Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TV1

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

525 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

F1 Теорія імовірності, перший семестр

Математичне сподівання

В.в. ξ (x) , визначена на ймовірносному просторі (Ω

,U , P) називається простою, якщо

вона приймає скінчену кількість значень xi

≠

x j ,i ≠ j .

Нехай A = {ω

| ξ (x) =

}

i =

. Нехай L+

клас невід’ємних простих в.в.

1, n

Математичним сподіванням в.в. ξ

L+0 називається Mξ =

∑ xi P( Ai ) .

i= 1

Властивості.

1. Для ξ

L+

Mξ

≥

0 .

Mcξ

cMξ

- однорідність.

M (ξ 1 +

ξ 2 ) =

M (ξ 1 ) +

M (ξ 2 )

-адитивність.

4. ξ

≥ η Mξ

≥

Mη

Властивості 1., 2. є очевидними. Доведемо властивість 3.

◄ Дійсно,

ξ 1

∑xi χ Ai

(ω

)

ξ 2 =

∑ yi χ Bi

(ω

) . Далі Ai

∩ Bi

= {ω

: ξ 1 +

ξ 2 =

xi +

y j }.

i= 1

Нехай zk =

y j

та Ik

{(i, j) | xi

+ y ji

= zk }. Тоді

M (ξ 1 ) + M (ξ 2 ) = ∑xi P( Ai ) + ∑y j P(Bj ) = ∑(y j + xi )P(Bj ∩

Ai ) = ∑zk ∑P(Bj ∩ Ai ) =

i= 1

j= 1

(i, j)

k = 1

(i, j )

= ∑zk P(B j UAi ) =

∑zk P{ω | ξ 1 + ξ 2 = zk } = ∑zk P(ξ 1 + ξ 2 = zk ) = M (ξ 1 + ξ 2 ) .

k = 1

(i, j) I

k = 1

Що і потрібно було довести.►

L+ – множина невід’ємних випадкових чисел

Лема 1ξ

L+

, ξ

L+

:ξ

↑ ξ ,

Ω

(збігається знизу).

n2n

k −

ξ n = ∑ χ

(ω )

; 0 ≤ ξ n ≤ ξ n+ 1 ≤ ξ : ξ ≤

n, ξ ≤ ξ n +

k − 1

< ξ ≤

k= 1

{

2n}

Математичним сподіванням випадкової величини ξ

називається величина

Mξ

lim Mξ n

n→ ∞

Якщо η n ↑ ξ

(прямує знизу), тоді

Ω

, lim Mη n =

lim Mξ n , отже воно єдине (якщо

існує).

n→ ∞

Лема 2Якщо

{ξ

}

+∞

L+

L ,

↑ ξ ,

Ω

≥

тоді

lim Mξ

≥

Mη

n= 1

n→ ∞

◄ Розглянемо ε

0 , і множину An

{ω :ξ n (ω ) ≥

−

ε}

n ↓

n ) → 0

ξ n ≥ ξ n χ An (ω ) ≥ (η − ε) χ An( ω) = η χ A(n ω) − εχ A(n

ω)

χ (An

)ω = 1− χ

n (ω )

= η − η χ

n (ω ) −

εχ An( ω )

. Тоді звідси

c :c ≥

η ,

Ω

ξ n ≥

−

cχ

n (ω ) −

εχ An( ω ) ,

Ω

усереднимо цю нерівність :

Mξ n ≥

Mη

− cP(

n )−

ε P( An )

Mξ n ≥ Mη − cP(

n )−

перейдемо до границі

123

= 1

lim Mξ n ≥

Mη −

де ε - довільне додатне число ►

n→ ∞

F1 Теорія імовірності, перший семестр

Лема3

{ξ

} ∞

{, η}

∞

L+

та ξ

↑ ξ ,η

↑ ξ , тоді lim Mξ

lim Mη

n n= 1

n n=

n→ ∞

◄ Оскільки ξ n

↑ ξ ,ξ n

↑ ξ

ξ n

↑ ξ ≥ η m lim Mξ n ≥ Mη m

деяка константа, тоді елемент

n→ ∞

послідовності ξ n

обмежений деякою константою, тоді lim Mξ n ≥

lim Mη m аналогічно

lim Mξ m lim Mη n =

n→ ∞

m→ ∞

lim Mη n ≥

lim Mξ m граничний перехід доведено ►

n→ ∞

m→ ∞

n→ ∞

m→ ∞

Отже ми показали справедливість усіх чотирьох властивостей мат. сподівання

невід’ємних простих випадкових величин .

