Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища Математика для Економістів

.pdf

Скачиваний:

710

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

6 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5535 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

д)

17.а)

в)

д)

18.а)

в)

д)

19.а)

в)

д)

20.а)

в)

д)

21.а)

в)

2x3 3x2 3x 2dx.

x2 x 1 x2 1

5x 6 cos 2xdx.

2x5 8x3 3dx.

x2 2x

x3 x 1

x2 x 1 x2 1 dx.

3x 2 cos5xdx.

3x5 12x3 7dx.

x2 2x

x2 x 3

x2 x 1 x2 1 dx.

x2 3 cos 2xdx.

x5 9x3 4dx.

x2 3x

	2x3 4x2 2x 2
				dx.
	x2 x 1 x2 x 2
4x 7 cos 3xdx.
	x5 25x3 1
		dx.

	x2 5x
	2x3 7x2 7x 9
				dx.
	x2 x 1 x2 x 2
2x 5 cos 4xdx.
	x3 5x2 5x 23		dx.
	(x 1)(x 1)(x 5)

3 1 4

е)

dx.

б)

x2 1 dx

3x 1)

г)

2x3 6x2 7x 4

dx.

2)(x

е)

dx.

б)

4arctg x x

dx.

1 x

г)

2x3 6x2 5x

dx.

(x 2)(x 1)

1 3

е)

dx.

б)

dx.

г)

2x3 6x2 7x

dx.

(x 2)(x 1)

1 3

е)

dx.

б)

x cos x

dx.

2sin x

г)

2x3 6x2 5x 4

dx.

2)(x

1 4

е)

dx.

2 20

б)

2cos x 3sin x

dx.

(2sin x 3cos x)

г)

x3 6x2 4x 24

dx.

2)(x

342

4x2 3x 4

д) x2 1 x2 x 1 dx. 22. а) 8 3x cos5xdx.

в)

x5 2x4 2x3 5x2 7x 9 dx. (x 3)(x 1)x

3x3 4x2 6x

д) x2 2 x2 2x 2 dx. 23. а) x 5 sin3xdx.

в) 2x4 5x2 8x 8 dx. x(x 2)(x 2)

2x2 x 1

д) x2 x 1 x2 1 dx.

24.а) 2 3x sin2xdx.

в) 4x4 2x2 x 3 dx. x(x 1)(x 1)

x3 x2 1

д) x2 x 1 x2 1 dx.

25.а) 4x 3 sin5xdx.

в) 3x4 3x3 5x2 2 dx.

x(x 1)(x 2)

x3 x 1

д) x2 x 1 x2 1 dx.

26. а) 7x 10 sin4xdx.

в) 2x4 2x3 41x2 20 dx. x(x 4)(x 5)

2x3 2x 1

д) x2 x 1 x2 1 dx.

е)

1 5 x4

dx.

б)

8x arctg 2x

dx.

г)

6x2 14x 4

dx.

2)(x 2)

е)

1 5 x4

dx.

2 5

1 2

б)

dx.

x x

г)

6x2 18x 4

dx.

2)(x 2)

е)

1 5 x4

dx.

215

б)

dx.

г) x3 6x2 10x 12 dx. (x 2)(x 2)3

	3 1 5						2
	3 1 5				x4		2
е)								dx.
			x	2 3
				2 3
					x
б)	x 1 x					dx.

		x	2
		x		1

г) x3 6x2 14x 4 dx. (x 2)(x 2)3

	4 1 5					3
е)				x4
							dx.

	x	2 5	x		2

б) x 1x dx.

x2 1

г) x3 6x2 15x 2 dx. (x 2)(x 2)3

343

27. а) 2 8x sin3xdx.

в)

x5 x4 6x3 13x 6

dx.

x(x 3)(x 2)

д)

x3 2x2 x 1

dx.

x 1 x

28. а)

xdx

cos2 x

в)

3x3 x2 12x 2

dx.

x(x 1)(x 2)

д)

x 4

dx.

x 2 x

29. а)

xdx

sin

в)

2x4 2x3 3x2 2x 9

dx.

x(x 1)(x 3)

д)

2x3 2x2 2x 1

dx.

x 1 x

30. а) x sin2 xdx.

в)

2x3 x2 7x 12

dx.

x(x 3)(x 1)

д)

3x3 7x2 12x 6

dx.

x 3 x

2x 3

е)

1 4 x

dx.

б)

arctg x x

dx.

1 x2

г)

2x3 6x2 7x 4

dx.

(x 2)(x

1 4

е)

dx.

x arctg x 4

б)

dx.

г)

2x3 6x2 7x

dx.

(x 2)(x 1)

1 3

е)

dx.

б)

dx.

г)

6x2 10x 52

dx.

(x 2)(x

е)

1 3 x2

dx.

arcsin x 2

б)

dx.

1 x

г)

6x2 13x 6

dx.

(x 2)(x

1 5

е)

dx.

