Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Актуарная математика

.pdf

Скачиваний:

216

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

6.Сертификат, выданный на 120 дней, обеспечивает держателю доход в виде дисконта, равного 15% от суммы погашения. Определите размер простой годовой процентной ставки, доставляющей такой же доход при начислении: а) обыкновенных процентов; б) точных процентов (год невисокосный); в) точных процентов (год високосный).

7.Вклад до востребования был размещен с 10 января по 14 апреля того же года. Рассчитайте двумя способами (приближенно и точно) количество дней, которое может быть использовано для начисления процентов, если год: а) високосный; б) невисокосный. Выполните аналогичные расчеты, если вклад до востребования был размещен с 18 марта по 26 июля.

8.Вклад в размере 40 тыс. руб. был размещен в банке 12 марта под простую процентную ставку 13% годовых. При востребовании вклада 15 октября того же года вкладчику были начислены проценты

вразмере 43,035 тыс. руб. Какой способ начисления процентов использовал банк?

9.По депозитному 30-дневному сертификату номиналом в 10 тыс. руб. начисляются обыкновенные проценты по ставке 12% годовых. Рассчитайте, какой должна быть годовая процентная ставка при начислении точных процентов с условием, чтобы они были равны обыкновенным. Какова величина начисленных процентов? Год високосный.

10.Банк выдавал кредиты своим четырем клиентам А, В, С и D - следующим образом: клиенту А - на 45 дней под 28% годовых; все деньги, полученные от клиента А, сразу выдал клиенту В на 120 дней под 33% годовых; всю сумму, полученную от клиента В, выдал клиенту С на 100 дней под 32% годовых и, получив деньги от клиента С, выдал их клиенту D на 40 дней под 30% годовых. Клиент D в конце срока вернул банку 37 632 руб. Какую сумму получил клиент А, если во всех случаях начислялись простые обыкновенные проценты?

11.Векселедержатель 20 февраля предъявил для учета вексель со сроком погашения 28 марта того же года. Банк учел вексель по учетной ставке 13,5% годовых и выплатил клиенту 19,3 тыс. руб. Какой величины комиссионные удержаны банком в свою пользу, если год невисокосный?

12.Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 60 тыс. руб. со сроком погашения 21 октября текущего года. Вексель предъявлен 3 октября. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 12% годовых. Определите сумму, которую векселедержатель получит от банка, и величину комиссионных, удерживаемых банком в свою

пользу за предоставленную услугу. За какое время до срока платежа

операция учета векселя по учетной ставке 12% имеет смысл?

13.Банк 9 июня учел два векселя со сроками погашения соответственно 29 июня и 23 июля того же года. Применяя учетную ставку 13% годовых, банк выплатил клиентам в общей сложности 34 216 руб. Определите номинальную стоимость первого векселя, если второй вексель предъявлен на сумму 10 тыс. руб.

14.В банк 13 июля предъявлен для учета вексель, выданный 4 мая того же года и со сроком погашения 1 сентября, причем на номинальную стоимость векселя предусматривалось начисление простых процентов по процентной ставке 13,5% годовых способом 365/365. Банк для определения своих комиссионных при учете векселя применяет простую учетную ставку 14% годовых и способ 365/360. Определите номинальную стоимость векселя, если, величина общего дохода банка составила 3521 руб.

15.Банк за 20 дней до срока учел вексель на сумму 40 тыс. руб., при этом удержав комиссионные в размере 800руб. Какую учетную ставку использовал банк, если считается, что в году 360 дней? Как изменится результат, если банк при учете векселя использует простую процентную ставку?

16.Векселедержатель собирается предъявить какому-либо банку для учета вексель на сумму 50 тыс. руб. за 45 дней до срока его погашения. Один банк предлагает учесть вексель по учетной ставке 13% годовых. Другой банк предлагает учесть вексель по простой процентной ставке 13% годовых. Чьи условия выгоднее для векселедержателя?

17.В банк предлагаются для учета два векселя: на сумму 30 тыс. руб. со сроком погашения через 2 месяца и на сумму 34 тыс. руб. со сроком погашения через 8 месяцев. При какой: а) учетной ставке, б) процентной ставке банк при учете этих векселей выплатит одинаковые суммы, если расчетное число дней в году равно 360?

18.Предприниматель разделил свой капитал на две равные части, одну из них он поместил в банк под простую процентную ставку 30% годовых, а другую часть потратил на покупку векселя со сроком погашения через 250 дней, при этом он учел вексель по простой учетной ставке, также равной 30% годовых. Через 250 дней деньги, полученные предпринимателем по векселю, превышали сумму, образовавшуюся к этому сроку в банке, на 572 руб. Какова была величина первоначального капитала предпринимателя, если во всех расчетах предполагалось, что в году 360 дней?

