Kniga_-_Optimalnoe_upravlenie_v_ekonomike_avt

МЕТОД ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ

Величина C2 в формуле (6.46) определяется по формуле (6.45). В результате оптимальные значения состояния x*(t) и управления u*(t) согласно формулам (6.44) и (6.36) имеют вид

Значения C1 и C2 в формулах (6.47) и (6.48) определяются соотношениями (6.45) и

(6.46).

Полученное решение не требует доказательства оптимальности, так как все условия теоремы 6.2 выполнены.

То, что данное решение удалось получить в аналитической форме – далеко не правило, а скорее, “счастливое исключение”. В главе 8 мы встретимся с экономическими задачами, где численное решение неизбежно.

6.4. Задача Эйлера вариационного исчисления

Излагаемая задача пока не имеет известных экономических приложений и поэтому может возникнуть вопрос, для чего она нужна в настоящем учебном пособии? Ответ следующий: эта задача первая в так называемом вариационном исчислении, методы и алгоритмы решения которой впоследствии способствовали созданию теории оптимального управления. По крайней мере, она имеет историческую значимость и должна быть известна учащимся.

Задачей Эйлера в современном изложении называют задачу о минимуме функцио-

нала

u Rn – n-мерный вектор управления (в данном случае размерность векторов состояния и управления одинакова);

x0, x1 – заданные n-мерные векторы начального и конечного состояния системы; Rn – символ n-мерного действительного евклидова пространства.

Помимо векторных уравнений процесса (6.50) на элементы v(t)=(x(t), u(t)) допустимого множества M наложены ограничения теоретико-множественного характера: x(t) – непрерывная и кусочно-дифференцируемая, u(t) – кусочно-непрерывная вектор-функции. Скалярная функция f 0(t, x, u) – непрерывная и дифференцируемая по всем аргументам.

Ограничимся частным случаем n = 1, на состояние и управление ограничений нет, т.е. V tx

и Vtx совпадают соответственно с числовыми осями X и U, а при t = 0 и t = T представляют собой заданные точки x0 и x1.

81

МЕТОД ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ

Свойства решения задачи Эйлера в значительной мере определяются характером индикатрисы, т.е. зависимости подынтегрального выражения f 0(t, x, u) от управления u при фиксированных значениях t и x. Именно эту зависимость удобно положить в основу классификации решений. В [9] рассмотрены четыре случая:

1)постоянная индикатриса, т.е. f 0(t, x, u) = f 0(t, x);

2)индикатриса с ограниченной нелинейностью по управлению

f 0(t, x, u) = g0(t, x, u) + h0(t, x)u;

3) линейная индикатриса, этот случай рассматривался в разделе 4.5.1;

4) выпуклая индикатриса, когда ∂2 f 0 > 0.

∂u2

Ограничимся изучением последнего, четвертого случая, т.к. его исследование может быть проведено с помощью принципа максимума Понтрягина. В соответствии с этим принципом построим функцию Гамильтона:

Поскольку ограничений на состояние x и управление u нет, то применим необходимое условие максимума функции Гамильтона (6.52):

∂H(t, x, ψ, u) = 0,

∂u

откуда получаем

Записываем систему: уравнение процесса и сопряженное уравнение, используя ограничение (6.50).

Решая систему двух дифференциальных уравнений (6.50) и (6.54) относительно искомых переменных x и ψ, с учетом выражения (6.53) получаем процесс, удовлетворяющий необходимым условиям оптимальности.

Пример 6.3. Имеем задачу Эйлера в следующем виде:

Поступаем согласно изложенному выше алгоритму решения задачи Эйлера. Вычислим функцию Гамильтона

H(t, x, ψ, u) = ψu – x2 – u2.

Максимизируем функцию Гамильтона по u:

∂∂Hu = 0,

82

МЕТОД ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ

Уравнение (6.56) называют уравнением Эйлера.

Корни характеристического уравнения (1.7) для уравнения Эйлера (6.56), p1= 1,

Пара v*(t) = (x*(t), u*(t)) есть основания называть оптимальной, т.к. условия теоремы (6.2) выполняются.

Задачи для внеаудиторной работы

В задачах 1 – 8 найти управляемый процесс, удовлетворяющий необходимым условиям оптимальности. Установить, является ли найденный процесс оптимальным. Решение изобразить графически.

83

МЕТОД ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ

использовать нельзя, так как задано правое граничное значение функции состояния. Решения изобразить графически.

84

МЕТОД ЛАГРАНЖА-ПОНТРЯГИНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ

В задачах 12 – 13, имеющих квадратичный терминальный член, отыскать решение, анализируя поведение сопряженной функции ψ(t).

