Решение систем линейных уравнений

Рис. 2.1. Блок-схема ПРЯМОГО ХОДА метода Гаусса

41

Рис. 2.2. Блок-схема ОБРАТНОГО ХОДА метода Гаусса

2.2.МЕТОД ХАЛЕЦКОГО

Метод Халецкого для решения систем линейных уравнений

Ax = b ,

относится к точным методам.

Представим матрицу A в виде A=BC , где

42

Рассмотрим для примера систему 4-х уравнений с четырьмя неизвестными, тогда

Тогда элементы bij и cij будут определяться по формулам

43

и

Искомый вектор x может быть вычислен из цепи уравнений

и

Из формул (2.4)–(2.6) видно, что числа yi выгодно вычислять вместе с коэффициентам cij . Эта схема вычислений называется схе-

мой Халецкого.

На рис. 2.3 представлена блок-схема алгоритма формирования матриц B и С, а на рис. 2.4 – блок-схема подсчета неизвестных xi

(i=1,…,n).

44

Рис. 2.3. Блок-схема формирования матриц B и С

Рис. 2.4. Блок-схема подсчета неизвестных xi (i = 1,…,n)

2.3.МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Метод итераций для решения систем линейных уравнений относится к итерационным методам, т.е. к методам последовательных приближений. Данный метод отличается простотой и легкостью реализации алгоритма, поэтому отличается малой ошибкой округления, но в то же время сходится только при выполнении некоторых условий.

Предположим, что в системе

46

47

Предположим, что известно грубое приближенное решение этой системы, обозначим его x 0 . Пусть это будет, например, столбец свободных членов x0 = β . Подставив это нулевое приближение в (2.10), вычислим новые значения

Это есть первая итерация. Далее x0 заменяется на x1 и вычисляется следующее приближение, и так далее: k-ое приближение будет вычисляться по формуле:

или в развернутом виде для системы (2.12) из n уравнений с n неизвестными ( aii ≠ 0 для всех i = 1, ..., n ) k-ое приближение будет зада-

ваться формулой:

то этот предел и есть решение системы.

48

На практике итерационный процесс прекращают, когда выполняется условие:

Условие сходимости метода итераций: модули диагональных коэффициентов матрицы A для каждого уравнения системы должны быть больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая свободных членов, т.е.

На рис. 2.5 представлен блок проверки неравенства нулю диагональных элементов и блок проверки условия сходимости метода итераций для данной системы. На рис. 2.6 – блок подсчета коэффициентов βi и αij преобразованной системы (2.10). На рис. 2.7 – блок на-

хождения неизвестных системы (2.12), а значит и исходной системы

(2.7).

49