Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1330 вузов, 5508 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Mech-Slobod

.pdf
Скачиваний:
276
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
14 Мб
Скачать
☆

201

m υ + m υ

2

= m

υ

′

+ m υ ′ .

 

(5.161)

1

1

2

 

 

 

1

1

 

2

2

 

 

Отже, маємо систему двох рівнянь з двома невідомими υ ′

та υ′

. Перепишемо рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

(5.159) та (5.161) у вигляді

 

 

m (υ ′ −υ )

 

= m

2

(υ

2

−υ ′ )

 

 

(5.162)

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

m

(υ ′2

−υ

2 ) = m

2

(υ 2

−υ ′2 )

 

(5.163)

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

Усі різниці швидкостей та їх квадратів у цих двох рівняннях відмінні від нуля – інакше не

було б зіткнення. Це дозволяє поділити рівняння (5.163) на рівняння (5.162):

υ ′

+ υ

= υ

2

 

+ υ ′ .

 

 

 

 

 

 

(5.164)

1

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким чином, задача звелася до системи двох простих лінійних рівнянь (5.162) та (5.164) з

двома невідомими. З рівняння (5.164) знаходимо

υ ′

= υ ′ + υ −υ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.165)

2

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і після підстановки до рівняння (5.162) отримуємо

 

 

 

 

υ ′

=

2m2υ2 + (m1 − m2 )υ1

= −υ + 2

m1υ1 + m2υ2

 

 

 

(5.166а)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

m1 + m2

 

1

 

m1

+ m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ ′

= −υ

2

+ 2

m1υ1 + m2υ2

 

.

(5.166б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо важливі частинні випадки.

 

 

 

 

 

 

1.

Нехай маси частинок однакові,

m = m . Тоді маємо υ′ = −υ

2

та υ′

= −υ , тобто при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

2

1

абсолютно пружному лобовому ударі частинки однакової маси обмінюються швидкостями. У

цьому можна пересвідчитися, наприклад, спостерігаючи лобове зіткнення більярдної кулі, що рухається, з більярдною кулею, що знаходиться на більярдному столі в стані спокою: куля, що рухалась, зупиняється, натомість куля, що була нерухомою, продовжує рух у тому ж напрямі і з тією ж швидкістю, що й перша куля до зіткнення.

У лекційному демонстраційному досліді дві однакові більярдні кулі підвішують на довгих нитках (Рис. 5.23), потім одну з них відхиляють на невеликий кут α та відпускають без надання їй початкової швидкості. Після лобового зіткнення ця куля зупиняється, причому нитка на якій вона висить спрямована строго по вертикалі. Натомість друга куля набуває

202

швидкості і відхиляється на той же самий кут

α , на якій було відхилено першу кулю. Потім друга куля, повертаючись до положення рівноваги, стикається з першою кулею,

зупиняється, а перша куля відхиляється практично на той самий кут α , після чого процес багаторазово повторюється11. Через декілька періодів стає помітним поступове зменшення максимального кута відхилення аж до повного припинення руху обох куль.

2. Маса однієї частинки набагато більша за масу іншої.

m1

m2

m1

m2

Рис. 5.23. Демонстраційний дослід з пружного зіткнення куль

Нехай,

 

наприклад,

легка частинкаm1 налітає

зі

швидкістю υ1

на нерухому важку

частинку m2

(υ2 = 0 ), причому m1 << m2 . Тоді у граничному випадку m1

m2 → 0 маємо

υ ′

= −υ + 2

 

m1υ1

= −υ + 2

m1

1

υ

→ −υ

1

(5.167)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

m1

+ m2

1

m2

1+ m1 m2

1

ïðè

m1 m2

→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ′

= 2

 

 

m1υ1

 

 

→ 0 ,

 

 

 

 

 

 

(5.168)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

m1 + m2

ïðè

m1 m2 → 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто легка частинка «відбивається» від важкої нерухомої частинки, зберігаючи незмінною величину швидкості, але змінюючи її напрям на протилежний: на це вказує знак «−»

у проекції швидкості υG′

на напрям швидкості υ у виразі (5.167). Це відповідає поширеному на

1

1

практиці випадку абсолютно пружного зіткнення легкого тіла з масивною нерухомою стінкою,

підлогою тощо. Імпульс легкої частинки m1 змінюється при цьому на протилежний. При цьому