Тепер розглянемо довільну величину ξ

для якої виконується ξ =

ξ + +

ξ − :

ξ + = ξ χ

{

ξ ≥ 0 (ω ),ξ

− =

{

ξ < 0 (ω )

}

Mξ = Mξ +

Mξ −

якщо вони одночасно не рівні нескінченності то Mξ

визначене, інакше

Mξ не існує. Якщо

а)

Mξ +

= +∞

, Mξ −

< ∞ Mξ = +∞

б) Mξ +

< +∞

, Mξ −

= ∞ Mξ = −∞

Властивості 1-4 легко перевірити за рахунок такого представлення (ξ = ξ + + ξ − ).

Властивості мультиплікативності математичного сподівання для незалежних випадкових величин

Лема. Нехай ξ 1 ,ξ 2 - незалежні випадкові величини та Mξ 1 , Mξ 2 тоді

Mξ 1ξ 2 = Mξ 1Mξ 2

◄ Розглянемо ξ 1 ,ξ 2

L+0 :

ξ 1 =

∑n1

xi χ {ξ i =

xi} (ω )

= ∑n1

xi χ Ai ( ω ) , де Ai

= {ω

: ξ 1 (ω ) =

xi} ,

i= 1

y j χ B j

(ω ) де B j = {ω : ξ 2 (ω ) = y j } Ai ∩ Bj ,ξ 1ξ 2 = xi y j

ξ 2 = ∑21

j= 1

{(i,

j) :xi y j = zk }

Позначимо різні значення добутку через zk , k =

, а через Ik =

тоді

1, n

∑P(Ai Bj ) =

∑ xi y j P(Ai B j ) =

∑ xi y j P( Ai )P(Bj ) =

Mξ 1ξ 2 = ∑ zk P{ξ 1ξ 2 = zk}

= ∑ zk

k = 1

(i, j) Ik

(i, j)

n11

n21

= ∑ xi P( Ai )∑ y j P(Bj ) =

Mξ 1Mξ 2 . Тепер розглянемо дві незалежні випадкові величини

i= 1

j= 1

розглянемо функцію gn (x) =

n2n

k −

χ k − 1

(x)

ξ 1 ,ξ 2

L1+ :

∑

k = 1

< x≤

ξ n1 = gn (ξ 1)

= gn (ξ 2 )

ξ n2

будуть простими випадковими величинами.

Тоді Mξ 1ξ

Mξ 1Mξ

lim Mξ

1ξ 2

Mξ ξ

lim Mξ

1 limξ 2 =

Mξ

де Тепер, якщо

n n

n→ ∞

n n

1 2

n→ ∞

n n→ ∞

скористатися представленням ξ

ξ +

ξ −

, легко показати і для довільних незалежних

випадкових величин ►

Визначення мат. сподівання як інтеграла Лебега для функції ξ (ω )

Mξ = ∫ξ (ω )P( dω ) = ∫ξ( ω) dP( ω)

Ω

	F1 Теорія імовірності, перший семестр
∫ξ (ω )dP( ω ) =	∫ξ( ω) χ (A ω) dP( ω) - усереднення.
Ω	Ω

А- довільна множина і інтеграл береться по події А В теорії міри доводиться теорема Лебега про мат. збіжність

Збіжність майже напевно

Послідовність випадкових величин ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ,....збігається майже напевно до випадкової

