УМК11

СОДЕРЖАНИЕ

2.1. Комплексные числа и действия над ними

85

2.2. Множество точек, линии, области на комплексной плоскости

91

непрерывность функции. Основные элементарные функции

95

2.4. Производная функции комплексного переменного. Условия

дифференцируемости. Аналитические функции. Понятие о

конформном отображении

106

2.5. Интегрирование функции комплексного переменного

113

2.6. Ряды в комплексной области

120

2.7. Изолированные особые точки функции комплексного

переменного

128

2.8. Вычеты и их применение к вычислению контурных

134

интегралов

Комплексным числом

z называется выражение вида

z = x + i y,

(2.1)

плексных числа z1 = x1 + i y1 и z2 = x2

+ i y2 считаются равными, если

равны их действительные и мнимые части: x1

= x2 , y1 = y2 . Число z = 0 при

условии x = y = 0.

дующими равенствами:

z1 ± z2 = (x1 + iy1 )± (x 2 + iy2 )= (x1 ± x 2 )+ i(y1 ± y2 ),

z1 z2 = (x1 + i y1 ) (x2 + i y2 ) = (x1x2 − y1y

2 )+ i(x1y

2 + x

2 y1 ),

z1

=

z1 z2

=

(x1x2 + y1y2 )+ i(x2 y1 − x1y2 )

z2

z2 z2

x22 + y22

Комплексное число z = x + i y изображается точкой M(x,y)

на коорди-

y

бражаются точками на оси OX , называемой

здесь действительной осью, а мнимые числа

z = i y изображаются точками оси OY , назы-

M z = x + iy

ваемой мнимой осью. Плоскость, на которой

r

изображают комплексные числа, называется

y

комплексной плоскостью.

ϕ

Комплексное

число z = x + i y

может

быть изображено вектором r(x,y) с координа-

0

x

x

Рис. 2.1

тами x и y и с

началом в точке

O(0,0)

(рис. 2.1).

Длина r =

r

вектора r(x,y), изображающего комплексное число z, на-

r = z =

x2 + y2 ,

(2.2)

tgϕ =

y

(при x ≠ 0)

(2.3)

x

Величина ϕ = Arg z

имеет бесчисленное множество

значений, отли-

лов обозначить

через

ϕ0 ,

то совокупность величин всех углов запишется в

следующем виде:

(k = 0,±1,±2,K)

Arg z = ϕ0

+ 2kπ

Значение

ϕ = Arg z,

принадлежащее промежутку (− π,π],

называется

главным и обозначается ϕ0

= arg z. Итак,

− π < argz

≤ π,

(k = 0,±1,±2,K)

Arg z = arg z + 2kπ

(2.4)

Зная действительную часть x и мнимую часть y комплексного числа z и

пользуясь тем, что tg(arg z)=

y

, можем вычислить arg z по формуле

y

x

при x > 0, y R,

arctg

x

y

arctg

+ π

при x < 0, y ≥ 0,

x

y

arg z = arctg

− π

при x < 0, y < 0,

(2.5)

x

π

при x = 0, y > 0,

2

π

−

при x = 0, y < 0.

2

Комплексному числу O не приписывается какое-либо значение аргумен-

та.

r =

z

Зная модуль комплексного числа

и главное значение его аргу-

мента ϕ0 , мы можем вычислить его действительную часть x и мнимую y :

x = r cos ϕ, y = rsin ϕ и записать число z в форме

z = r(cosϕ + i sinϕ)

(2.6)

z1 z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 )+ i sin(ϕ1 + ϕ2 )],

(2.7)

z1

=

r1

[cos(ϕ1 − ϕ2 )+ i sin(ϕ1 − ϕ2 )],

(2.8)

z

2

r

2

(cosnϕ + i sin nϕ), (n N),

zn

= r n

(2.9)

n z = n

ϕ + 2kπ

+ i sin

ϕ + 2kπ

(2.10)

r cos

n

,

где k = 0,1,2,K,n −1.

n

Формула (2.9) называется формулой Муавра.

Геометрически n значений выражения n z

(2.10) изобразятся вершина-

ми некоторого правильного

n − угольника, вписанного в окружность, с цен-

тром в начале координат и с радиусом

n r . В теории функций комплексного

переменного известны формулы Эйлера

ei ϕ

= cosϕ + i sinϕ, e−i ϕ = cosϕ − i sinϕ.