закон збереження імпульсу (5.159) набирає вигляду

mυ = −mυ + p′

. Отже, зміна імпульсу

 

1

1

1

1

2

 

11Сильне враження справляє перехоплення демонстратором однієї з куль, коли вона досягає найбільшого відхилення: друга куля продовжує висіти нерухомо. Коли демонстратор відпускає затриману відхилену кулю процес поновлюється.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

203

частинки m1 при

лобовому

 

зіткненні з

масивною

нерухомою перешкодою є

∆pG = pG′ − pG = −mυG

− mυG

= −2mυ . Цей імпульс

− 2m υ частинка

m

відповідно до закону

1

1

 

1

1

 

1

1

1

1

 

1

 

збереження імпульсу отримує від масивної нерухомої перешкоди (частинки) m2 . Підкреслимо,

що повна механічна енергія системи частинок при цьому залишається незмінною: після

зіткнення частинка m1 має ту саму кінетичну енергію, що й до зіткнення, хоча напрям її

швидкості (імпульсу) є протилежним початковому.

Якщо ж, навпаки, на нерухому легку частинку m2 (υ2 = 0 )

 

налітає зі швидкістю υ1

важка частинкаm1 , причому m1 >> m2 , то у граничному випадку m2

m1 → 0

 

 

υ′

= −υ + 2 m1υ1 + m2υ2

= −υ + 2

 

υ1

 

→ = −υ + 2υ = υ

(5.169)

 

 

 

1

1

m1 + m2

1

1+ m2

 

при m2 m1→0

1

1

1

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ′

= −υ

2

+ 2 m1υ1 + m2υ2

= → 2υ ,

 

 

 

(5.170)

2

 

m1 + m2

при m2

m1→0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто важка частинка m1 продовжує рух з початковою швидкістю υ1 ,

а

легка частинка

m2 «відскакує» від неї з відносною швидкістю υ1 , так що її швидкість відносно лабораторної системи відліку стає 2υ1 .

Нелобові зіткнення частинок. Діаграми імпульсів. Розглянемо тепер більш складний випадок нелобових зіткнень, коли до або/та після зіткнення обидві частинки рухаються по

траєкторіям, що не лежать на одній прямій.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

підставі

закону збереження

 

C

 

 

 

 

 

 

імпульсу

для замкненої системи двох

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

 

 

 

 

 

 

p′

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

частинок (5.152)

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можна побудувати

векторну діаграму,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зображену на Рис. 5.29. З неї випливає,

A

 

P = pG

+ pG

=

pG′ +

pG

B

 

 

′

 

 

 

 

1

2

 

 

1

 

2

що сума

векторів

імпульсів частинок

 

p1

 

 

pG

 

 

 

після зіткнення pG′ + pG′ дорівнює вектору

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.29 CD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

204

імпульсу системи P , який є сумою векторів імпульсів частинок, до їх зіткнення P = pG

+ pG

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

і ці імпульси pG′ та

pG′

лежать в одній площині з вектором

P . Так само в одній площині з

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектором P лежать

вектори

pG

 

та

p

2

. Ці площини

відповідно до рівняння (5.152)

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

перетинаються по лінії

P = pG

+ pG

2

.

Надалі ми будемо зображати лише діаграму імпульсів

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

ABC , всі вектори якої лежать в одній площині.

Обмежимось випадком абсолютно пружних зіткнень. При цьому точка C так само як і

точка D , не може бути віддалена як завгодно далеко від точок A і B , оскільки максимальна абсолютна величина векторів імпульсів частинок обмежена законом збереження енергії (5.160),

який можна подати у вигляді

E =

p2

+

p2

=

p′2

+

p′2

2m

2m

2m

2m = E′ .

 

1

 

2

 

1

 

2

 

 

1

 

2

 

1

 

2

 

Для кількісного уточнення цього обмеження подамо швидкості частинок відносно деякої ІСВ, яку ми будемо називати надалі лабораторною, як суму швидкості центру мас VGC системи

частинок відносно цієї ІСВ та швидкостей частинок відносно СЦМ

G

G

~G

G

 

G

~G

,

G

 

~G G

 

~G

,

(5.170)

υ

= V

+ υ

, υ

2

= V

+ υ

2

υ′ = V

+ υ′ ,

υ′

= V + υ′

1

C

1

 

C

 

 

1

C

1

2

C

2

 

 

яке відповідає

 

аналогічному

співвідношенню

для

радіус-векторів частинок (див.