величини ξ

. Символічно

= 1або P ω

:limξ n =

ξ = 1

ξ n → ξ

, якщо { P{ω

:ξ n (ω ) → ξ( ω )}}

M .H

n→ ∞

Теорема Лебега для мат. сподівань

Якщо послідовність випадкових величин ξ n

M .H

і ω

ξ n

≤ η , Mη

< +∞ , тоді

→ ξ

lim Mξ n = M limξ n

= Mξ

n→ ∞

Формули для обчислення мат. сподівання

Розглянемо простір (Ω ,U , P)

та величину ξ (ω ) :Ω → R . Нехай ξ (x)

≡ x , яку можна

розглядати на (R, BR , Pξ )

ξ (ω ) :R → R . Покажемо, що Mξ =

∫ξ (ω )dP( ω )

= ∫ xdPξ( x)

Ω

ξ n = n2n

k − 1

(x) у середньому ξ n ↑ ξ

Mξ

= lim Mξ n

k − 1

∑

n→ ∞

k = 1

2n < x≤

за рахунок

k −

∫ξ n (ω )dP( ω )

n2n

k − 1

= Mξ n

= ∑

k − 1

∑

Pξ

вимірності

k= 1

ω :

< ξ ≤

k = 1

∫ ξ~n ( x) dP

n2n

ξ ( x) , де ξ~n (x) = ∑

k −

χ k − 1

k = 1

< x ≤

ξ~n (x) ↑ x переходимо до границі .

Mξ =

∫ξ (ω )dP( ω )

= ∫ xdPξ( x) - числова вісь.

Ω

Аналогічно доводиться і для довільної випадкової величини. Pξ ( )

однозначно

визначається функцією розподілу.

Мат сподівання випадкової величини буде однозначно визначати її функцію ξ (x) і не залежати від конкретного завдання випадкової величини. Це твердження дає право розглядати мат. сподівання Mξ = ∫ xdFξ (x)

Інтеграл Лебега-Стільтьєса

Якщо g(x) - борелівська функція, то для в.в. g(ξ ) виконується :

Mg(ξ ) =	∫	g(ξ( ω ) )dP( ω )	=	∫	g(	x)	ξ	, або Mg(ξ ) =	∫	g (ξ )	(x)
Mg(ξ ) =		g(ξ( ω ) )dP( ω )	=		g(	x)	dP( )x	, або Mg(ξ ) =		xdF	(x)
	Ω			R					R

F1 Теорія імовірності, перший семестр

Зв’язок інтегралів Лебега-Стільтьєса з інтегралом Рімана-Стільтьєса

Нехай g(x) - борелівська функція тоді інтеграл Лебега-Стільтьєса рівний інтегралу Рімана-Стільтьєса, а інтеграл Рімана-Стільтьєса має вигляд:

(R − S)

g( x) dF( x) = lim

N − 1

)(F( x

) − F(

x ) ) де точки x

lim

∫

g(x

a→ +∞

N → ∞ ∑

k + 1

b→ −∞

↑

→ 0 k = 0

інтервалу [a,b] і значення границь не залежить від точок розбиття, то

Mξ =

(L −

S) ∫ xdFξ ( x) = ( R −

S) ∫ xdF(ξ

коли є щільність, тоді Mg(ξ )

Pξ (x)

щільність випадкової величини ξ

Пригадаємо означення.

1.Μ ξ n - момент n-того порядку;

2.Μ

n - абсолютний момент n-того порядку;

3.Μ (ξ

−

Μ ξ )n - центральний момент n-того порядку;

4.Μ

−

Μ ξ

n - абсолютний центральний момент.

Dξ =

Μ (ξ

−

Μ ξ )2 - дисперсія (другий центральний момент).

деяке розбиття

~	=	[xk , xk+ 1]
xk ∆ k

∫ g( x) Pξ( x) dx , де

Нагадаємо ε > 0 : P{	ξ − Mξ	≥ ε } ≤	Dξ	, Dξ < +∞	(Нерівність Чебишева).

			ε 2

Аналогічно виконується для сукупності незалежних випадкових величин ξ 1 ,...,ξ n . Якщо

c : Dξ ≤ c P	ξ 1 + ... + ξ n −	Mξ 1 + ... + Mξ n	≥ ε	→ 0 .


	n	n		n→ ∞

Закон великих чисел та математичне сподівання використовується також у методі МонтеКарло для обчислення інтегралів.

