МАТ_АНАЛІЗ_1_курс_2_семестр_Інтэграл_1

так как

m 1

3 — целое число. Применяем подстановку а+bxn=tn , которая в

n

х t 3

1, dx 3t 2dt .

нашем

случае

имеет

вид

t 3

х 1 .

Отсюда t 3

х 1 ,

Значит, х2 3

dx =

t 3

1 2 t

3t 2 dt

х 1

9

6

3

3 10

6 7

3 4

3

3

3

2

39

3 3

= 3

t

2t

t

dt

t

t t

C

х

х

х

х 1 С .

10

7

4

10

70

140

140

Здесь мы

заменили

t

на

t

3

х 1 .

Найдите

этот

интеграл

с

помощью

подстановкой t х 1 .

Пример. Найти интеграл

dx

х2 3 1 x3

5

Решение.

В

нашем

случае:

x 2 (1 x 3 )

5

dx,

т.е.

m 2, n 3, p

5

.

3

3

Отсюда

m 1

p 2 1

5

2

целое

число.

Имеем

случай

3).

n

3

3

Применяем подстановку

x 3 1 t 3 ,

x 3

1

, x (t 3 1) 13 , dx

1

(t 3 1)

1

1 3t 2dt

3

t 3 1

3

4

t 3 (t 3 1)

3 dt.

Тогда

dx

2

1

5

4

=

(t 3 1) 3 (1

)

3 t 2

(t 3 1)

3 dt

х2 3

1 x3

5

t

3

1

2

1

5

4

1 t 3

t 2

= (t 3 1) 3 (1

3 dt

t 3dt dt

)

3 t 2 (t 3 1)

dt

t C

t 3 1

t 3

2

C

2 3x3

.

2x3 (1 x3 )2

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

Если

неопределенный

интеграл

f (x)dx F(x) C

и

F(x)

-

6.

dx

(эллиптические интегралы первого рода),

1k

2

sin

2

x

7.

1 k2 sin2 xdx (эллиптические интегралы второго рода),

8.

dx

(эллиптические интегралы третьего рода).

(1

ksin2 x)

1 k2 sin2 x