y +1 = 0 и x + 2y −3 = 0 , лежит на прямой x − y − 6 = 0.

4. Даны уравнения двух сторон треугольника: 4x −5y + 9 = 0 и x + 4y −3 = 0 . Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медиана этого треугольника пересекаются в точке (3;1).

5. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух

его сторон: 2x − y + 4 = 0			и	2x − y +10 = 0 и	уравнение одной	из	его
диагоналей x + y + 2 = 0.				треугольника A (− 4;0) и B(4;1)
6.	Даны	две вершины				и точка
пересечения его высот D (3;5). Составить уравнения сторон треугольника.
7.	Даны	уравнения	высот треугольника		ABC : 3 x + 2 y + 6 = 0		и

x − y + 5 = 0 и координаты одной из его вершин A (−5;3). Найти уравнения

сторон треугольника.

8. Даны уравнения двух сторон треугольника: 5 x − 2 y −8 = 0 и 3 x − 2 y −8 = 0 . Составить уравнение третьей стороны, если известно, что ее середина совпадает с началом координат.

9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин
A (2;−3) и уравнения двух высот 7 x − 2 y −10 = 0 и 2 x − 7 y + 3 = 0 .
10.	Даны	уравнения основания равнобедренного треугольника
x + y − 4 = 0 и боковой стороны x − 2 y + 4 = 0.				Точка A (− 2;3) лежит на
второй боковой стороне. Найти уравнение второй боковой стороны.
11.	Даны две		противоположные вершины	ромба A (3; 4), C (1; − 2) и
уравнение	одной	из	его сторон x − y +1 = 0 . Найти уравнения остальных
сторон ромба.				M (2,1), N (5;3), P (3;−4).
12.	Даны	середины сторон треугольника

Составить уравнения сторон этого треугольника.

13.Составить уравнения сторон треугольника, если известны одна из его вершин (1;3) и уравнения двух медиан: x − 2 y +1 = 0 и y −1 = 0 .

14.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (1;3), так,

что середина ее	отрезка, заключенного между параллельными	прямыми
x + 2 y + 5 = 0 и x + 2 y +1 = 0 , принадлежит прямой x − y −5 = 0 .		A (0; 2) и
15. Составить уравнения сторон треугольника, зная вершину
уравнения высот	BM : x + y = 4 и CM : y = 2 x ( M − точка пересечения
высот).	AB и BC параллелограмма ABCD заданы уравнениями
16. Стороны

2 x − y −5 = 0 и x − 2 y + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке M (1; 4).

Найти длины его высот.

17. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла C (3; −1) и уравнение гипотенузы 3 x − y + 2 = 0.

18. Две стороны	параллелограмма заданы уравнениями y = x − 2 и
5 y = x − 6. Диагонали	его пересекаются в начале координат. Написать

уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.

19.Вычислить площадь ромба, зная одну из его вершин A (0;−1), точку пересечения его диагоналей M (4; 4) и точку P (2;0) на стороне AB.

20.Через точку пересечения прямых 2 x −5 y −1 = 0 и x + 4 y − 7 = 0

провести прямую, делящую отрезок между точками A (4;−3) и B(1;−2) в

отношении 2:3.
21. Определить, при каких значениях m и	n	прямая
(2 m − n + 5)x + (m −3n − 2)y + 2 m + 7 n +19 = 0 параллельна	оси	0Y и

отсекают на оси 0X отрезок, равный 5 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.

22.	Определить,	при	каком		значении	a	прямая
(a + 2)x + (a 2 −9)y + 3a 2 −8a + 5 = 0			1)	параллельна оси		абсцисс;		2)
параллельна оси ординат; 3) проходит через начало координат.
В каждом случае записать уравнение прямой.
23.	Две стороны	квадрата лежат		на	прямых 5 x −12 y − 65 = 0			и

5 x −12 y + 26 = 0 . Вычислить его площадь.

24. Даны две смежные вершины квадрата A (2;0) и B(−1; 4). Составить уравнения его сторон и вычислить площадь.

25. Точка A (5; −1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 4 x −3 y − 7 = 0 . Составить уравнения прямых, на которых

лежат остальные стороны этого квадрата.
26.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых	3 x − 2 y + 5 = 0, 4 x + 3 y −1 = 0	и отсекающей		на	оси	ординат
отрезок b = −3.
27.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых	2 x + 7 y −8 = 0, 3 x + 2 y + 5 = 0	под	углом	450	к	прямой
2 x + 3 y − 7 = 0 .			высот AN :x + 5 y −3 = 0 ,
28.	В треугольнике ABC даны уравнения		высот AN :x + 5 y −3 = 0 ,
BN :x + y −1 = 0, стороны AB :x + 3 y −1 = 0.			Составить	уравнения двух
других сторон и третьей высоты.

29.Даны вершины треугольника A (− 4;3), B(4; −1) и точка пересечения высот M (3;3). Найти третью вершину C.

30.Составить уравнения сторон и диагонали ромба, если известны уравнения двух его сторон x + 2 y = 4 , x + 2 y =10и уравнение одной из его

диагоналей y = x + 2 .

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.03.20164 Мб330ravich_b_m_okladnikov_v_p_i_dr_kompleksnoe_ispolzovanie_syry.doc
#
01.07.20252 Мб3RAYaN_praktika-1.docx
#
17.03.20151 Мб70razdel1kim.pdf
#
17.03.20151 Мб37razdel1UMK.pdf
#
17.03.20151 Мб142razdel2kim.pdf
#
17.03.20151 Мб35razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780 Кб38razdel3kim.pdf
#
17.03.20151 Мб95razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768 Кб29razdel4kim.pdf
#
17.03.20151 Мб42razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569 Кб42rechev_kommun.docx