Нехай {ξ n }+∞n= 1 - незалежні однаково розподілені випадкові величини, причому

∫ f (x)dx = a і розглянемо ξ : pξ (x) =			1, x	V	,	η = f (ξ ) . Тоді
∫ f (x)dx = a і розглянемо ξ : pξ (x) =				V	,	η = f (ξ ) . Тоді
V			0, x	V
Mη = ∫ f (x) 1 dx =	a ≈	η 1 + ... + η n . (Наближення отримуємо за рахунок великих чисел –
V		n

чим більше n тим краща апроксимація - суть методу Монте - Карло)

Гільбертів простір випадкових величин.

Група G – множина об’єктів, для яких виконується: (g * h) * k = g * (h * k) – асоціативність

g * x = h має єдиний розв’язок для елементів G x * g = h має єдиний розв’язок для елементівG

Поле K – множина замкнена відносно операцій +, *: 1.”+” – комутативна група, тобто g + h = h + g

2. K \ {0} – комутативна група стосовно операції “*”, тобто g * h = h * g 3.γ(α + β) = γα + γβ - властивість дистрибутивності заданих операцій.

F1 Теорія імовірності, перший семестр

Векторний простір L над полем K – множина об’єктів на яких визначені операції “+” та “*” над елементами поля і мають місце дві групи властивостей:

1.x + y = y + x;

1.α (βx) = (α β)x;

2.(x +

y) +

z =

x +

( y + z); ,

2. 1:1 x = x;

βx;

3. 0 : x + 0 =

3.(α +

β)x =

α x +

4. (−

x) : x +

(−

x) =

4.α (x +

y) =

α x +

α y.

Норма на векторному просторі L :

≥ 0,

= 0 x = 0;

x +

≤

;

α x

Метрикою на L над K називається функція двох аргументів така, що: 1.ρ (x, y) ≥ 0, ρ (x, y) = 0 x = y;

2.ρ (x.y) = ρ ( y, x);

3.ρ (x, y) ≤ ρ (x, z) + ρ (z, y).

Скалярним добутком в L над K називається дійсна функція двох аргументів така, що: 1.(x, y) = ( y, x);

2.(x, y + z) = (x, y) + (x, z); 3.(λx, y) = λ (x, y);

4.(x, x) ≥ 0 : (x, x) = 0 x = 0.

Гільбертовим простором називається повний нормований простір L , в якому норма введена за допомогою скалярного добутку (x, y) : x = (x, x).

У цьому випадку виконується (x, y) ≤ x y - нерівність Коші –Буняковського, крім того

, оскільки x, y - лінійно незалежні, то y =																														(x, y)										x.
, оскільки x, y - лінійно незалежні, то y =																																								x.
																																	x				2
																																	x				2
L2 - сукупність випадкових величин ξ																													: Mξ 2							<		∞			, L2 =						{ξ	: Mξ 2		< ∞	}
(тобто інтегрованих з квадратом.)
Множина L2							є гільбертовим простором в якому																																					ξ		- норму вводимо, як корінь з
Множина L2							є гільбертовим простором в якому																																					ξ		- норму вводимо, як корінь з
скалярного добутку(ξ 1 ,ξ 2 ) =																						Mξ 1ξ 2 .
Покажемо, що									ξ ξ	2			L . Дійсно 2												ξ ξ		2		≤ ξ		2			+			ξ	2 , звідки, оскільки
Покажемо, що									ξ ξ				L . Дійсно 2												ξ ξ				≤ ξ		2			+			ξ	2 , звідки, оскільки
									1						2											1			1									2
ξ	1	,ξ	2	: Mξ 2		<		∞	, Mξ			2		<	∞			, маємо, що Mξ ξ														2			<			∞				, що і треба було показати.
	1		2		1							2									L2 λ ξ							1				2
Покажемо тепер, що												ξ		1	,ξ	2					L2 λ ξ						1		+ λ			ξ		2						L2 .
														1		2										1	1	2						2
Маємо : (λ ξ						1	+	λ ξ		2	)	2		=	λ		2ξ			1	2 + λ			2ξ		2	+		2λ		λ ξ ξ								2				≤		λ 2ξ		2	+ λ	2ξ	2 +	2 \| λ	λ	2	\|\| ξ ξ	2	\|≤
					1	1			2	2						1				1				2		2		1						2		1			2						1		1		2	2	1		2	1	2
≤ λ		2ξ	1	2 + λ	2ξ		2	2 + \| λ λ					2	\| (ξ		1			+ ξ			2	)2	< ∞ .
	1		1		2		2			1			2			1						2