344

РОЗДІЛ IX ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

§1. Обчислення визначеного інтеграла

	Нехай відрізку a, b	задана неперервна невід’ємна функція
f (x) .	Розіб’ємо відрізок	a, b	на п частин точками
a x0	x1 x2 ... xn 1 xn	b . На	кожному елементарному

відрізку xk 1, xk виберемо	довільну точку k і знайдемо довжину
			n
кожного такого відрізка: xk	xk xk 1 . Суму виду Sn (f ) f k xk
			k 1
будемо називати інтегральною сумою для функції			f x на відрізку
a, b . Окремий доданок інтегральної суми f k xk			дорівнює площі
Sk прямокутника зі сторонами		f k xk , k=1,2,...,n. Sk – це площа під
прямою y f k на відрізку		xk 1,xk . Тому вся інтегральна сума

дорівнює площі S=S1+S2+…+Sn під ламаною, утвореною на кожному з відрізків xk 1, xk прямою y f k паралельно осі абсцис.

Для вибраного розбиття відрізка a, b на частини позначимо

max xk максимальну з довжин відрізків xk 1, xk , k=1,2,...,n.
k
Нехай границя інтегральної суми при max xk	0 існує,
k
скінчена і не залежить від способу вибору точок x1, x2 ,...	та 1, 2,....

Тоді ця границя називається визначеним інтегралом від функції

f (x) на

a, b ,

позначається

f (x)dx , а

сама

функція

f (x)

інтегрованою

a, b ,

називається

на

відрізку

тобто

f (x)dx

lim

max xk

k 1

Числа a і b називаються відповідно нижньою та верхньою

межами інтегрування.

a, b ,

Якщо

f x 0

на

то

визначений інтеграл

f x dx геометрично

представляє

собою

площу

криволінійної

лініями y f x , x a, x b,

трапеції – фігури,

обмеженої

y 0

(рис.1).

345

y=f(x)

0 х=а у=0 х=b

Рис.1.

Основні властивості визначеного інтеграла

1.	Визначений інтеграл з рівними межами інтегрування
дорівнює нулю для будь-якої функції f (x)
		a
		f x dx 0 .
		a
2.	Якщо поміняти місцями межі інтегрування, то визначений
інтеграл змінить свій знак на протилежний
	a	b

f x dx f x dx .

3.Сталий множник можна виносити за знак визначеного

інтеграла

C f x dx C f x dx , де С – постійна.

4. Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій

f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx .

5. Якщо f (x) g(x), x [a,b] , то

346

f (x)dx g(x)dx .

6.Якщо m та М – найменше та найбільше значення функції

f (x) (m f x M ) на a, b , то

m b a f x dx M b a .

	a
7. Теорема про	середнє.	Якщо функція f (x) неперервна на
інтервалі a, b , то існує така точка [a,b], що
	b
	f (x)dx f (b a).
	a
8. Якщо функція f (x) інтегрована на інтервалах a,c і c, b , то
вона інтегрована на інтервалі a, b
b	c	b
f x dx f x dx f x dx ,			a c b .
a	a	c

Правила знаходження визначених інтегралів

1. Формула Ньютона-Лейбніца:

b	b F b F a ,
f x dx F x
a	a

де F x - первісна для
де F x - первісна для		f x , тобто F x f x .
	2. Інтегрування частинами:
		b	b b
		b	b b
		u dv uv	a	v du
		a	a	a
де	u u x , v v x нескінченно			диференційовані функції			на
відрізку a, b .
	3. Заміна змінної:
	b

	f x dx f t t dt ,
	a					усією похідної t
де	x t функція,	неперервна	разом		з	усією похідної t	на
відрізку α t β, a a , b β ,				f t		функція неперервна на
α, β .

347

4. Якщо f x непарна функція, тобто f x f x , то

f x dx 0 .

Якщо f x парна функція, тобто f x f x , то

f x dx 2 f x dx .

a	0
	1
Приклади 1. 1)	Обчислити інтеграл x 2dx як границю
	0

інтегральної суми.

розділимо відрізок 0, 1

Тут

f x x 2, a 0, b 1;

на п рівних

частин, тоді xk

b a /n 1/n виберемо k xk . Маємо:

, x2

, ... , xn 1

n 1

, xn

2 1

f 1

;

f 2

,... ,

f n

; f

Отже,

x 2dx lim

3 ... n

n n 1 2n 1

lim

6n 3

Тут використана формула суми квадратів натуральних чисел.

π/4

2) Обчислити

за формулою Ньютона-Лейбніца.

cos

π/6

π/4

tg x

cos2

π/6

cos x dx

3) Оцінити інтеграл

1 x 4

Оскільки

cos x

то

при

x 10

одержимо

нерівність

cos x

10 2 .

1 x 4

Отже,

348

	18		cos x dx												18	cos x dx
			cos x dx			8 10 2				10 1 ,	тобто					cos x dx	0,1 .

				1 x 4												1 x 4
	10			1 x 4											10	1 x 4
							π/2			dx
4) Оцінити інтеграл										dx			.
4) Оцінити інтеграл											2		.
								0 5 3 cos				x
Оскільки 0 cos2						x 1, маємо
		1			1				1			π/2				dx
		1			1				1	та		0				dx		.
					5 3 cos2 x					та				5 3cos2 x				.
		8			5 3 cos2 x		5			16				5 3cos2 x			10
					1

5) Обчислити xe xdx .

