VM_pidr

Розв’язування. Обчислимо визначник цієї матриці:

Оскільки A = 0 , тобто матриця A вироджена, то оберненої

для неї не існує.

Зауваження 2. Квадратна невироджена матриця другого по-

Приклад 3. Знайти обернену матрицю до матриці

Розв’язування. Задана квадратна матриця другого порядку невироджена, оскільки її визначник

3 4 = 3 5 − 4 1 = 15 − 4 = 11 ≠ 0,

1 5

тому обернена до матриці A існує і її можна знайти за попередньою формулою:

§7. Ранг матриці

Розглянемо прямокутну матрицю розмірності m×n (1.2).

Означення. Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів. Його позначають через r (або

rang( A ) ).

41

Із означення випливають такі властивості рангу матриці.

1.Ранг матриці рівний нулю тільки тоді, якщо матриця нульова. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.

2.Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого із двох

чисел m і n, тобто 0 ≤ r ≤ min( m ,n ).

3.Для квадратної матриці n-го порядку r = n тільки тоді, якщо матриця невироджена.

4.Якщо r < n то визначник матриці дорівнює нулю.

Розглянемо два методи знаходження рангу матриці.

Перший метод – метод окантування – полягає у наступному. Якщо всі мінори І-го порядку, тобто елементи матриці, рівні нулю, то r = 0 .

Якщо хоч один із мінорів І-го порядку не дорівнює нулю, а всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то r = 1 . Аналогічно, якщо мінор 2-го порядку відмінний від нуля, то досліджуємо мінори 3-го порядку. Таким способом знаходять мінор k-го порядку і перевіряють, чи не дорівнюють нулю мінори (k+1) -го порядку. Якщо всі мінори ( k + 1 ) -го порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці A до-

рівнює числу k . Такі мінори ( k + 1 ) -го порядку, як правило, знахо-

дять шляхом “окантування ” мінора k -го порядку. Приклад 1. Знайти ранг матриці:

Розв’язування. Оскільки в матриці A є мінори І-го порядку, відмінні від нуля, то ранг її може бути рівний одиниці. Мінор 2-го порядку

42

Всі вони дорівнюють нулю, тому, що перший і четвертий рядки пропорційні. Значить ранг матриці A дорівнює 3 ( r = 3 ).

Розглянутий спосіб знаходження рангу матриці не завжди зручний, оскільки потрібно обчислювати велику кількість мінорів.

Другий метод визначення рангу матриці полягає в застосуванні елементарних перетворень матриці при зведенні її до діагонального вигляду.

Елементарними перетвореннями матриці називаються такі операції:

1)перестановка місцями довільних двох рядків(або стовпців);

2)множення кожного елемента довільного рядка(або стовпця) на відмінне від нуля число;

3)викреслювання рядка (або стовпця) , який містить всі нульові елементи;

43

4) додавання до елементів довільного рядка ( або стовпця) відповідних елементів іншого рядка (або стовпця) , помножених на одне і теж відмінне від нуля число.

При таких елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється.

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна із них одержується з другої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень. Еквівалентні матриці не рівні між собою, зате вони мають однакові ранги.

Якщо матриці A і B еквівалентні, то це записують так: . З допомогою елементарних перетворень матрицю можна звес-

ти до діагонального вигляду. Ранг такої матриці дорівнює кількості відмінних від нуля діагональних елементів.

Приклад 3. Знайти ранг матриці

Розв’язування.

1-й крок. В заданій матриці переставимо перший і другий рядки. На місці елемента а11 маємо елемент рівний 1.

2-й крок. Додамо до елементів другого і третього рядків відповідні елементи першого рядка, помножені на “–3”, а до елементів четвертого рядка – відповідні елементи першого, помножені на “–5”.

3-й крок. В першому рядку можна автоматично записати всі нулі, крім першого елемента “1”. Цього можна добитись, якщо до елементів 2-го, 3-го, 4-го і 5-го стовпців додати відповідні елементи першого стовпця, помножені відповідно на числа: “–3”,“–3”,“–2”,“–5”.

4-й крок. Додамо до елементів третього і четвертого рядків відповідні елементи другого рядка, помножені на число “–2”.

5-й крок. В другому рядку на місці елементів “–7”,“–3”,“–11” запишемо нулі (аналогічно як на третьому кроці).