Повнота цього простору доводиться так, як і в функціональному аналізі.

F1 Теорія імовірності, перший семестр

Отже L2 - гільбертовий простір з нормою ξ = Mξ 2 , для якого виконується

Mξη ≤			Mξ 2	Mη 2 - нерівність Коші – Буняковського, де ξ =		Mξη		η .
Mξη ≤			Mξ 2	Mη 2 - нерівність Коші – Буняковського, де ξ =		Mη	2	η .
						Mη	2
Коваріацією випадкових величин ξ ,η називають величину
		cov(ξ ,η ) = M (ξ − Mξ )(η − Mη ).
Коефіцієнт кореляції – величина r(ξ ,η ) = cov(ξ ,η ) .
					Dξ Dη
Властивості коефіцієнта кореляції:
1)	r(ξ ,η )		≤ 1, якщо r(ξ ,η ) =		0 ξ ,η - некорельовані величини.
1)	r(ξ ,η )		≤ 1, якщо r(ξ ,η ) =		0 ξ ,η - некорельовані величини.
\| M (ξ		− Mξ )(η −		Mη ) \|≤ Dξ	Dη - нерівність Коші-Буняковського.

ξ − Mξ = M (ξ − Mξ )2 = Dξ - тобто дисперсія є нормою центрованої в.в.

2)якщо	r(ξ	,η )	= 1 η = aξ +	b ,де	a =	Dη	. Тобто ξ ,η лінійно залежні.

						cov(ξ ,η )
Дійсно ξ		− Mξ = cov(ξ ,η )		(η − Mη )

			Dη
3)якщоξ ,η		- незалежні r(ξ ,η ) =			0;

Обернене твердження вірне лише коли ξ ,η - мають нормальний розподіл.

Тобто якщо величини некорельовані і мають нормальний розподіл, то вони незалежні. В загальному випадку некорельовані величини можуть бути залежними. До речі

cov(ξ ,η ) = M (ξ − Mξ )(η − Mη ) = Mξη − Mξ Mη

Подамо метрику через скалярний добуток : ξ ,η L2 ρ (ξ ,η ) = ξ						− η = M (ξ − η )2
Будемо казати, що послідовність {ξ n }∞n= 1			збігається до випадкової величини ξ в середньо
квадратичному значенні, тобто limξ	n	= ξ	, якщо M (ξ	n	− ξ )2 →	0 .
n→ ∞	n			n	n→ ∞
n→ ∞

Ланцюги Маркова.

Розглянемо послідовність в.в. X1 , X 2 ,..., X n ,K; X n {0,1,...} = Z +

Послідовність X n будемо називати ланцюгом Маркова, якщо для будь-якої сукупності

індексів n1 < n2 <			... <	nk має місце властивість:
P{X n	k	= ik / X n	= i1	,..., X n	k− 1	= ik − 1} = P{X n	=	ik / X n	k− 1	= ik − 1} = Pi	i {nk − 1 , nk },
	k	1			k− 1		k		k− 1		k− 1 k

Pik − 1ik (nk − 1 , nk ) - перехідна ймовірність ланцюга маркова.

Марківська властивість фактично означає, що майбутнє не залежить від минулого, а залежить тільки від теперішнього.

Ланцюг Маркова називається однорідним, якщо Pij (m, n) = Pij (n − m) . Pij (n, n + 1) = pij , n - для однорідного ланцюга маркова.