14. Задача о линии наименьшей длины [9, с.173]:

Пусть на плоскости (t, y) заданы точки A(t1, y1) и B(t2, y2). Среди всех линий, соединяющих эти точки на плоскости, выбрать линию наименьшей длины. Из элементарной геометрии известно, что это прямая. Самостоятельно с использованием указанного источника показать этот результат, обращаясь к изученным методам оптимизации в форме задачи Эйлера:

y(t1) = y1, y(t2) = y2.

Обосновать оптимальность полученного решения.

15. Самостоятельно рассмотреть негативный пример [9, с.175] для задачи Эйлера, где удовлетворяющий необходимым условиям оптимальности процесс может быть оптимальным или неоптимальным в зависимости от исходных параметров:

T

J = ∫ (u2 – x2)dt → min;

0

dxdt = u; x(0) = x(T) = 0.

Величину T считать заданной, но заранее не фиксированной.

85

МЕТОД ЛАГРАНЖА ДЛЯ МНОГОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

ГЛАВА 7. Метод Лагранжа для многошаговых процессов управления

7.1. Уравнения метода. Условия оптимальности для многошагового процесса с неограниченным управлением

Выше уже давался комментарий, почему для дискретных (многошаговых) процессов некорректно применение термина “принцип максимума” (хотя на практике его, пусть с долей условности, но используют [1]). Мы, однако, будем называть его методом Ла-

причем u*(t) – внутренняя точка множества V tu при всех t=0, 1,...,T-1.

Обозначим через M множество допустимых пар v=(x(t), u(t)), т.е. пар, удовлетворяющих условиям (7.1) и (7.2). Поставим задачу об отыскании пары v=(x(t), u(t)) M, на которой

Выведем уравнения метода Лагранжа аналогично непрерывному варианту, опираясь на достаточные условия оптимальности. Согласно последним (см. главу 4), если допустимый процесс (x*(t), u*(t)) и функция ϕ(t, x) такие, что выполняются условия

x Vxt

то процесс x*(t), u*(t) оптимален, т.е.

J(x*, u*) = min J(x, u).

( x,u) M

Для задачи с закрепленным правым концом условие (7.6) удовлетворяется тривиально, так как при t = T множество V tx состоит только из одной точки.

Согласно формуле (4.25) для задачи (7.1)–(7.4) функция R(t, x, u) имеет следующий

Так как в модели (7.1)–(7.4) других ограничений, кроме краевых условий на состояние, нет, то множество V tx совпадает со всем пространством X. Пусть функция ϕ(t,x) –

дифференцируемая по x, функции f i(t, x, u), i=1,..., n, f 0(t, x, u) – дифференцируемые по x, u в точках x*(t), u*(t). Тогда необходимыми условиями максимума функции R(t, x, u) по x (поскольку на x нет ограничений) и u являются следующие:

86

МЕТОД ЛАГРАНЖА ДЛЯ МНОГОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

Представим в более удобном для приложений виде условия (7.9). С учетом (7.7) и (7.10) левая часть в (7.9) принимает вид

Теперь расшифруем другое необходимое условие (7.8). Учитывая выражение (7.7), найдем

i= 1,..., n,

ас учетом функции Гамильтона (7.11) окончательно получаем

Итак, в результате представленных преобразований получены необходимые условия оптимальности (7.13) и (7.16) многошаговых управляемых процессов. Неизвестными здесь являются n-мерный вектор оптимального состояния x*(t), r-мерный вектор оптимального управления u*(t) и сопряженная n-мерная вектор-функция ψ(t). Таким образом,

87

МЕТОД ЛАГРАНЖА ДЛЯ МНОГОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

число неизвестных будет равно 2n + r, а условия (7.13), (7.16) задают всего n + r уравнений. Недостающие n условий дают уравнения процесса (7.1) с учетом краевых условий (7.2). Следовательно, система уравнений для определения 2 n + r неизвестных полностью определена.

Необходимые условия оптимальности воплощаются в следующей системе уравнений метода Лагранжа. Последовательность действий:

1) решаем систему r уравнений относительно компонент вектора u*(t) при фиксированных значениях остальных компонент:

∂∂u H(t, x*(t), ψ(t+1), u*) u*(t) = 0,

в результате получаем u*(t) c параметрами x*(t), ψ(t+1), где H(t, x, ψ, u) - функция Гамильтона (гамильтониан);

2) составляем и решаем сопряженную систему и систему уравнений процесса:

x*(0) = x0, x*(T) = x1

или, если правый конец свободен, применяем условие трансверсальности

ψ(Т)= – ∂F∂(xx ) х*(Т)).