(2.11)

z = r eiϕ .

(2.12)

z

1

z

2

= r

r

ei(ϕ1 +ϕ2 ) ,

(2.13)

1

2

z1

=

r1

ei(ϕ1 −ϕ2 ),

(2.14)

z

2

r

2

ei nϕ ,

zn

= r n

(2.15)

n z = n

r ei

ϕ+2kπ

,

k = 0,1,2,K,(n −1)

n

(2.16)

При решении

задач

полезно

помнить,

что

i2 = −1,

i3 = −i, i4 = 1,

i5 = i и т.д.,.

и вообще при любом целом k

i4k

= 1, i4k+1

= i, i4k+2 = −1,

i4k+3 = −i .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.1. Решить уравнение

z2 − 6z +10 = 0.

Решение.

Первый способ:

D = 36 − 40 = −4 .

z1,2

=

6 ± − 4

=

6 ± 2 −1

=

6 ± 2i

= 3 ± i

2

2

2

имеем (x + iy)2 − 6(x + iy)+10 = 0,

откуда после преобразований получим

систему уравнений

x2 − y2

− 6x +10 = 0

.

Решая

систему, получим

= 0

xy − 3y

z1 = x1 + iy1 = 3 + i, z2 = x2 + iy2 = 3 − i.

ПРИМЕР 2.2. Найти Re z и Im z, если z =

3 + 2i

.

(3 + 2i)(1−i)

1 + i

Решение. z =

=

3 + 2 + 2i −3i

=

5 −i

, откуда

(1+ i)(1−i)

1+1

2

двух комплексных чисел z1

и z2 .

Решение.

z1 − z2

=

(x1 − x2 )+ i(y1 − y2 )

=

(x1 − x2 )2 +(y1 − y2 )2

. Следовательно,

z1 − z2

означает расстояние меж-

ду точками z1 = x1 + iy1 и z2 = x2

+ iy2 (рис. 2.2)

Если изобразить комплексное число с по-

Y

мощью вектора, то действительная и мнимая

Z

части z1 − z2 являются координатами вектора,

а так как при вычитании векторов их координа-

z1 M1 z1 − z2

ты соответственно вычитаются, то вычитание

M2

комплексных чисел сводится к вычитанию век-

торов, изображающих эти числа. Как видно из

z2

0

X

рис.

2.2.,

z1 −z2

есть длина

вектора

z1 − z2 = M 2 M1 ,

иначе расстояние

между

Рис. 2.2

точками, изображающими числа z1 и z2 .

Решение.

По определению модуля, r = z =

x2 + y2 =

1 + 3 = 2.

Так как значение аргумента ϕ удовлетворяют

соотношению tgϕ = y

=

−

3

y

= arctg(−

3)= −

π

x

π

1

то

arg z = arctg x

3

. Итак,

z

= r = 2,

arg z = −

3

и со-

гласно (2.6) и (2.12) имеем

−

π

−

π

= 2e

−i

π

z = 2 cos

+ i sin

, z

3 .

3

3

ПРИМЕР 2.5. Выполнить действия умножения и деления комплексных

чисел z1 = −1− i и

z2

= 1 + i

3, представив их вначале в тригонометриче-

ской форме.

3

3

Решение.

z1

=

2

−

−

cos

4

π

+ i sin

4

π

π

π

z2

+ i sin

.

Применяя формулы (2.7) и (2.8), получим

= 2 cos

3

3

z1 z2

= 2

2

3

π +

π

−

3

π +

π

=

cos −

4

3

+ i sin

4

3

−

5

−

5

,

= 2 2 cos

12

π

+ i sin

12

π

z1

=

2

−

3

π −

π

−

3

π

−

π

=

z

2

cos

4

3

+ i sin

4

2

3

=

2

13

13

2

cos −

12

π + i sin −

12

π

ПРИМЕР 2.6. Вычислить (1 + i)12 .

Решение.

Запишем число

z = 1 + i

в тригонометрической форме.

