Вища Математика для Економістів

42

Завдання 11. Звести криву другого порядку до канонічного виду.

1.x2 y2 4xy 2x 4y 1 0.

2.2x2 2y2 2xy 2x 2y 1 0.

3.4xy 4x 4y 0.

4.2x2 2y2 2xy 6x 6y 3 0.

5.3x2 3y2 4xy 6x 4y 2 0.

6.2xy 2x 2y 1 0.

7.x2 y2 4xy 4x 2y 2 0.

8.4x2 4y2 2xy 10x 10y 1 0.

9.4xy 4x 4y 2 0.

10.x2 y2 2xy 8x 8y 1 0.

11.x2 y2 4xy 8x 4y 1 0.

12.x2 y2 2xy 2x 2y 7 0.

13.2xy 2x 2y 3 0.

14.4x2 4y2 2xy 12x 12y 1 0.

15.3x2 3y2 4xy 8x 12y 1 0.

16.x2 y2 8xy 20x 20y 1 0.

17.3x2 3y2 2xy 6x 2y 1 0.

18.4xy 4x 4y 1 0.

19.3x2 3y2 4xy 6x 4y 7 0.

20.4xy 4x 4y 6 0.

21.5x2 5y2 2xy 10x 2y 1 0.

22.2x2 2y2 4xy 8x 8y 1 0.

23.x2 y2 2xy 2x 2y 1 0.

24.2x2 2y2 4xy 8x 8y 1 0.

43

25.3x2 3y2 2xy 12x 4y 1 0.

26.4xy 8x 8y 1 0.

27.2x2 2y2 2xy 6x 6y 6 0.

28.x2 y2 4xy 4x 2y 5 0.

29.4xy 4x 4y 4 0.

30.3x2 3y2 4xy 4x 4y 1 0.

44

РОЗДІЛ IІ МАТРИЦІ ТА ВИЗНАЧНИКИ

§1. Матриці та дії над ними.

Поняття матриці

Матрицею розмірності m n називається прямокутна таблиця чисел, що містить m рядків та n стовпчиків. Розмірність матриці позначається символом dimA. Числа, що складають матрицю, називаються її елементами.

Матриці позначаються великими латинськими літерами, елементи матриці – відповідними маленькими латинськими літерами та нумеруються двома індексами, перший – номер рядка матриці, де знаходиться цей елемент, другий –номер стовпчика.

Матриця записується у вигляді

Дві матриці називаються рівними, якщо мають однакові розмірності та їх відповідні елементи співпадають.

Види матриць

Матрицею-рядком називається матриця розмірності 1 n . Матрицею-стовпчиком називається матриця розмірності

m 1.

Нульовою називається матриця, всі елементи якої дорівнюють

нулю.

Головною діагоналлю матриці називається множина її елементів з однаковими індексами.

Квадратною матрицею називається матриця, яка має однакову кількість рядків та стовпчиків.

Порядком квадратної матриці називається кількість її рядків (стовпчиків).

45

Верхньотрикутною називається квадратна матриця, всі елементи якої, що знаходяться під головною діагоналлю, дорівнюють нулю.

Нижньотрикутною називається квадратна матриця, всі елементи якої, що знаходяться над головною діагоналлю, дорівнюють нулю.

Діагональною називається квадратна матриця, у якій ненульовими можуть бути лише елементи головної діагоналі.

Одиничною називається діагональна матриця, всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиниці. Одинична матриця довільного порядку позначається літерою Е.

Операції над матрицями

Очевидно, що матриця є узагальненням поняття числа (число можна розглядати як матрицю розмірності 1 1), отже для матриць можна визначити операції аналогічні операціям над числами., але деякі з них мають специфічні властивості по відношенню до відповідних операцій над числами.

1.Множення матриці А на число . Добутком матриці А

2. Додавання матриць. Сумою двох матриць А та В однакової розмірності називається матриця С=А+В, елементи якої

3.Транспонування матриць. Транспонованою до матриці

Аназивається матриця АТ , елементи якої розраховуються за

4. Множення матриць. Операція множення матриці А на матрицю В визначена, якщо кількість стовпчиків першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці, тобто dim A m k , dimB k n . За цієї умови добутком матриць А та В називається матриця С розмірності m n , елементи якої розраховуються за

46

Зауваження. Операція множення матриць має специфічні властивості порівняно з операцією множення чисел.

a)З того, що існує добуток А В , не випливає, що існує

можуть мати різні розмірності. Очевидно, що розмірності цих добутків рівні, якщо А, В є квадратними матрицями однакової розмірності.

c) У випадку, коли добутки А В та В А існують та мають однакову розмірність, взагалі кажучи, А В В А , тобто порушується комутативний (перестановочний) закон.

В частинному випадку комутативному закону задовольняє добуток довільної квадратної матриці А на одиничну матрицю відповідної розмірності, тобто А Е Е А А . З цього випливає, що одинична матриця при множенні матриць відіграє ту ж роль, що й число 1 при множенні чисел.

d) Добуток двох ненульових матриць може бути нульовою матрицею.

