5_УМК

f (x, y) = x sin 1 sin 1 + y sin 1 sin 1 . При фиксированном y, y ≠ 0 первое сла-

Таким образом, указанный внутренний предел не существует, а поэтому не суще-

ствует повторный предел lim lim f (x, y). Аналогично доказывается, что не суще-

y→0 x→0

ствует другой повторный предел lim lim f (x, y).

x→0 y→0

2.3 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Функция u = f (M) называется непрерывной в точке M 0 , если:

1) f (M) определена в точке M 0 и некоторой ее окрестности;

2) существует предел lim f (M);

M→M0

3) этот предел равен значению функции в точке M 0 ,

т.е.

lim f (M) = f (M 0 ).

M→M0

Точка M 0 называется точкой разрыва функции u = f (M), если для нее не

выполняется хотя бы одно из данных условий. Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва).

Функция u = f (M) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

51

Примеры решения задач

Решение. Данная функция является дробно-рациональной функцией переменных x и y . Она не определена в тех точках, где знаменатель дроби равен ну-

лю (x 3 − y3 = 0), т.е. функция не определена на прямой y = x .

Таким образом, прямая y = x есть линия разрыва данной функции. В остальных точках плоскости (x, y) функция определена. Отметим, что в любой точке M1 (a, a) (a ≠ 0), лежащей на прямой y = x и не совпадающей с точкой O(0;0) существует предел функции:

Решение. Функция u = f (x, y) непрерывна как отношение многочленов во всех точках, кроме тех, где знаменатель обращается в нуль. Таким образом, точки разрыва 2-го рода расположены на линии y2 − 2x = 0 y2 = 2x , т.е. на параболе.

ПРИМЕР 2.15 Исследовать на непрерывность функцию u = cos 1 . x − y

Решение. Данная функция сложная: u = cos ϑ, где ϑ = 1 . Функция x − y

cos ϑ непрерывна при любом значении аргумента ϑ. Точки разрыва надо искать

для функции ϑ = 1 , в этих точках будет разрывна и вся сложная функция u. x − y

Функция ϑ = 1 , очевидно, терпит разрыв вдоль прямой y = x . При прибли- x − y

жении точки M(x, y) к одной из точек прямой y = x функция u = cos 1 x − y

52

производит бесконечно много колебаний в пределах [−1,1] и, следовательно, никакого предела не имеет.

2.4 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ

Частные производные функции u = f (x, y, z) по аргументам x, y и z соответственно определяются как соответствующие пределы (если они существуют):

При фиксированных значениях всех аргументов, кроме, например, x, функция u = f (x, y, z) становится функцией одной переменной. Производная этой функции по переменной x и есть частная производная u = f (x, y, z) по аргументу x. Поэтому вычисление частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление производной функции одной переменной.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.16 Найти частные производные функции: u = x y (x > 0).

Решение. При вычислении частной производной функции u = x y от аргумента х рассматриваем функцию u как функцию одной переменной x, т.е. считаем

y фиксировано. Тогда функция u = x y является степенной функцией аргумента x.

∂u

По формуле дифференцирования степенной функции получаем ∂x

∂u

Аналогично, при вычислении частной производной ∂y считаем, что x-

фиксировано, и рассматриваем функцию u = x y как показательную функцию ар-

∂u = y

гумента y, поэтому ∂y x ln x .

ПРИМЕР 2.17 Найти значения частных производных функции u = 2x 3 + 3x 2 y + 6xy − y3 в точке M 0 (−1,2).

Решение. Считая y постоянной и дифференцируя u, как функцию от x, находим частную производную по x, вычисляем ее значение в точке M 0 :

53

Считая x постоянной и дифференцируя u, как функцию y, находим частную производную по y, вычисляем ее значение в точке M 0 :

ПРИМЕР 2.18 Найти частные производные функции: u = x 2 + y2 + z 2 .

Решение. При фиксированных значениях y и z данная функция является сложной функцией аргумента x. Вычисляя производную этой функции аргумента

ная функция в исследуемой точке непрерывна.

ПРИМЕР 2.19 Найти частные производные функции u = f (x, xy, xyz) по аргументам x, y и z .

Решение. Данная функция является сложной функцией переменных x, y и z:

Подставляя (2.2), найдем

54

M 0 = M 0 (x 0 , y0 , z0 ), т.е. ее полное приращение в этой точке можно предста-

вить в следующем виде:

Алгоритм использования дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть требуется найти приближенное значение величины А, тогда необходимо выполнить следующие действия:

1. Представить А в виде значения некоторой функции в точке M1 :

A= f (M1 ).

2.Подобрать точку M 0 так, чтобы она была достаточно близкой к точке

Решение.

55

По формуле (2.4) найдем

56

1,032 +1,983 ≈ 3 + 1 (1,03 −1) + 2(1,98 − 2) = 2,97 . 3

2.6 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Частными производными второго порядка от функции u = f (M) называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Рассмотрим функцию двух переменных u = f (x, y) , которая имеет част-

производные второго порядка в этом случае записываются следующим образом:

Аналогично определяются и записываются частные производные третьего порядка, например:

Так называемые “ смешанные” производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой , если они

функция не зависит от порядка дифференцирования.

Дифференциалом второго порядка от функции u = f (x, y) называется

дифференциал от ее полного дифференциала, т.е. d 2 u = d(d u). Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:

57

оператор первого дифференциала при действии его на функцию u = f(x, y)

ПРИМЕР 2.24 Найти частные производные второго порядка функции

u = xy .

58

M 0 (1,0).

Решение. Полагая x = 1, y = 0 в выражениях для частных производных второго порядка данной функции, найденных в примере 2.24, получим