По

формуле

(2.9)

имеем

(1 + i)

12

2

π

+ i sin

π 12

=

=

cos

4

4

Решение. Представим z = −8 в тригонометрической форме (2.6), для че-

го

найдем

модуль

и

главное

значение

аргумента

z

=

− 8

= 8,

ϕ0

= argz = arg(−8)= π.

Имеем z = −8 = 8(cosπ + i sin π).

Применяя формулу (2.10), находим 3 значения корня,

содержащихся в

формуле W

π+ 2kπ

+ isin

π+ 2kπ

где k = 0,1,2. Воспользо-

= 3 8 cos

,

k

9

3

i π

π

+ i sin

π

= 1 + i 3,

при k = 0 w0 = 2e 3

= 2 cos

3

3

при k = 1

w1

= 2eiπ

= 2(cosπ + i sin π) = −2,

при k = 2

w2

i

5

π

=

5π

+ i sin

5π

= 2e

2

2 cos

3

3

= 1 − i 3 .

Точки w0 ,w1 ,w2 образуют вершины правильного треугольника,

впи-

санного в окружность радиуса 2 с центром в начале координат (рис. 2.3).

Y

Y

π

= ei

9π

w0 =

2e

i

w2

8

5π

3

i

w1 = e

8

w1 = 2eiπ

0

X

π

0

X

5π

i

13

w2 = 2ei 3

w0 = e

8

w3 = ei

π

8

Рис. 2.3

Рис. 2.4

ПРИМЕР 2.8. Решить двучленное уравнение

w4 − i = 0.

Решение.

Нахождение всех корней уравнения сводится к задаче: найти

все значения корня 4

i . Для чего запишем число

i в показательной форме

i = ei

π

1 ei

ϕ +2kπ

, где k = 0,1,2,3, ϕ0

= π

2 и применим формулу (2.16) wk

= 4

0

4

π

π.

2

При k = 0

w0

= ei 8 , откуда следует, что

w0

= 1, arg w0

=

i

π

5

8

5

+2

π

При k = 1

w0 = e4

2

= ei8π , откуда

w1

= 1, arg w1

=

π.

8

90

i π

9

9

+4π

π

= ei 8

При k = 2

w2

= e4 2

w2

= 1, arg w2

=

π

8

i π

13

= ei

π

= 13 π.

При k = 3

w 3

= e

4

2

8

w 3

= 1, arg w 3

+6π

8

Параметрические уравнения кривой в действительных переменных:

x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β

в комплексной плоскости могут быть заменены одним уравнением

z = z(t) = x(t)+ i y(t), α ≤ t ≤ β,

(2.17)

комплексной форме.

Если кривая задана

в действительных переменных в

неявном виде

F(x,y) = 0, то путем подстановки в это уравнение выражений

x =

z + z

,

y =

z − z

(2.18)

2 i

2

сти двух комплексных

чисел

z1 − z2

(см. ПРИМЕР 2.3). Рассматривая

z1 − z2

как расстояние

между двумя точками z1 и z2 плоскости, достаточно

z − z

z + z

2

лами (2.2),

= 3

откуда получаем

2i

2

2-й способ. Как известно, параметрические уравнения окружности радиу-

са r центром в точке M 0 (x0 ,y0 ) имеют вид:

x − x0 = r cost,

y − y0 = r sin t, где − π < t ≤ π.

Следовательно,

z(t) = x0 + r cost + i(y0 + r sin t), − π < t ≤ π. Если

воспользоваться показательной формой комплексного числа, то полученное

уравнение можно записать в виде

z(t) = z0 + r ei t , − π < t ≤ π.

ПРИМЕР 2.11. Написать уравнение эллипса с фокусами в точках z1

и z2 ,

большая ось которого равна 2a .

Решение. По определению эллипса, r1 + r2 = 2a , где r1 =

z − z1

и

r2 =

z − z2

− расстояния произвольной точки z эллипса до фокусов z1

и z2

форме

имеет

вид

z − z1

+

z − z2

= 2a .

Расстояние

между

фокусами:

2 c =

z1 − z2

, а малая полуось по известным a

и c определяется из форму-

лы b =

a2 − c2 .

ПРИМЕР

2.12.

Выяснить

геометрический

смысл

уравнения

z − z1

=

z − z2

.