Пример 7.1. Рассмотрим управляемую систему с квадратичным функционалом и линейными ограничениями. Решение, как следует из раздела 6.3, будет оптимальным. Рассмотрим задачу оптимального управления:

88

МЕТОД ЛАГРАНЖА ДЛЯ МНОГОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

4. К заданной выше системе присоединяем уравнение процесса:

Для удобства последующих расчетов в системе уравнений 3 и 4 проведем некоторые преобразования, так чтобы в конечном счете в уравнениях слева иметь зависимости от t, а справа - от t+1 (или наоборот). Получаем:

х1* (t) = х*2 (t+1) - 21 ψ2(t+1);

х*2 (t) = х1* (t+1) - х*2 (t+1) - 21 ψ1(t+1) + 21 ψ2(t+1),

ψ1(t) = ψ1(t+1) + 2ψ2(t+1) – 2х2(t+1); ψ2(t) = 2ψ2(t+1) – 2 х1* (t+1) + 2х2(t+1) - ψ2(t+1).

Это позволяет удобным образом вести итеративный процесс, последовательно понижая значения t от 4 до 0.

Исходя из последних четырех формул, с учетом граничных условий (7.17), получа-

ем

при t = 3:

х1* (3) = - 21 ψ2(4);

х*2 (3) = 4 - 21 ψ1(4) + 21 ψ2(4);

ψ1(3) = ψ1(4) + 2ψ2(4); ψ1(3) = 2ψ1(4) - 8 - ψ2(4);

при t = 2:

х1* (2) = х*2 (3) - 21 ψ2(3) = 4 - 21 ψ1(4) + 21 ψ2(4) - ψ1(4)+4+ 21 ψ1(4) = 8 - 32 ψ1(4)+ ψ2(4);

х*2 (2) = х1* (3) - х*2 (3) - 21 ψ1(3) + 21 ψ2(3) =- 21 ψ2(4) - 4 + 21 ψ1(4) + 21 ψ1(4) - - 21 ψ2(4) - 21 ψ1(4) - ψ2(4) = 4 - 2ψ2(4);

ψ1(2) = ψ1(3) + 2ψ2(3) - 2 х*2 (3) = ψ1(4) + 2ψ2(4) + 4ψ1(4) - 16 - 2ψ2(4) = -16 + 5ψ1(4); ψ2(2) = 2ψ1(3) - 2 х1* (3) + 2 х*2 (3) - ψ2(3) = 2ψ1(4) + 4ψ2(4)+ ψ2(4) + 8 -

-ψ1(4)+ ψ2(4) - 2ψ1(4) + 8 + ψ2(4)= 8 - ψ1(4) + 7ψ2(4);

при t=1:

х1* (1) = - х*2 (2) - 21 ψ2(2) = - 4 - 2ψ2(4) - 4 + 21 ψ1(4) - 72 ψ2(4) = - 8 + + 21 ψ1(4) - 112 ψ2(4);

89

МЕТОД ЛАГРАНЖА ДЛЯ МНОГОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

- 132 ψ2(4) - 4 - 23 ψ1(4) - 9ψ2(4) - 32 + 7ψ1(4) - 6ψ2(4) = - 68 + 10ψ1(4) - 27ψ2(4) = 1.

На последней, нулевой итерации значения ψ1(0) и ψ2(0) даже не обязательно вычислять, так как уже имеется возможность удовлетворить начальным условиям (7.17). Последняя итерация приводит к двум линейным алгебраическим уравнениям (7.20) с двумя неизвестными:

Решая эти уравнения, получаем: ψ1(4) = 4,262; ψ2(4) = - 0,9769. Если теперь подставить найденные значения ψ1(4) и ψ2(4) в правые части проведенных выше итераций, то можно вычислить искомые функции оптимального состояния х1* (t), х*2 (t), сопряженные функции ψ1(t), ψ2(t) и, согласно формулам (7.18) и (7.19), – оптимального управления u1* (t) и u*2 (t). Обоснованность оптимального решения обсуждалась в разделе 6.3.

В рассмотренном случае решение краевой задачи и точное оптимальное решение задачи ТОУ удалось получить в аналитической форме. Это следствие ее относительной простоты: выпуклый квадратичный функционал и линейные ограничения. В результате система конечно-разностных уравнений оказалась линейной, что позволило в аналитическом виде “протащить” до конца (до нулевой итерации) неизвестные значения ψ1(4) и ψ2(4), а затем точно определить их, решая систему (7.20). В более сложных случаях аналитические прогонки затруднительны, а порой и просто невозможны. Нужно сразу задавать конечные значения ψ1(4) и ψ2(4) в числовом виде, а дойдя до конца итераций, менять их, если не выполняются условия типа (7.20). Такие прогонки необходимо повторить многократно, и реализация процедуры итеративных расчетов до приемлемой точности возможна только с применением ЭВМ. Эта проблема уже обсуждалась в разд. 1.6. На практике мы столкнемся с ней в главе 8.

90