структура фазового пространства

мана также равны

нулю ^ jC^i) '" $&л'/с~

О (можно

изменять знак

в любой точке X

незавичимо), ечли Х ^ У ••• ф- ЗС'п.

. 4дечь мы воч­

пользоваличь калибровочной инвариантночтью

вакуума, как любого дру­

гого физичечкого

чочтояния.

полнения ведет к отказу от ичходного

лагранжиана

чичтемы

(либо к

противоречивой динамике), как это было продемончтрировано в § LS.4.

Поэтому калибровочная чимметрия не мо^ет быть нарушена каким-либо

образом

(чм. также [31, 32J . В работах (j'lj*, авторы, изучая модель

i'BC на

решетке, пришли к аналогичному

выводу: < С ^ Р С Х 7 У £ = 0 1

а двух­

точечные функции Грина обращаютчя в нуль в непрерывном пределе).

Однако, как было показано в конце

§ 4.:; при опичании феномена

Хиггча, можно ввечти калибровочно-инвариантное поле

Р •= ^ф+if ,

тогда <^ О * > = Т7 ^

О . Как У*е говорилочь выше, такое элементар­

ное поле не являетчя

хорошей каноничечкой переменной. Лолгому в

квантовой теории его

чледует трактовать как чочтавной оператор ич­

ходных переменных У

. Для того, чтобы такое чочтавное поле имело

корпучкулярное проявление (это необходима для перенормируемочти

полей *Р

. Таким образом, поле Хиггча

оказываетчя чочтавным

объектом.

Следует еще очтановитьчя на различии

квантовой механики и теории

ведение

операторов рождения

СкТ O-i

П Р И дейчтвии на вакуум

дает

чобчтвенный вектор гамильтониана. В теории поля инвариантным будет

только

произведение полей ф й

(х) Ч^С*)

в то время как Q^C*)

Q £ ( * V

(

К

-импульч) не являетчя калибровочным инвариантом, так

как <$&)

и

ОДк)чвяэаны нелокальным преобразованием. Однако поле У ^С^ Ч ^Сх)

мана [38^ (чм. также [39^

гл. 16^ , т.е. для него не чущечтвует чоот-

ветчтвияФЭДШ/;)Д.»,р. ил

^+*оо , где 0^

- локальные ачимптотичеч-

кие чвободные поля. Лишь ечли

чущечтвует

апрокчимирующее поле

$(?0,

такое, что £->

у^,

,\->

± о с

л

-^ф^х.) $ и 0$) §<3>\ *

° ' т -е -

ечли чущечтвует

чвязанное чочтояние

полей

yJ , отвечающее полю

j> ,

только в этом члучае можно говорить

о корпучкулярном проявлении

поля

чываемое переменной •£

и эту

чтепень чвободы

перенечли в продольную

компоненту векторного поля, тем чамым перешли

к (4.19). Но ч физичеч­

кой точки зрения эта процедура

неудовлетворительна,

так как кулонов­

чкое поле реально нельзя

оторвать у заряженной

чачтицы

(оно являетчя

ничто не запрещает в гамильтониане

(4.18) в качечтве

~VQ&/

по­

тенциал хиггчовчкого типа, т.е. >Т)01

. Гамильтониан

(4.18) обладает только глобальной

30(2.) -чимметрией, поэтому

на пер­

оказываетчя

вьше, чем у

чочтояния *Со|ф 16}=0. Дело

в том, что кон­

денчат поля

ф

имеет ,''-';!чц (конденчируетчя заряженное поле), поэтому

в ваккуме плотночть электричечкого

заряда

j c

(jx-)

будет

отлична от

нуля i

Увеличение кулоновчкой энергии конденчата

превочходит уменьшение

энергии ч^модейчтвия

поля

ф

при

переходе в

чочтояние <С'Ь| Ф41")Г/ - 1Г. Дейчтвительно, возьмем

чтандартный потен­

циал

, тогда изменение энергии чамодейчтвия

ечть д Е ~ - Й У ^ ' У

, где V - объем чичтемы. Изменение

кулоновчкой

энергии, очевидно, :,авш> энеогии кулоновчкого рачталкивания конден-

cyTa4EKVA'vjclacj(;A"Jl0 ^

Jo

V

**

(интегрирование

по каждой коор­

динате дает

мкогкитель

V

> ядро Д"'~\х-^Г1'дает

~

V""