Розглянуті кроки зведення матриці A до діагонального вигляду покажемо схематично так:

44

В останній матриці викреслимо третій рядок і третій та четвертий стовпці, які містять всі нульові елементи:

Розв’язування.

1-й крок.Від елементів другого рядка віднімемо відповідні елементи першого і поміняємо їх місцями.

2-й крок.До елементів другого і третього рядків додамо відповідні елементи першого, помножені відповідно на “–3” і “–5”.

3-й крок.Запишемо в першому рядку всі нулі, крім першого елемента “1”.

4-й крок. Віднімемо відповідні елементи другого і третього рядків.

5-й крок. Аналогічно, як на 3-му кроці, одержимо в другому рядку нулі на місці елементів “9” і “–7”. Покажемо розглянуті кроки схематично.

45

Ранг останньої матриці дорівнює двом, а значить і ранг матриці A дорівнює 2, тобто r = 2.

§ 8. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Рівняння називається лінійним, якщо воно містить невідомі величини x1 , x2 ,..., xn тільки в першому степені і не містить їх до-

бутки. Це рівняння такого вигляду:

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , де a1 ,a2 ,...,an ,b - довільні дійсні числа.

Розглянемо систему m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:

Тут числа aij ( i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,n ) називаються коефіцієнтами біля невідомих x j ( j = 1,2,...,n ) , а bi ( i = 1,2,...,m )- вільними

членами.

Перший індекс “ i ” біля коефіцієнтів вказує, в якому рівнянні знаходиться коефіцієнт, а другий “ j ” при якому із невідомих він

знаходиться.

Означення. Розв'язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1.3) називається така впорядкована сукупність n чисел

α1 ,α 2 ,...,α n , яка при x1 = α1 , x2 = α 2 ,..., xn = α n перетворює кож-

не з рівнянь системи в правильну рівність.

46

Якщо праві частини всіх рівнянь системи дорівнюють нулю, то систему рівнянь називають однорідною і неоднорідною, якщо

bj ≠ 0( j = 1,2...,m ).

Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь має хоч один розв’язок, то вона називається сумісною, в іншому випадку – несу-

місною.

Якщо розв’язок системи єдиний, то система лінійних рівнянь називається визначеною. У випадку, коли розв’язок сумісної системи не єдиний, систему рівнянь називають невизначеною.

Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними (або рівносильними), якщо всі розв’язки однієї системи є розв’язками другої, і навпаки.

Еквівалентні (або рівносильні ) системи отримуємо з допомогою еквівалентних перетворень. До еквівалентних перетворень системи відносяться:

1)переставлення місцями рівнянь;

2)множення (або ділення) рівнянь на відмінне від нуля число;

3)додавання до деякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне, відмінне від нуля число.

§9. Метод Крамера

Означення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих цієї системи

an1 an2 ... ann

називається визначником системи (або головним визначником).

47

При розв’язуванні n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими за правилом Крамера потрібно обчислювати ( n + 1 ) визна-

чники n -го порядку. Тому при n ≥ 4 знаходження визначників приводить до громіздких обчислень, а значить, користуватись формулами Крамера незручно.

Зауваження 3. Формули Крамера найкраще використовувати тоді, коли визначник системи ≠ 0 , тобто коли розв’язок єдиний. Якщо кількість лінійних алгебраїчних рівнянь більша кількості невідомих, то ефективніше використовувати інші методи (методи послідовного або повного виключення невідомих), які будуть розглянуті пізніше.

§ 10. Матричний метод

Нехай задана система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими (1.4).

Позначимо через A матрицю, складену із коефіцієнтів при невідомих (так звану основну матрицю системи); X − матрицюстовпець із невідомих; B - матрицю-стовпець із вільних членів, тобто

Тоді систему рівнянь (1.4) можна переписати у вигляді матричного рівняння: AX = B.

Якщо квадратна матриця A має не нульовий визначник , то для неї існує обернена A−1 . Помноживши зліва в цьому рівнянні на A−1 , одержимо A−1 AX = A−1B або ( A−1 A )X = A−1B . Враховуючи,

що A−1 A = E і EX = X , одержимо матричний розв’язок системи

X = A−1B.

Знаходження матричного розв’язку називається матричним способом розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Приклад 1. Записати і розв’язати в матричній формі систему рівнянь

50