Рис. 5.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

G

~G G

 

 

G

~G G

 

 

~G G

 

~G

 

 

(5.171)

r1

= RC

+ r1 , r2

 

= RC

+ r2

, r1′ = RC + r1′ , r2′ =

RC + r2′ ,

 

величини визначені відносно СЦМ позначено знаком тильда « ».

Як було показано вище (див. приклад і формули (5.73а) та (5.73б)) , що

~G

 

m2

G

~G

 

 

m2

G

 

 

 

 

r1

=

 

r

і r2

= −

 

 

r , де M

= m1 + m2 , r = r1 − r2 .

M

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~G

 

m2

G

 

~G

m1

G

 

Аналогічно, r′ =

 

 

r

′

і r′ = −

 

r

′ .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

M

 

 

2

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, для швидкостей частинок відносно с.т.м. до і після зіткнення можна записати

~G

 

m

G

~G

 

m

G

~G

 

m

G

~G

 

m

G

 

 

υ

=

2

υ

, υ

2

= −

2

υ

, υ

′ =

2

υ

′ , υ

′ = −

2

υ

′ ,

(5.172)

 

 

 

 

1

 

M

 

 

 

M

 

1

M

 

2

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де υG − вектор відносної швидкості частинок до зіткнення, υG = rG

вектор відносної швидкості частинок після зіткнення.

У СЦМ із законів збереження імпульсу та енергії замкненої випливають співвідношення

205

= rG1 − rG2 = υG1 −υG2 , а υ ′ −

системи двох частинок

~G

 

 

~G

=

~G

 

~G

= 0

 

 

 

 

 

 

 

p

 

+ p

2

p′

+ p′

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~2

 

 

 

~

2

 

 

~

2

 

~

2

~

 

 

=

m υ

+

m υ

 

+ U (r) =

mυ′

+

m υ′

 

′ = const .

E

 

 

1

1

 

2

2

1 1

 

2 2

 

+ U (r′) = E

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

При великих відстанях між частинками (до і після зіткнення, r, r′ → ∞ ), коли можна

знехтувати потенціальною енергією

 

 

взаємодії частинок між собою U (r) порівняно з

кінетичною енергією системи, маємо

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~2

 

 

 

~2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mυ

 

 

m υ

2∞

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

=

 

1

1∞ +

 

2

 

 

 

 

 

 

 

(5.173а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

~

2

 

 

~

2

 

 

 

 

 

 

 

 

′ =

mυ′

 

m υ′

 

 

 

 

 

 

(5.173б)

E

 

1

1∞ +

 

2

2∞ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де нижній індекс « ∞ » при швидкостях вказує на те, що їх значення взяті при r, r′ → ∞ .

Використовуючи співвідношення (5.172) вираз (5.173) для власної повної механічної енергії замкненої системи двох частинок в СЦМ до зіткнення можна записати у вигляді

~

µυ 2

,

(5.174а)

E =

∞

 

2

 

 

а після зіткнення − у вигляді

 

~

µυ′2

,

(5.174б)

E′ =

∞

 

2

 

 

де введено так звану зведену масу

=

m 1 m 2

.

(5.175)

m 1

+

m 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

206

~

~

υ′

= υ

 

, тобто відносні швидкості частинок до і після зіткнення

Оскільки E

′ = E , то

∞

 

 

∞

 

 

однакові за модулем12. Це означає, що вектор відносної швидкості частинок після зіткнення

може бути поданий у вигляді υ ′ = υn0 , де n0 − одиничний вектор, напрям якого наразі

невідомий, тобто результатом зіткнення є поворот вектора відносної швидкості. На підставі

(5.170) та (5.172) можна записати

G

 

 

G

~G

 

 

P

 

m2

G

υ′

= V

+ υ′

=

 

 

+

 

υn

 

 

 

1

 

 

C

1

 

 

M

 

M

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

або

 

 

 

 

 

 

 

 

υG′

=

 

p1 + p2

 

+ m2 υnG

(5.176)

 

 

1

 

 

 

M

 

 

M

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і аналогічно

 

 

 

 

 

 

 

υG′

=

p1 + p2

 

− m1 υnG .