)• поч­

кольку V"* °°

1 то

очевидно, что д р К у л » ^ > Е

. 11оэтому элементар­

ное заряженное

поло

т .к:т:е не может

образовывать

конденчат, ввиду

дальнодейчтвия

кулопоЕчких

чил. Следует, однако, отметить, что ука­

занную трудночть ч кулоновчким рачталкиванием можно

обойти, ечли

взять, чкаучм

, два

чкалярных

поля ч противоположными

зарядами, так,

выполнять роль поля Хиггча.

Ечли допучтить, что поле

Хиггч*. почтроено

из каких-либо других полей,

то, вообще говоря, меняетчя закон калиб­

ровочных преобразований. Он

човпадает чо чтандартным

только п локаль­

ном пределе, т.е. когда калибровочные

функции

мало меняютчя на

раччтоянии порядка размера чвязанного

чочтояния. J такого

поля почле

отнечения фазы в продольную компоненту векторного

поля уже

не

будет

нетривиальной дичкретной очтаточной калибровочной

группы: для

како­

эффективным чамодейчтвием

хштчовчкого типа.

В заключение кочнемчя

вопроча о чверхпроводимочти как примера

чверхпроводнике

калибровочная

чимметрия U C 0

взаимодейчтвия

меж­

ду электронами проводимочти "нарушаетчя", т.е. электромагнитное

поле

в чверхпроводнике

приобретает

"маччу" - эффект Мейчнера [4I> §

d.4J.

норного (граччманового) поля электронов

Ц> отночитчя в продольную

компоненту электромагнитного поля. При этом фаза чпинорного поля

чтановитчя

нефиэичечкой, что ведет к коничночти

ФП физичечких ком­

понент чпинора (чм. § 2.6). В квантовой

теории это означает, что фи­

зичечкими величинами являютчя j*j-локально-четные

(чм. § 2.7), т.е.

калибровочными

инвариантами электронного

поля оказываютчя 4i< (*)%(?•)

( ol , ^

- нумеруют поляризации электронов). Данное локальное поле

будет иметь корпучкулярное проявление, ечли динамика учтроена так,

что чущечтвует чвязанное чочтояние полей

т^СрО 'чм. раччуждения,

проведенные выше отночительно чочтавных операторов). Это, дейчтви­

тельно, наблюдаетчя на практике, роль квантов этого

чочтавного поля

играют куперовчкие пары. Аналогичная трактовка чверхпроводимочти

была дана Елйнбергом [423 •г Д е о н

предположил, что

калибровочная

группа электродинамики

(J(l) нарушаетчя до 2 э в

чверхпроводнике. Оче­

видно, что

в нашем подходе этого предположения не требуетчя, а чох­

ранение Д , к а к

калибровочной группы ечть чледчтвие коничночти ФИ

физичечкого

чпинорного

поля.

точку

зрения, т.е. не будем

отрывать

Теперь

вчтанем на физичечкую

кулонорчкое

поле от электронов, как было чделано в формальной

трак-

с редуцированным йП не

может распространяться

и не имеет корпускуляр­

ного проявления. Ясно,

что вывод справедлив и

в общем случае,т.е.когда

йП редуцируется калибровочной группой Вейля (инварианты

группы Вейля

в любом представлении всегда есть полиномы степени больше

единицы).

приложение а

^пя решения уравнения 12.266) вочпользуемчя голоморфным пред­

чтавлением, которое вводитчя заданием опер«то::>в рождения

и уничто­

жения

(2.16) (4,j,i<= 4,2,..,Л/./ ,

причем

векторы

состояний

являются

функциями

комплекчной

переменной ft.j " С ^ Г -( Р ; ) / Л 2

и

l A. I)

Скалярное

произведение определяетчя

чледующим

образом;

(Л. 2)

где мерп <Л%а*а)~(№0

d

a*d OeXp(-Qjad -)f

т.е. ичтегриронч-

ние ведетчя

по полному

ФИ =

(к ®

IR.