5. Піднесення матриці А до цілого додатного степеня s

позначається Аs та визначається як добуток s матриць рівних А,

тобто Аs А А А . Очевидно, ця операція визначена лише для

s разiв

квадратних матриць.

47

6.Ділення матриць. Введемо цю операцію по аналогії з

діленням чисел: частку b можна розглядати як добуток числа b на

Оскільки роль числа 1 для матриць відіграє одинична матриця Е, то можна ввести поняття матриці, оберненої до даної матриці А.

різними).

Оскільки закон комутативності для матричного множення на виконується, то можна визначити два різних ділення матриці B на

Методи знаходження обернених матриць будуть розглянуті

далі.

Елементарні перетворення над матрицями

До елементарних перетворень над матрицями відносяться:

1)перестановки місцями двох рядків (стовпчиків) матриці;

2)множення рядка (стовпчика) матриці на ненульове

число;

3)додавання до рядка (стовпчика) матриці іншого її рядка (стовпчика), помноженого на довільне число;

4)викреслення нульового рядка (стовпчика) матриці.

Дві матриці називаються еквівалентними (А В), якщо одну можна отримати з іншої за допомогою елементарних перетворень.

§ 2. Визначники квадратних матриць

Визначник є числовою характеристикою квадратної матриці, яка використовується при розв’язанні систем лінійних рівнянь, знаходженні обернених матриць тощо. Визначник квадратної матриці А позначається А або detA.

Визначником матриці першого порядку A а11

називається елемент а11 .

48

Визначником матриці другого порядку називається число, яке

Визначником матриці третього порядку називається число, яке обчислюється за формулою

Рис. 1.

За допомогою схеми можна запам’ятати формулу обчислення визначника третього порядку: визначник складається із шести доданків, кожен доданок формули являє собою добуток трьох елементів матриці, вибраних по одному з кожного рядка та кожного стовпчика та позначених на схемі однаковим кольором. Зі знаком «+» беруться три добутки, отримані з лівого малюнку, зі знаком «–» - отримані з правого малюнку. Таке правило обчислення визначників третього порядку називається правилом трикутників.

=66.

49

Наведені вище означення визначників є частинними випадками означення визначника n-го порядку. Перед тим, як навести це означення, введемо наступні поняття.

Перестановкою з n елементів називається впорядкований набір перших n натуральних чисел. Кількість перестановок з n елементів дорівнює n ! 1 2 n .

Два елементи перестановки утворюють інверсію, якщо більший елемент розташований в перестановці перед меншим.

Перестановка називається парною, якщо містить парну кількість інверсій, та непарною, якщо містить непарну кількість інверсій.

Визначником квадратної матриці А називається число, що дорівнює сумі всіх можливих добутків елементів матриці А, взятих по одному з кожного її рядка та кожного стовпчика, причому доданок береться із знаком “плюс”, якщо перестановка других індексів елементів, що входять в цей добуток, парна, та із знаком “мінус”, якщо ця перестановка непарна, за умови, що перші індекси цих елементів впорядковані за зростанням. Очевидно, кількість доданків при обчисленні визначника n-го порядку дорівнює n!

Із зростанням розмірності визначника кількість доданків сильно збільшується, тому на практиці при обчисленні визначників вищих порядків загальне означення не використовується. Основним методом обчислення таких визначників є метод пониження порядку.

Метод пониження порядку визначника

Додатковим мінором Mij до елемента aij квадратної

матриці називається визначник матриці, яка утворюється з даної викресленням того рядка і того стовпчика, де знаходиться цей елемент.

Алгебраїчним доповненням до елемента aij квадратної матриці називається число Aij ( 1)i j Mij .

Теорема Лапласа. Визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого її рядка (стовпчика) на їх алгебраїчні доповнення.

Значення теореми Лапласа полягає в тому, що вона дозволяє звести обчислення визначника n-го порядку до обчислення визначників (n–1)-го порядку.

50

Розкладемо визначник, користуючись теоремою Лапласа, за першим стовпчиком.

Зауваження. З розв’язку видно, що визначник верхньоабо нижньотрикутної матриці дорівнює добутку елементів її головної діагоналі.

Якщо б серед елементів матриці не було б нульових, то використання теореми Лапласа привело б до обчислення чотирьох ненульових доданків з визначниками третього порядку. Отже, в таких випадках перед використанням теореми необхідно спростити елементи визначника, користуючись властивостями визначників.

Властивості визначників

1.Визначник не змінюється при транспонуванні матриці. Отже, при обчисленні визначника його рядки та стовпчики є рівноправними.

2.Якщо визначник містить нульовий рядок (стовпчик), то він дорівнює нулю.

3.Якщо всі елементи рядка (стовпчика) визначника мають спільний множник, то цей множник можна винести за знак визначника.

4.При перестановці двох довільних рядків (стовпчиків) визначника, визначник змінює знак на протилежний.

5.Якщо визначник містить два однакових рядки (стовпчики), то він дорівнює нулю.

6.Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то він дорівнює нулю.

7.Сума добутків елементів одного рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення до елементів іншого рядка (стовпчика) цього визначника, дорівнює нулю.

51