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

2.1 Цель занятия

Овладеть методикой наращения и дисконтирования по схеме сложных процентов, а также по схеме непрерывных процентов.

2.2 Задачи занятия

Освоить навыки нахождения наращенной и дисконтированной суммы при m-кратном начислении сложных процентов при использовании как процентной, так и учетной ставок; определения периода времени, необходимого для увеличения исходной суммы в k раз, номинальной и эффективной процентных ставок.

2.3 Краткие теоретические сведения и формулы для расчета

Пусть клиент положил в банк сумму Р, под простые проценты, счет можно закрыть в любое время и происходит ежегодное начисление процентов. Если клиент через два года закроет счет, то он полу-

чит сумму F s	P(1 2r) . Но он может через год закрыть счет, получив
2
сумму P(1 r) ,	а затем положить эту сумму еще на год, осуществив
операцию реинвестирования. В конце второго года:
F c P(1 r)(1 r) P(1 r)2		P(1 2r r2 ) F s P r .	(2.1)
2		2
F c больше F s на величину		P r2 (P r)r , которая представляет
2	2

собой проценты, начисленные на проценты, полученные за первый год.

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала Р (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов. Размер капитала:

кконцу 1-го года F1 P Pr P(1 r)

кконцу 2-го года F2 F1 F1r F1(1 r) P(1 r)2

…

к концу п-го года F P(1 r)n	(2.2)
n

Формула (2.2) называется формулой наращения по сложным процентам.

(1 r)n - множитель наращения сложных процентов или мультипликатирующий множитель, 1 r - коэффициент наращения или сложный декурсивный коэффициент.

Приращение капитала

I Fn P P (1 r)n 1 . (2.3)

Финансовое соглашение может предусматривать плавающие процентные ставки. Пусть на период nk установлена процентная став-

ка ik . Тогда наращенная сумма за время n nk определяется по фор-

					k 1
муле:
					m
Fn	P(1 i1)n1 (1 i2 )n2		... (1 im )nm P (1 ik )nk .			(2.4)
					k 1
			1
		m
				n	, тогда
				n
Обозначим i (1 ik )nk
		i 1
		)n .				(2.5)
F	P(1 i	)n .				(2.5)
n

Таким образом, в течение всего периода длительностью п, можно установить сложную ставку i , доставляющую такой же результат.

Часто заключаются контракты на период отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться с помо-

щью следующих методов:
-	по схеме сложных процентов
	F P(1 r)w f	(2.6)
	n
-	по смешанной схеме (используется схема сложных процентов

для целого числа лет и схема простых процентов – для дробной части года)

F P(1 r)w (1 fr) ,	(2.7)
n

где w [n] - целое число лет ([] – обозначается целая часть числа) f - дробная часть года ( f {n} n [n] ); n w f

Сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т.е. сравним (1 nr) и (1 r)n . Очевидно, что при п=1 эти множители совпадают и равны 1 r . При любом r справедливы равенства:

1 nr (1 r)n , если 0 n 1 1 nr (1 r)n , если n 1

Найдем в общем виде время, необходимое для увеличения первоначальной величины Р в k раз при начислении простых и сложных процентов.

Для простых процентов:

1 nr k n	k 1		.			(2.8)
1 nr k n			.			(2.8)
		r
Для сложных процентов:
(1 r)n k n		ln k			.	(2.9)

		ln(1		r)
		ln(1		r)
						16

На практике капитализация происходит несколько раз в год: по полугодиям, ежеквартально, ежемесячно и т.д.

Пусть заданы количество т начислений в год и годовая процентная ставка r(m) . В этом случае длительность периода наращения

равна

года. Годовая процентная ставка r(m)

называется номиналь-

ной, если соответствующая процентная ставка

за период

нахо-

r(m)

дится из равенства

В этих обозначениях формула для наращения капитала за п лет:

F P(1 i

)N P(1

r(m)

)mn ,

(2.10)

где N mn - количество периодов начисления процентов за n лет.

Из формулы (2.10) можно найти период п, за который сумма Р

при т кратном начислении процентов в год возрастет до Fn .

(2.11)

r(m)

m ln 1

Из той же (8) можно определить r(m)

(m)

1 .

(2.12)

Возможны финансовые контракты, в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов.

- схема сложных процентов

r(m) f

r(m)

;

(2.13)

P 1

- смешанная схема

F P 1

r(m)

1 f

r(m)

, (2.14)

где w [mn] -целое число подпериодов в п годах, f - дробное число,

n w f m

Различными видами финансовых контрактов могут предусматриваться разные схемы начисления процентов. Обычно в контракте оговаривается номинальная процентная ставка. Эта ставка не отражает реальной эффективности сделки и не может быть использована для

сопоставлений. Универсальным показателем является эффективная годовая процентная ставка ref , обеспечивающая переход от P к Fn при

заданных значениях этих показателей и начислении процентов раз в год. Пусть задана исходная сумма P , годовая процентная ставка (номинальная) r(m) r , число начислений сложных процентов т. Этому набору исходных величин в рамках одного года соответствует определенное значение наращенной величины F1 . Требуется найти такую годовую ставку ref , которая обеспечивала бы такое же наращение, как

и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т.е.

т=1.

Из формулы (2.10) в рамках одного года:

r(m) m

F1 P 1

. Для

эффективной годовой ставки:

(m) m

F1 P P ref

P(1 ref ) ref

(2.15)

1 .

Дисконтирование по сложной процентной ставке

Базовая формула математического дисконтирования:

(2.16)

(1 r)n

Дисконт определяется по формуле

D F P F

F (1 (1 r) n ) .

(2.17)

(1 r)n

При т-кратном начислении процентов в год из формулы (2.10),

обозначая r(m) r :

(2.18)

)mn

D F P F

(2.19)

Определяя процентную ставку в дисконтном множителе, исходят из безопасного (гарантированного) уровня доходности и надбавки за риск.

	rd rf rr ,									(2.20)
где rf - безрисковая доходность; rr						- премия за риск.
Сравним результаты математического дисконтирования по про-
стой и сложной ставкам.		P( s)		Fn		,	P(c)		Fn	.
стой и сложной ставкам.		P( s)				,	P(c)			.
		n	1	nr			n	(1	r)n
			1	nr				(1	r)n
P(s) P(c) , если 0 n 1;
n	n
P(s) P(c) , если n 1
n	n
					18

Pn(s) Pn(c) , если n 1.

Сложная учетная ставка

Пусть некоторое долговое обязательство на сумму F n и сроком

погашения через п лет продается (учитывается) раньше срока по сложной учетной ставке d . Если осуществить продажу за год до сро-

ка, то	начисляются		проценты	Fnd и продавец	получит сумму
Fn Fnd Fn (1 d) .		Если долговое обязательство продается за п лет до
срока, то
	P F (1 d)n .				(2.21)
	n
Дисконт равен
	D F P F F (1 d)n F (1 (1 d)n ) .				(2.22)
	d	n	n n	n
Если срок п не является целым числом лет, то возможны 2 схе-
мы:
-	сложная учетная ставка
	P F (1 d )w f ,				(2.23)
	n
-	смешанная схема
	P F (1 d)w (1 fd ) .				(2.24)
	n

Сравним между собой дисконтирование по простой и по сложной учетным ставкам. Множители дисконтирования: (1 nd ) и (1 d )n ,

при d	1	, справедливо:	(1	nd ) (1 d )n , если 0 n 1
	n		(1	nd ) (1 d )n , если n 1

Пусть дисконтирование происходит т раз в году и задана сложная учетная ставка d (m) . Годовая учетная ставка d (m) называется номи-

нальной, если в начале каждого периода, длительностью					1	, осущест-
нальной, если в начале каждого периода, длительностью					m	, осущест-
					m
вляется дисконтирование по ставке			d (m)	. В этих обозначениях форму-
вляется дисконтирование по ставке			m	. В этих обозначениях форму-
			m
ла (2.21) примет вид:
	d (m) mn
						(2.25)

P Fn 1		.
	m

Пусть в (2.25) тп не является целым числом. Это возможно тогда, когда начисление процентов по учетной ставке (дисконтирование) осуществляется по внутригодовым подпериодам, но общий период п не равен целому числу подпериодов.

- сложная учетная ставка

(m) f

(m)

(2.26)

P Fn 1

Fn 1

- смешанная схема

P F 1

d (m)

1 f

d (m)

. (2.27)

Из равенства (2.25) можно определить п:

	ln	P
n	ln	Fn					.			(2.28)
		Fn
	m ln(1		d (m)			)
	m ln(1					)
				m
Из этого же равенства (10) можно определить величину номи-
нальной учетной ставки:
						1
					P
								mn
d (m) m(1									) .	(2.29)
d (m) m(1									) .	(2.29)
					Fn
					Fn
Часто возникает задача определения эффективной учетной став-
ки def , обеспечивающую переход от Fn к P										при заданных значениях

этих параметров и однократном дисконтированию. Эффективная годовая учетная ставка дает возможность увидеть, какая годовая простая учетная ставка позволяет достичь такого же финансового результат, как и при т –кратном дисконтировании в год по учетной ставке

d (m)		F1 (1 def		d (m) m
	. Поскольку в рамках одного года:	F1 (1 def	) F1 1		, то
m				m
m				m

			d (m) m		(2.30)
def 1 1				.	(2.30)

			m
Сложная учетная ставка применяется не только для осуществле-
ния процесса дисконтирования. Можно из (2.21) получить:
Fn	P	.			(2.31)

	d )n
(1	d )n

Эта формула называется формулой наращения сложными про-

центами по учетной ставке;	1	- множитель наращения при на-
	(1 d )n

числении сложных процентов по учетной ставке.