чичтемы, -.чякое чочтояние о

голоморфном

предчтавлении

мотет быть

разложено

по базичу

C-i

Здечь

П.{_ =

O j l , . . .

. Ьазич (А.3) ортонормцрован отночительно

чкалярного

произведения (Л.2). Операторы

чвязей

,2.266) принимают

Н И Д

G i a ~ ~ n ; 0*1 ft; . Отметим, что здечь нет проблемы упорядоче­

ния операторов в чвязях, ввиду античимметричночти

матриц

_ Г а ' .

ичевидно, вакуум

< l Q * | ( ^ =

i

удовлетворяет (2.266), чледо­

вательно, вчякое физичечкое чочтояние чтроитчя применением к нему

некоторой функции

от операторов

оЛ

, которая коммутирует чо

вчеми

GJn

• Легко

понять, что любая такая функция разлагаетчя в

ряд по чтепеням оператора

й,к

C t k

, почкольку вчякий инвариант в

(к

отночительно

группы вращений

ЬО(л/)

выражаетчя

через

квадрат

вектора в

(R

(чм. § 2.3). Тогда базич физичечкого

подпрочт­

ранчтва

имеет вид

<n|n'>=8„„',C n - [ ( K ) J

L Q

K J=

f ,

»-

'

Полный

б:..чич (A..i) нумеруетчя

/у целыми неотрицательными чичлами

ft-

, так как чичтема чодержит

tf

чтепеней

чвободы. Базич

(А.4)

л ь е т ч я единчтвенной целочичленной

переменной

И. , т.е. чичтема об-

л-1дпет единчтвенной филичечной

чтепенью, чвободы. Заметим, что

чпектр

- Q . K Q ^ +

-5-

в физичечком подпрочтранчт­

ве оказываетчя равным Е = £ П +

Ы/%

•

Видно, что расстояние меаду

уровнями удвоено, что укалывает на

коки-чночть физичечкого ФП. Тот

те результат можно получить, решая уравнение

(2.2?) с V =

Vzl

И

Ядро

оператора эволюции

в физическом подпространстве

запишем

ч помощью формулы йейнмана - Каца (2.31)

uAe^itB V)L*>]V4 E t .

(,6)

Е

Здесь изменено обозначение физического оператора эволюции: вместо

значка

С

, введенного в (2.30), использован

значок

" ph ",посколь­

ку в (А.6) нет явного выделения "конической"

степени

свободы (все

ру гамильтониана (2.26а) (система (2.26) без условия

(2.266), то

получится ядро оператора эволюции Д/-мерной системы

в полном прост­

ранстве состояний (А.З), которое обозначим [L Qft*

ft).

л

лЗадача

заключается в том, чтобы установить связь мевду

1Д,

Заметим, что при Ь О

Ut%

(.&*, й ) =

Q ( (X*, О,)

ц

есть проектор на физическое

подпространство, так как функции 4g

(fij

образуют полную систему в физическом подпространстве. Последнее

следует

из^

самосопряженности

гамильтониана \-\

и коммутативности

С*а, ч

Н

в (2.2ба), т.е. прочтранчтво векторов, натянутое на

чобчтвенные

векторы \r\ t

может быть разложено

в прямую сумму физи­

ческого

и нефизического

подпространства. Исходя

из этого замечания,

Оператор

Q

учтраняет вклад нефизичечких чочтояний

в чпектраль­

ную

чумму для

(jt (аналогичную

А.6) за.чет чвоих

проекционных

чвойчтв. Для ядра оператора

Ut Cft*>

° 0

IR

чправедливо чтандарт-

ное предчтавление

КИ

[ill по полному

iii =

"

где

Q. W

=

(X

. 0 ( 0 ) =

(X.