Скористаємося методом інтегрування частинами. Покладемо

u x, dv e xdx , звідки du

dx,

v e x . Тоді

1 1

e 2

dx xe

6) Обчислити

ln2 x

dx .

Покладемо

ln x t ; тоді

dt ;

якщо

x 1, то

t 0 ; якщо

x e , то t

Отже,

e	ln2 x	1	2		1		1
		dx t		dt		t
	x	dx t		dt		t	0
1	x	0			3		0
	r
7) Обчислити		r 2 x 2 dx .
	0

1 13 03 1 . 3 3

Покладемо				x r sin t ;				тоді	dx r					cos t			dt ;		якщо x 0 , то
t 0 ; якщо x r , то t						π /2 . Тому
r							π /2
	r 2 x 2 dx							r 2 r 2 sin2 t r								cos t dt
0							0
1				2 π /2					1		2			1				π /2
		r			1 cos 2t dt					r		t			sin 2t
		r			1 cos 2t dt				2	r		t		2	sin 2t
2					0				2					2				0
			r 2			1						1						r 2	.
							sin		0				sin 0
							sin		0				sin 0
				2		2 2						2					4
				2		2 2						2					4

349

8) Обчислити I π/3

x sin x

dx .

cos2 x

π/3

π/3 x sin x

Підінтегральна

функція

– парна,

а тому

I 2

dx .

cos

Інтегруємо

частинами,

покладаючи

u x,

sin x dx

;

тоді

cos2 x

du dx, v

. Звідси знаходимо

cos x

π/3 x sin x

π/3

lntg

cos2 x

cos x

3 cos /3

lntg

ln tg

Отже, I 2

lntg

arcsin x

9) Обчислити I

dx .

1 x 2

Підінтегральна функція – непарна, отже, I

0 .

100

10) Обчислити інтеграл

1 cos 2xdx.

Маємо:

sin x

. Тому

1 cos 2x

100

1 cos 2xdx

sin x

100

sin xdx sin xdx sin xdx ...

2 sin xdx

sin xdx

2(2 2 2 ... + 2) = 200

11)

Чи можна

застосувати

формулу

Ньютона-Лейбніця до

інтеграла

(x 4)

Ні, не можна. Якщо формально обчислювати цей інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніця, то одержимо невірний результат. Дійсно,

5	dx		1		5


	(x 4)	4		3
0			3(x 4)		0

1 1 63 21 . 3 192 192 64

350

Але підінтегральна функція f (x)	1	0	і, значить,
	4
	(x 4)

інтеграл не може дорівнювати від’ємному числу. Сенс полягає в тому,

що підінтегральна функція f (x) (x 4)4 має нескінчений розрив у

точці x=4, що належить проміжку інтегрування. Значить, тут формула Ньютона-Лейбніця не може бути застосована.

§2. Невласні інтеграли

1.Основні поняття. При введенні поняття визначеного інтеграла робились припущення, що: 1) інтервал [a,b] інтегрування скінчений і 2) підінтегральна функція на інтервалі обмежена. Відмова від виконання цих умов приводить до поняття невласних інтегралів першого та другого роду. Невласними інтегралами називаються: 1) інтеграли з нескінченними межами; 2) інтеграли від необмежених функцій.

Спочатку розглянемо випадок, коли функція f (x) визначена на

напівінтервалі [a, ) і інтегрована на будь-якому інтервалі [a,b], де b>a.

Невласним інтегралом першого роду f (x)dx від функції

f (x) на напівінтервалі [a, ) називається границя визначеного інтеграла при b

	f x dx lim	b	f x dx .
	f x dx lim		f x dx .
	b
a		a

Якщо ця границя існує й скінчена, то невласний інтеграл називається збіжним; якщо ж границя не існує або дорівнює нескінченності, - розбіжним.

При роботі з невласними інтегралами виділяють такі дві задачі: а) дослідження питання про збіжність заданого невласного

інтеграла; б) обчислення значення інтеграла у випадку, коли він

збігається.

Аналогічно визначається невласний інтеграл на напівінтервалі

( ,b]:

b	f x dx lim	b	f x dx .
	f x dx lim		f x dx .
	a
		a

351

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5535 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.201546 Кб23ВИТОКИ СТРАХУВАННЯ.docx
#
05.12.2018170 Кб7Витрати вир-ва і собівартість продукції.doc
#
19.03.201590 Кб21Витяг - Види трудових договорів.docx
#
01.07.202531 Кб0Виховна година. Толерантність.docx
#
24.11.20191 Мб5ВИШКА_ШПОРИ.docx
#
19.03.20156 Мб710Вища Математика для Економістів.pdf
#
12.11.201959 Кб2ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3 (2).docx
#
12.11.201928 Кб4ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3.docx
#
01.07.2025483 Кб0відаовіді ЦП.doc
#
11.11.2019668 Кб6Відбиток часу у дзеркалі буття.doc
#
01.04.202563 Кб0відносини сша і росії - 1 світова війна+лютнева...docx