В подальшому розглядаємо лише однорідні ланцюги.

P = pij i∞, j= 0 - матриця перехідних ймовірностей ланцюга Маркова.

Приклад. (ланцюга Маркова)

F1 Теорія імовірності, перший семестр

Розглянемо схему випробувань Бернуллі з ймовірністю успіху р, тобто У-успіх, Н-не успіх, і Р(“У”)=р, Р(“Н”)=q; p + q = 1. Тоді нехай послідовність: НУУУ…У. Випадкова

величина X n = i , якщо на n -му випробуванню реалізувалася серія успіхів довжиною i .

Xn = 0 , якщо сталася реалізація неуспіху .

{X n } –ланцюг Маркова з можливими станами {0,1,2,…}. Графічно це можна показати так :

pij i∞, j= 1 - матриця перехідних ймовірностей ланцюга Маркова для 1-го кроку.

Запишемо матрицю переходів за один крок.

	q	p	0	0 ...	.
		0	p	0 ...	.
	q
P =	q	0	0	p ...	.
			...	... ...
	... ...				.
		0	0	... p	0
	q

- де pij ймовірність знаходження на і-му кроці в j-му стані.

pij (n) = P{X n = j / X 0 =

i} називається ймовірністю переходу за n кроків.

Теорема (рівняння Чeпмена-Колмогорова).

} ∞

Перехідні ймовірності p

(n) ланцюга Маркова { X

задовольняють рівняння

∞

n= 1

Чепмена-Колмогорова:

pij (n) =

∑ pik (r) pkj (s) , де (r, s) - невід’ємні цілі числа такі, що:

r + s =

k = 0

◄ Запишемо за визначенням і додамо в чисельник подію ймовірності 1

pij (n) = P{X n = j / X 0 =

i} =

P{X n = j, X 0

= i}

P{X n =

j,Ω , X 0

= i}

P{X 0 = i}

P{X 0

= i}

∞

P{X n = j,U{X r = k}, X 0 = i}

∑P{X n = j, X r = k, X 0 = i}

k= 0

= (r < n) =

k= 0

P{X 0 = i}

P{X 0 =

∞

P{X r = k, X 0 =

∞

= ∑P{X n = j / X r = k, X 0

∑ pik (r) pkj (n − r) ►

P{X 0 =

k = 0

k= 0

Наслідок В матричній формі рівняння записується так:

P(n) = P(r)P(s) , де s = n − r

Звідси отримуємо таку властивість матриці перехідних ймовірностей

P(n) =

P(n − 1)P(n) = ... = Pn (1) =

Крім перехідних імовірностей для ланцюга Маркова ще задають початковий розподіл :

{pk (0)}∞k = 0 , тобто імовірності з якими він може знаходитися в кожному стані в 0-ий момент часу. Тоді можна ввести гіпотези: pk (0) = P{X 0 = k} = P( Hk) .

									F1 Теорія імовірності, перший семестр
Ймовірності p	k	(n) =	P{X	n	= k}, {p		k	(n)}∞	- складають безумовний розподіл ланцюга
	k			n			k	k = 0
Маркова на n-му кроці. Його можна обчислити користуючись формулою повної
імовірності (з гіпотезами P(Hk ) =									∞
імовірності (з гіпотезами P(Hk ) =						pk( 0) ) : pk (n) = ∑ pi (0) pik (n)
									k= 0
Класифікація станів дискретного ланцюга Маркова.
Стан і ланцюга Маркова {X n }n+∞= 0						називається неістотним (несуттєвим), якщо
існують m, j pij (m) >			0 , але для			n : p ji (n)			= 0

Нехай E = {0,1,2,...} –множина станів з відокремленою від неї множиною неістотних

станів. Тоді ця множина - множина істотних станів. Характеризується тим , що потрапивши в неї ланцюг ніколи з неї не вийде.

Розглянемо клас істотних станів.

Стан j називається досяжним з стану i , якщо існує m ≥ 0 : pij (m) > 0 , a pij (0) = δij .