-

чтандартное

граничное учловие

для КИ в голоморфном предчтавлении,

$

~

\

clT £ тр- (.и.**

0.к

-

- O l й к )_ HCu*Cl) J

- дейчтвие чичтемы, включающее и нефиякчечкие

чтепени

чвободы,

Н (&*> ^ - )л _

"^i1 0

1,;*мильтони«на (2.20а), кото­

рое получаетчя из оператора

|-| заменой

операторов

Ск.^ и

Q*. на

чичла

Q ^

(Хк

почле раччтановки

вчех

Q K

чправа от

О к .

Таким образом, задача чвелачь к поичку ядра Q

Cft*0 /- "Оч-

кольку

Q

- проектор на физичечкое подпрочтранчтво, а

векто:ы 1л.4;

образует базич в нем, то вочпользуемчя разложением единицы

в физи­

чечком

подпрочтранчтве:

.

«_

i /"

*2

2 \ *W

,

т

- модифицированная функция Ьечче-

г д е З =

•§" V.Q к

Qj J

i v

ля.

формулы

(А.7), (А.9) решают

почтавленную

задачу . Видно, что

чтруктуры

(2.;«) и

(А.7) аналогичны, но в

(2.оо) оператор

Q

опре­

делен только на физичечком

конфигурационном прочтранчтве, в то времн

как в(А.7) Q

определяетчя

в полном 4Л1 чичтемы.

Q

(Л.7), КИ мож­

Можно пойти дальше . Ичпользуя аналитичночть

но придать чтандартный

вид

Здечь

J4(и*;

ft)

- некоторая мера в полном ФП чичтемы,

S e

t

-

-эффективное дейчтвие

в нем, ф

-множитель, чвязанный

ч выбором

начальных учловий, аналогичный множителю в

(A.d). Соглачно (А.О).

ядро

оператора

( j r

удовлетворяет уравнению

c\Ut %*a)=

\\ti\S)V*Ca*a)

.

л

(А.Ш

с н;:ч-;льным условием U t=o =

Q

(отметим, что ядро (А.д))также

.удовлетворяет уравнение

(Л. II),

но с нач;шьным условием

С Д = 0 ( о * а / =

- е.КЬ Q K Q K

- ядро единичного оператора, в полном пространстве

состояний (Л.J)J. Ил ур-чвнения ,'А.П) для инфинитеэимального ядра

-ше^тор; (jf

, £ -» О получаем

U£'V>) = QKa) е»р [-"*ЧМ] *0 ( е 2 ) - ,,,Е )

H4 C«W-5^HCo^.)QWa).

(АЛЬ)

;;трг>ируя яд;:) (Л.12.' чоглачно

чкалярному произведению (А. 2) получим

чц:о оперто;':

(Л. г>:

конечный промежуток времени в виде КИ

Mi.1С), в котаром

juCa*,a) = QCa*,a) ,

•Л. 14а)

(А.146)

1А.14в)

ной чимметрии

. Отметим, что при отчутчтвии калибровоч­

Q ( u * Q ) - S X p Q *О. к и

(АЛО) переходит в (A.d).

HT; IK, чтобы

иабежьть явного ввделения физичечких чтепеней в

КИ, можно вочпользоватьчя проекционной формулой

(А.7),либо изменить

в обычном КИ по полному

Ш меру интегрирования и дейчтвие порецеп­

ту (АЛО), ^А.14). Сущечтво

дела, однако, заключаетчя в отычкании

оператора Q

в обоих члучаях.

л

для механики Янга-

В качестве примера вычислим оператор

Q

- Ниллса [45]с группой

S u G O . Эта модель получается из обычной

Структура йП физических переменных в этой системе определена в {4.1,

т.е. дискретная калибровочная группа,редуцирующая йП.всть Z ^ ® Z ^

( в случае теории поля эта группа действует локально также и по

пространственным

переменным С в каждом узле решетки « точке простран­

ства)).

запишем лагранжиан в следующем виде [46~[ '•

Для удобства

L-jrTi(.*+$*'?&+6*)

-vco.

Здесь X

(А.15)

- вещественная матрица 3x3, 4 -антисимметричная матрица.

Лагранжиан

(А.15) получается из лагранжиана

(4.1), если положить

ЭСо.1 ft) = Ai°(t) ( а - 1,8,3, г - 1,2,3 - нумеруют изотопи­

где J - константа связи. Тогда ty"= ^- g 2 [ (jh.XToc)Zr-

Tx- (оСх)2 .],

однако длянаших целей видпотенциала несуществен.