(5.177)

 

 

2

 

 

 

M

 

 

M

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Помножимо рівняння (5.176) та (5.177), відповідно, на m1 та на m2 :

mυG′ = m

p1 + p2

+ m1m2 υnG

 

1

1

1

M

M

0

 

 

 

 

 

m υG′

= m

p1 + p2

− m2m1 υnG

,

 

2

2

2

M

M

0

 

 

 

 

 

 

 

звідки отримаємо вирази для імпульсів частинок після зіткнення

(5.178)

(5.179)

pG′

=

m1

( pG

 

+ pG

) + µυnG

 

(5.180)

 

 

 

1

 

M

1

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pG′

= m2 ( pG

+ pG

2

) − µυnG

,

(5.181)

2

 

M

 

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

які допускають зручну і наочну геометричну інтерпретацію за допомогою так званих

векторних діаграм імпульсів (Рис. 5.30).

12 Зауважимо, що відносні швидкості частинок не залежать від вибору системи відліку, зокрема вони однакові і в лабораторній системі відліку і в СЦМ: тому ми їх записуємо без знаку тильда (« »).

207

Щоб побудувати таку діаграму, спочатку зобразимо вектор імпульсу системи двох

частинок відносно лабораторної системи відліку,

p1 + p2

 

(вектор AB ).

 

 

 

 

 

 

Знайдемо

точку

O ,

яка

ділить

 

цей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектор

 

у

 

відношенні

m1 m2 .

Нехай

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AO = m1 ( pG + pG

 

) ,

 

а OB =

m2

( pG

+ pG

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

1

 

 

2

 

 

 

 

 

M

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− µυn0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді геометричне

місце

кінців

 

можливих

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µυn0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

векторів pG

′ , що мають початок в точці O ,

є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

коло описане кінцем вектора µυn0 , початок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

якого

лежить

 

в точці

O . На Рис. 5.30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

показано одне з можливих положень вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µυnG ,

 

кінець

 

якого

 

лежить в точці

C

 

на

 

 

 

Рис. 5.30. Діаграма імпульсів

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

згаданому

 

 

 

колі.

 

 

Тоді

 

 

вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC =

p1 + p2

 

+

µυnG

= pG′

репрезентує імпульс частинки

 

m в лабораторній системі відліку

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pG1 + pG

2

 

G

 

 

G

 

 

 

 

 

 

після зіткнення. Аналогічно вектор CB =

 

 

 

 

− µυn

0

= p′ репрезентує імпульс частинки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2 в лабораторній системі відліку після зіткнення. З викладеного вище зрозуміло,

що радіус

кола, на якому лежать кінці векторів p′

та початки векторів

p′ залежить від повної механічної

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

енергії системи частинок,

µυ =

~

Ця величина і є кількісною мірою обмеження, яке

 

2µE .

накладає закон збереження енергії на величини імпульсів частинок після зіткнення.

Ясно, що

при заданих m ,

m ,

υG

, υG

радіус кола і його положення відносно точок A і B залишаються

 

 

 

 

1

 

2

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сталими, а точка C може займати будь-яке положення на цьому у колі. Цим, власне, і

вичерпуються відомості про рух частинок після зіткнення, які можна отримати з одних лише

законів збереження імпульсу та енергії. Щодо напрямку вектора n0 , то він залежить як від

закону взаємодії частинок так і від їх взаємного розташування їх початкових (до зіткнення)

прямолінійних траєкторій.

208

Попри невизначеність напряму вектора n0 векторні діаграми імпульсів дозволяють

дослідити найзагальніші риси зіткнень. Розглянемо найважливіший випадок, коли одна з

частинок, наприклад, друга ( m2 ) до зіткнення знаходиться у спокої (υ2 = 0 )13. Це означає, що

повний

імпульс

системи

дорівнює імпульсу першої частинки, pG

.

Тоді

 

вектор

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

OB = m2 m1 υG

= µυG

= µυG,

оскільки у цьому випадку вектор відносної швидкості до зіткнення

 

M

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

співпадає з вектором швидкості першої частинки υ = υ . Це означає, що

 

OB

 

= µυG

=

 

OC

 

і, таким

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чином, точка B також лежить на колі з радіусом µυ і центром в точці O (Рис. 5.31а).