Экономический смысл: при выдаче кредита величиной F на п лет удерживаются сложные проценты по ставке d (за каждый год удерживается доля d от предыдущей суммы), то кредитор выдает должнику сумму P F(1 d )n . Должник через п лет обязан возвратить


сумму F	P
		, а это и есть наращение по сложной учетной ставке.
	(1 d )n
Приращение капитала:
	1
	I F P P(1			) .	(2.32)
			(1 d )n

Наращение по учетной ставке происходит быстрее, чем нараще-

ние по процентной ставке, так как	1	1 i

	1 i

Если наращение сложными процентами по учетной ставке происходит т раз в год, то формула (2.31) примет вид:

Fn		P	.	(2.33)

		d (m) mn


	1	m

В некоторых случаях по условиям контракта предусмотрены плавающие учетные ставки. Пусть на периоды n1, n2 ,..., nm установлены учетные ставки d1, d2 ,..., dm . Тогда при наращении сложными процента-

ми итоговая сумма за время n nk определяется:

				k 1
Fn			P			P	.	(2.34)

		n	n	n		m
	(1	d1) 1	(1 d2 )	2 ...(1 dm )	m	(1 dk )nk

k 1

Использование операций наращения и дисконтирования приводит в одних и тех же операциям к разным результатам. Сводя воедино приведенные ранее неравенства можно записать для множителей наращения:

(1 i)n 1 ni

, если 0

n 1

;

(1 i)n

1 i

, если n 1;

1 ni

(1 i)n

, если n 1 .

(1 i)n

Для множителей дисконтирования:

(1 i)n 1 ni

, если 0

n 1

;

(1 i)n

1 i

, если n 1;

1 ni

(1 i)n

, если n 1 .

(1 i)n

Непрерывное начисление процентов и непрерывное дисконтирование.

В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы осуществляется различными темпами, причем с возрастанием частоты накопленная сумма при использовании одной и той же по величине номинальной процентной ставки увеличивается. Пусть r(m) r - годовая номинальная процентная ставка. Оставим неизменной величину этой ставки и увеличим число начислений сложных процентов

m . Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала m

r(m) nm

r ( ) n

(2.35)

lim P 1

так как 2-ой замечательный предел

k m

, e 2,718

lim 1

Обозначают непрерывную ставку r( )

и называют силой рос-

та. Т.о. формула для нахождения наращенной суммы за n лет при не-

прерывном начислении процентов F Pe n

. e n - множитель нараще-

ния.

Для , r, d

не превышающих 20%:

(2.36)

d 2

(2.37)

А при ставках до 10% можно использовать r и d

Если наращение сложными процентами

осуществляется по номи-

нальной годовой учетной ставке, то Fn

станет

d (m) mn

( m )

F lim

Ped n .

(2.38)

d (m) mn

При d ( )

r( )

Per ( ) n Ped ( ) n , т.е. исчезает различие между на-

числением процентов по сложной процентной ставке и сложной учетной ставке, если использовать непрерывное начисление и капитализацию.

Современная стоимость при дисконтировании по непрерывным

процентам:
P F e n .	(2.39)
n

В этом случае - сила учета и показывает скорость относительного уменьшения учитываемой (при непрерывном дисконтировании) суммы. При этом сила роста равна силе учета.

Предположим, что сила роста меняется в следующих друг за другом периодах, с длительностями n1, n2 ,..., nm , сила роста равна соот-

ветственно	,	,...,	m	. Для наращенной суммы за период n	F P e 1n1 .
1	2		m	1	n
					1

Далее наращение суммы непрерывными процентами за период n2

		m
Fn1 n2	Fn1 e 2 n2	P e 1n1 2 n2 . Окончательно за период n nk
		k 1
	F P e 1n1 2 n2 ... m nm .		(2.40)
	n
		22

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.2019784 Кб0администрирование.doc
#
18.03.2015760 Кб104АЗС.pdf
#
01.03.202522 Кб1АИС Вопросы к экзамену 2012 декабрь.docx
#
01.07.2025679 Кб1Аитов 2-2.doc
#
23.11.2019320 Кб7айдар.docx
#
18.03.20151 Мб216Актуарная математика.pdf
#
18.03.201514 Мб135акчурин ОТЧЕТ готов.doc
#
17.03.2015838 Кб96Алгебраические операции S_4.doc
#
16.08.2019841 Кб6Алгебраические операции S_4.doc
#
01.07.2025157 Кб1Алгоритм оформления заявки.doc
#
01.05.2025234 Кб0Алгоритмы и структ дан.docx