Лагранжиан (А.15) инвариантен относительно калибровочных преобра­

зований

э с - ^ Л о с

,

$ -+ SL$SLT

+ SL\S?

,

( А Л б )

где л-act)

,ЛИТ =ДТ Л=1

, i l

- ДртДгДнальная матрица. Нет

нужды подробно рассматривать гамильтонов формализм для этой

системы,

поскольку имеется полная

аналогия с полем Янга - миллса

(см. $ 4.1).

Остановимся кратко на инвариантном способе

выделения физических пере­

менных для модели

(А.15)

[46,47,30^ • Очевидно, что импульс, канони­

чески сопряженный

Ч

,обращается в нуль: "SL/^J =

0 , поэтому У -

- нефиэическая переменная, и мы не будем за ней следить. Вторичные

связи являются генераторами изотопических вращений столбцов матрицы

X ( следствие

закона калибровочных преобразований (А. 16)). Всякую ве­

щественную матрицу X

можно представить

в виде полярного

разложения

[46] ОС -U О

,

где V. - ортогональная матрица, а

р

-положительно-

-определенная симметричная матрица

£ т =

о

. Ясно, что

1L

содержит

только нефиэические степени свободы

(они могут быть исключены калибро­

вочным преобразованием ОС-» 1 ( Т Х

, т.е. SL = V.

). Таким обра­

зом, теория содержит шесть физических степеней свободы. Однако фи­

зическое конфигурационное пространство не совпадает с IR

, посколь­

ку на у

нахожено ограничение:

Р

- положительно-определенная мат­

рица. Следовательно, физическое конфигурационное пространство оказы­

вается уже

(R

, т.е. является егоподмножеством. Последнее, как

Ясно, что при построении КИ возникает проблема интегрирования

по положительно определенным матрицам

g

. Она может быть решена

подобно тому, как это делалось в главах 2 и 3. Ввиду некоторой

громозд­

кости выкладок мы не будем

разбирать вывод КИдля этой

системы в

физическом

Ш. Однако

результат может быть легко получен, если исполь­

зовать рецепт (А.14) для НИ.

дой

Заметим,

что после перехода к голоморфному представление по каж­

компоненте матрицы

X a i ,все физические

векторы

состояний

должны быть калибровочно-инвариантны, т.е.

где

aj - импульс, канонически сопряженный сс^ , Лft=

= Д. Л

= i

• Легко понять, что всякий

вектор

4»|, Са*)

должен

быть аналитической функцией отэлементов матрицы

(&*та*)ц

=

=

О.-$а О * ;

,которые описывают шесть независимых степеней сво­

боды в данной

системе. Действительно, из (А.16)

следует, что ЭС со­

держит три трехмерных вектора (столбцы матрицы

ОС

), которые од­

новременно преобразуются под действием ортогональной

группы

в

(R .

Поэтому

любой

групповой

инвариант

строится

из всевозможных

скалярных

произведений

этих векторов

£49] , изкоторых

и составлена

матрица

0Ст ЭС

.Отсюда заключаем, что ортонормированный базис

в физическом

подпространстве

имеет вид

<а» = сочр[Са'та^] * + . . ,

(А.18)

где

l ^ 1

.Нормировка состояний

определяется

согласно

скалярному

проязведению

(А.2), где в мере следует положить

Д/ - 9 - полное число

степеней

свободы

в модели, а в показателе экспоненты нужно

поставить

-Ta.fl*rft=

- й*о ^ С

• Нормировочные коэффициенты

С - С п а )

(нет суммирования по

i )получаются из (А.5) подстановкой

У\=^и

и

А/ = 3, а

С(Ис;)

, i < j , получаются из (А.5) отбрасыванием

фактора ^ п

с последующей

заменой И = fUj

и

Л / - & •

Теперь

воспользуемся

разложением

единицы в физическом подпрост­

ранстве состояний для отыскания

Q

. Подобно

вычислению (А.9),

имеем

->

%