Частинка

з масою

m1 після зіткнення відхиляється від початкового напрямку на кут ϑ1 . Друга частинка з

масою m2 після зіткнення

рухається в напрямку, що утворює кут ϑ2 з початковим напрямком

руху першої частинки. Ці кути називають кутами розсіяння першої та другої частинок у

лабораторній системі відліку. Кут χ називають кутом розсіяння в СЦМ: саме на цей кут

повертається вектор відносної швидкості частинок внаслідок зіткнення. Зв’язок між кутом розсіяння в СЦМ χ та кутами розсіяння частинок в лабораторній системі відліку можна знайти з

Рис. 5.31а. Наприклад, для кута ϑ1

tgϑ1=

sin χ

.

(5.181)

γ + cos χ

 

 

 

З діаграми розсіяння для частинок однакової маси m2 = m1 (Рис. 5.31б) безпосередньо

випливає, що після зіткнення частинки завжди будуть рухатись у взаємно перпендикулярних

напрямках, оскільки ϑ1 + ϑ2 = π 2 , так як вписаний кут ACB , що спирається на діаметр кола,

завжди прямий.

З діаграми розсіяння для випадку, коли важча частинка m1 налітає на частинку меншої

маси m2 , яка знаходиться в спокої (Рис. 5.31в), видно, що одному й тому ж самому куту

13Ясно, що завжди можна обрати систему відліку, в якій одна з частинок знаходиться у спокої, і, таким чином, до цього випадку може бути зведена будь-яка задача про зіткнення двох частинок.

209

A

′′ C′

p1

ϑ1

A

 

 

 

C

 

 

′

 

′

 

p1

 

p2

A

ϑ1

ϑ2

B

O

 

 

 

 

 

C

 

′

 

′

p1

 

p2

ϑ1

ϑ2

B

 

O

 

 

 

 

C

 

′

 

 

′

p1

 

 

 

 

 

p2

′′

 

ϑ2 Рис. 5.31

p2

 

 

′

ϑ′

B

O

χ

 

 

2

 

υ′

υ1 1

υ ′

2

υ′

1

υ1 π

υ ′

2

2

υ′

υ1 1

υ′′

υ ′ 2

2

Рис. 5.31. Діаграми імпульсів для різних співвідношень мас частинок.

а – m1 < m2 ; б – m1 = m2 ; в – m1 > m2

210

розсіяння ϑ1 першої частинки в загальному випадку можуть відповідати два різних кута

розсіяння в СЦМ,

χ та χ ′ відповідно різного положення точок C та C′ . Цим двом кутам χ

та χ ′ відповідають

два різних кути розсіяння другої частинки ϑ

та ϑ′ в лабораторній системі

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

відліку, і, відповідно, два різні вектори імпульсу

pG′ та

pG′′ . Максимальний кут розсіяння ϑ

 

 

 

 

 

 

2

2

1

частинки m1 досягається, коли відрізок

 

 

направлений по дотичній до кола (точки C та C′

AC

збігаються). При цьому трикутник ∆ACO стає прямокутним, оскільки сторона

 

є радіусом

OC

кола перпендикулярним до дотичної

 

. Тоді

для максимального кута розсіяння ϑ1 легко

AC

дістати

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µυ

= m2 .

 

sinϑ

max

=

OC

=

 

(5.182)

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

AO

 

 

m1υ

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З використанням векторних діаграм зручно аналізувати обмін енергією між частинками при зіткненні.

Для прикладу обчислимо енергію, яку дістане після зіткнення частинка m2 , що

знаходилась у спокої. Її зручно подати у вигляді

E′

=

( p′ )2

 

2

.

(5.183)

 

2

 

2m2

 

 

 

 

На підставі (5.181)

одержимо

( p′ )

2

 

 

 

m2

 

G

 

 

 

G m2

G

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

p

− µυn

 

 

 

 

 

 

 

p

− µυn

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

M

 

 

1

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

m22

 

p

2

 

+ (µυ )2 − 2µυ

m2

 

 

pG nG

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m22

 

 

 

 

2

 

 

2 2

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

G

G

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

p

 

 

+ µ υ

 

− 2µυ

 

 

 

 

 

p cos( p

n

 

)

 

=

 

 

M

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

 

=

 

m2

m2υ 2 +

m2m2

υ 2 − 2

 

m m m

2

 

m υ 2

cos χ =

 

 

 

 

2

 

1 2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

M

 

 

M 2

 

 

 

 

 

 

M

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=

2

 

m2m2

υ 2 (1− cos

χ ) = 4

m2m2

 

υ 2 sin2

 

χ

.

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

M 2

 

 

M 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E′

= 2

 

m2m

 

υ 2 sin2

 

χ

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.184)

(5.185)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности