bodalev

Подчеркнем, что с точки зрения теории измерений, процентиль-

ные шкалы относятся к порядковым шкалам: они дают информацию о том, у кого из испытуемых сильнее выражено измеряемое свойство, но не позволяют говорить о том, во сколько раз сильнее. Для того чтобы строить на базе таких шкал количественный прогноз, нужно повысить уровень измерения (популярное изложение представлений о теории измерений см. в книге: Клигер С. А. и др., 1978). Переход к шкалам интервалов производят либо на базе эмпирического распределения,

либо на базе произвольной модели теоретического распределения. В

абсолютном большинстве случаев в роли такой теоретической модели оказывается модель нормального распределения (хотя в принципе может быть использована любая модель).

В целом кроме статистических, процентильных шкал следует от-

личать нередко используемые в дифференциальной психометрике еще

2 вида шкал (и соответственно 2 вида тестовых норм). Это, во-первых,

то, что можно условно назвать «абсолютными тестовыми нормами» —

в роли шкалы для вынесения диагноза выступает сама шкала «сырых» очков, во-вторых, «критериальные» тестовые нормы. Применение та-

ких норм можно считать оправданным в двух случаях: 1) когда сама тестовая «сырая» шкала имеет практический смысл (например, сту-

дент, изучающий иностранный язык, должен знать как можно больше слов этого языка, и сырой показатель лексического теста имеет прак-

тический смысл); 2) когда сырой балл по тесту в результате эмпириче-

ских исследований связывается с заданной вероятностью успешности какой-либо практической деятельности (вероятность успеха «критери-

альной» деятельности, каковой для упомянутого выше примера может быть синхронный перевод монолога в течение 30 минут).

Процентильная нормализация шкалы. Выше Показано, что нор-

мальность распределения достигается искусственным подбором пун-

ктов теста с заданными статистическими свойствами: Опишем еще ряд процедур, которые также широко используются для искусственной нормализации.

1. Нормализация пунктов. Ключ для данного пункта корректиру-

ется на базе нормальной модели. Если среди нормативной выборки с данным заданием справились только 16 % испытуемых, то данному пункту на интервальной шкале «трудности» (при условии априорного

82

принятия нормальной модели с параметрами М = 0 и а = 1) соот-

ветствует значение +1 (см. график в книге: Анастазй А., 1982, с. 181).

Если справились 75 % испытуемых, то балл пункта на сигма-шкале равен-0,67. В результате суммирования по пунктам баллов, скоррек-

тированных нормализацией, суммарные баллы лучше приближаются к нормальному распределению.

2. Нормализация распределения суммарных баллов (или интер-

вальная нормализация). В этом случае по таблице нормального рас-

пределения (нормального интеграла) производится переход от про-

центильной шкалы к сигма-шкале: используется функция, обратная интегральной, - от ординаты производится переход к абсциссе нор-

мального распределения.

Рис. 4. Преобразование процентильной шкалы (по оси X)

в нормализованную сигма-шкалу (по оси Y)

На рис. 4 дана условная графическая иллюстрация этого пере-

хода (кривая, обратная традиционной S-образной интегральной кри-

вой нормального распределения).

Приведем пример интервальной нормализации (табл. 3). Пусть строка X содержит сырые баллы (не нормализованные) по тесту, по-

лученные простым подсчетом правильных ответов. В строке Р - час-

тоты встречаемости сырых баллов в выборке из 62 испытуемых. В

i

строке F - кумулятивные частоты:Fi = Pji . В строке F* - кумулятив-

83

PRi Fi* 100/n. В строке σ даются нормализованные баллы, по-

лученные из соответствующих процентильных рангов по таблицам, а -

оценки часто называются в зарубежной литературе также z-оценками.

Таблица 3

Трудность, с которой сталкиваются начинающие при использо-

вании интервальной нормализации, состоит в том, что обычные стати-

стические таблицы не приспособлены для психометрики: нужно отыс-

кивать значение процентильного ранга внутри таблицы, а соответству-

ющую сигма-оценку – с краю. Для облегчения ориентации приведем фрагмент таблицы соответствий PR, а и стенов (табл. 4):

Таблица 4

В обычных таблицах из соображений симметрии даны лишь зна-

чения для PR > 50. Для PR < 50 соответствующие значения находятся из тех же таблиц σ = ψ -1(1- PR/100). Например, для PR =35 мы нахо-

дим 1 - PR/100 = 1 - 0,35 = 0,65, затем - по табл. ψ -1 = 0,39 и берем это значение с отрицательным знаком -0,39. Для нормализации удобно пользоваться графическим методом (нормальной бумагой, стандартной

5-образной кривой и т. п.).

В результате нормализации интервалы между исходными сыры-

84

ми баллами переоцениваются в соответствии с нормальной моделью. В

отличие от процентильной шкалы, нормальная шкала придает боль-

ший вес (в дифференциации испытуемых) краям распределения: раз-

личия между испытуемыми, набравшими 95 и 90 процентилей, оце-

ниваются как более высокие, чем различия между испытуемыми, на-

бравшими 65 и 60 процентилей.

В применении к шкалам оценок (рейтинговым шкалам) метод нормализации интервалов называется «методом последовательных ин-

тервалов» (Клигер С. А. и др., 1978, с. 75-81).

В результате применения процедуры нормализации исследова-

тель-психометрист получает для нормативной выборки таблицу пере-

вода сырых баллов в нормализованные баллы. На основе этих таблиц часто строят графики: деления сырых баллов наносят на числовую ось с неравными интервалами, так что эмпирическое распределение час-

тот максимально близко приближается к нормальной форме. Пример такой графической нормализации - профильные листы MMPI (Анастази А., 1982, с. 129).

Так как нормальное распределение описывается всего двумя па-

раметрами: средним М (мерой положения) и средним квадратическим

(или стандартным) отклонением а (мерой рассеяния), то диаг-

ностические нормы в случае нормализованных шкал описываются в единицах отклонений от среднего по выборке; например, заключают,

что испытуемый А показал результат, превышающий средний балл на две сигмы, испытуемый В -результат, оказавшийся ниже среднего бал-

ла на одну сигму, и т. п. На процентильной шкале этому соответствуют процентильные ранги 95 и 16 соответственно.

Переход к нормальному распределению создает очень удобные условия для количественных операций с диагностической шкалой: как со шкалой интервалов с ней можно производить операции линейного преобразования (умножение и сложение), можно описывать диагно-

стические нормы в компактной форме (в единицах отклонений), можно применять линейный коэффициент корреляции Пирсона, критерии для проверки статистических гипотез, построенные в применении к нор-

мальному распределению, т. е. весь аппарат традиционной статистики

(основанной на нормальном распределении). !

Неправомерность онтологизации нормального закона. В тради-

85

ционной психометрике нормальное распределение выступает в роли инструментального понятия, облегчающего оперирование с данными.

Но это не означает, что можно забывать об искусственном проис-

хождении нормального распределения. Традиции западной тестоло-

гии, основанные еще Ф. Гальтоном, предполагают однородность тео-

ретических представлений психометрики и биометрики. Точно так же как происхождение нормального распределения при исследовании ва-

риативности биологических характеристик человеческого организма связывается с наличием взаимодействия постоянного фактора гено-

типа и изменчивых случайных факторов фенотипа, - происхождение межиндивидуальных психологических различий связывается с гене-

тическим кодом, якобы предопределяющим положение индивида на оси нормальной кривой. В действительности же нет никаких основа-

ний приписывать появление нормальной кривой, часто получаемой с помощью специальных статистических непростых процедур, действию механизма наследственности.

В тех случаях, когда на большой выборке удается получить нор-

мальное распределение без каких-либо искусственных способствую-

щих этому мер, это опять-таки не означает вмешательства генетики.

Закон нормального распределения воспроизводится всякий раз, когда на измеряемое свойство (на формирование определенного уровня спо-

собностей индивида) действует множество разных по силе и направ-

ленности факторов, независимых друг от друга. История прижизнен-

ных средовых воздействий, которые испытывает на себе субъект, так-

же подобна последовательности независимых событий: одни факторы действуют в благоприятном направлении, другие - в неблагоприятном,

а в результате взаимопогащение их влияний происходит чаще, чем тенденциозное однонаправленное сочетание (большинство благопри-

ятных или большинство неблагоприятных), т. е. возникает нормальное распределение. Массовые исследования показывают, что введение контроля над одним из средовых популяционных факторов (уровень образования родителей, например) приводит к расслоению кривой нормального распределения: выборочные кривые оказываются сме-

щенными относительно друг друга (Анастази А., 1982, с. 201). Эти ре-

зультаты служат ярким подтверждением социокультурного происхож-

дения статистических диагностических норм, что одновременно служит

86

основанием для серьезных предосторожностей при переносе норм, по-

лученных на одной популяции, на другие популяции. Однородными можно считать только те популяции, по отношению к которым дейст-

вует одинаковый механизм выборки: ив ситуации создания (стандар-

тизации) теста, и в ситуации его диагностического применения. Здесь приходится учитывать и такие нюансы выборочного механизма, как феномен нормальных добровольцев. Если выборку стандартизации формировать на студентах, добровольно согласившихся участвовать в тестировании, а применение теста планируется на сплошных выборках

(в административном порядке), то это грозит определенными ошибка-

ми в диагностических суждениях, так как психологический портрет

«добровольца» в существенных чертах отличается от портрета испы-

туемого, соглашающегося на тестирование только под административ-

ным давлением (Шихирев П.Н, 1979, с. 181).

Подсчет параметров и оценка типа распределения. Для описа-

ния выборочного распределения, как правило, используются следую-

щие известные параметры:

1. Среднее арифметическое значение:

где xj – балл i-го испытуемого;

yi -значение i-го балла по порядку возрастания; pi - частота встречающегося i-го балла;

n - количество испытуемых в выборке (объем);

m - количество градаций шкалы (количество баллов).

2. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение:

3.

87

где x2 - сумма квадратов тестовых баллов для и испытуемых. 3. Асимметрия:

(3.1.3)

где x - среднее арифметическое значение; S - стандартное отклонение;

где Q - среднее значение четвертой степени: Q 4 1n x4 .

Стандартная ошибка среднего арифметического значения (мате-

матического ожидания) оценивается по формуле:

На основе ошибки математического ожидания строятся довери-

тельные интервалы: (x 2Sm ;x 2Sm )

Если тестовый балл какого-либо испытуемого попадает в грани-

цы доверительного интервала, то нельзя считать, что испытуемый об-

ладает повышенным (или пониженным) значением измеряемого свой-

ства с заданным уровнем статистической значимости.

Асимметрия и эксцесс нормального распределения должны быть равны нулю. Если хотя бы один из двух параметров существенно от-

личается от нуля, то это означает анормальность полученного эмпи-

рического распределения.

Проверку значимости асимметрии можно произвести на основе

общего неравенства Чебышева:

1 p

88

где Sa - дисперсия эмпирической оценки асимметрии:

где р - уровень значимости или вероятность ошибки первого ро-

да: ошибки в том, что будет принят вывод о незначимости асимметрии при наличии значимой асимметрии (в формулу подставляют стандар-

тные р = 0,05 или р = 0,01 и проверяют выполнение неравенства).

Сходным образом оценивается значимость эксцесса:

1 p

где Sе - эмпирическая дисперсия оценки эксцесса:

]

Гипотезы об отсутствии асимметрии и эксцесса принимаются с

вероятностью ошибки р (пренебрежимо малой), если выполняются не-

равенства (3.1.6) и (3.1.8).

Более легкий метод проверки нормальности эмпирического рас-

пределения основывается на универсальном критерии Колмогорова.

Для каждого тестового балла у. (для каждого интервала равнозначно-

сти при дискретизации непрерывной хронометрической шкалы) вы-

числяется величина D. - модуль отклонения эмпирической и теорети-

ческой интегральных функций распределения:

где F- эмпирическая интегральная функция (значение кумуляты в данной точке уj); U — теоретическая интегральная функция, взятая из таблиц1. Среди Dj отыскивается максимальное значение Dmax n , и

величина e Dmax n сравнивается с табличным значением t крите-

рия Колмогорова.

1 Значение zj определяется после стандартизации шкалы в единицах стандартно-

89

В таблице 5 приведены асимптотические критические значения для распределения Колмогорова (при n ). Близость эмпирического значения λе к левосторонним стандартным квантилям λt позволяет констатировать близость эмпирического и предполагаемого тео-

ретического распределения с пренебрежимо малой вероятностью ошибки р (0,01; 0,05; 0,10 и т, п.). Близость λе к правосторонним стандартным квантилям λt позволяет сделать вывод о статистически значимом отсутствии согласованности эмпирического и теоретического распределений. Надо помнить, что критерий Колмогорова, очень про-

стой в вычислительном' отношении, обеспечивает надежные выводы лишь при т 200: Критерий Колмогорова резко снижает свою эф-

фективность, когда наблюдения группируются по малому количеству интервалов равнозначности. Например, при n = 200 количество ин-

тервалов должно быть не менее 20 (примерно по 10 наблюдений на каждый интервал в среднем).

Таблица 5

Если проверка согласованности эмпирического распределения с нормальным дает положительные результаты, то это означает, что по-

лученное распределение можно рассматривать как устойчивое -

репрезентативное по отношению к генеральной совокупности - и, сле-

довательно, на его основе можно определить репрезентативные тесто-

вые нормы. Если проверка не выявляет нормальности на требуемом уровне, то это означает, что либо выборка мала и нерепрезентативна к популяции, либо измеряемые свойство и устройство теста (способ подсчета) вообще не дают нормального распределения.

В принципе отнюдь не обязательно все нормативные распреде-

90