Позначається i → j . (i ↔ j)	(i → j j → i)
Відношення сполучення (i ↔	j) “↔ ” – є рефлексивним, симетричним, транзитивним,
отже множину всіх істотних станів можна представити , як скінчену або зліченну

сукупність множин E1 , E2 ,…, En . які Ei ∩ E j = , а в об’єднанні дають множину істотних

станів й характеризуються тим, що стани з яких вони складаються сполучаються між собою, а переходи між множинами істотних станів є неможливими.

Клас E складається з E*(клас неістотних станів) і з E1 , E2 ,…, En …(класи істотних станів).

E1 , E2 ,…, En … називаються незвідними класами ланцюга, а ланцюг Маркова, який складається лише з 1-го класу E = E1 (істотних станів) називається незвідним класом. Тобто ЛМ, всі стани якого сполучаються називається незвідним класом.

d(i) - період стану “ i ” ЛМ , якщо d(i) - найменший спільний дільник(НСД) таких n , що pij (n) > 0 . Якщо d(i) = 1, то стан “ i ”- неперіодичний.

Приклади періодичного ЛМ:


d(i) =	2 , тобто за парне число кроків можна потрапити в будь-який стан.
Знайдемо час першого повернення в стан “ i ”. Для
n ≥	1 fii (n) = P{X n = i / X n− 1 ≠ i,..., X 0 ≠ i}. Тоді fii (0) = 0 та fii (1) = pii , ...,

		F1 Теорія імовірності, перший семестр
pii (n) =	n
pii (n) =	∑ fii (k) pii (n − k) , при n ≥ 1. Таким чином були введені генератриси pii (n) , та
	k = 0
fii (n) . Розглянемо функції від комплексної змінної S :
	+∞	+∞
Pii (s) =	∑S n pii (n) та Fii (s) =	∑S n fii (n) звідси маємо
	n= 0	n= 0

Pii (S)

Стан

− pii (0) = Pii (S)

xi називається

− 1 = Fii (S)Pii (S) pii =		1
− 1 = Fii (S)Pii (S) pii =	1−	Fii (S)
	1−	Fii (S)
+∞
рекурентним, якщо: ∑ fii (n) = 1.
n= 1
	+∞
не рекурентним, якщо: ∑ fii (n) < 1.
	n=	0

Теорема (критерій рекурентності)

+∞

Стан xi рекурентний ∑ pii (n) = ∞ .

n= 0

◄ Згадаємо лему Абеля з мат. аналізу , вона стверджує, що

+∞			+∞
а)∑аn = a < ∞		lim∑S n an =		a .
n= 0		s→ 1−	n= 0
	+	∞		+ ∞
b)an ≥ 0,lim∑S n an =			a < ∞	∑an = a
	s→ 1− n= 0			n= 0
Необхідність:
			+∞
“ i ” – рекурентний ∑ pii (n) =				+∞ .
			n= 0
+∞	л.Абеля				+∞
∑ fii (n) = 1 limFii (S) = 1 limPii (S) = ∞					∑ pii (n) = ∞ .
n= 0		s→ 1−		s→1−	n= 0
Достатність:
+∞
Нехай ∑ pii (n) = ∞ ” i ” – рекурентний.
n= 0
			+∞	л.Абеля		limPii (S) = ∞ . Що і т.д.
Доведемо це. Дійсно ∑ fii (n) <				1 limFii (S) < 1		limPii (S) = ∞ . Що і т.д.
		n= 1		s↑1		s↑1
Стан xi	називається нульовим, якщо lim pii (n) = 0.
				n→ ∞
Стан xi	називається ненульовим , якщо lim pii (n) ≠					0.
				n→ ∞

Наслідок: Не рекурентний стан завжди є нульовим. Ненульовий стан завжди рекурентний.

Ланцюги Маркова можуть мати чотири можливі станів:

1)не рекурентний ненульовий.

2)не рекурентний нульовий.

3)рекурентний нульовий.

4)рекурентний ненульовий.

Нульовий стан буває : рекурентний та не рекурентний .

F1 Теорія імовірності, перший семестр

Ненульовий стан буває : ( тільки )рекурентний .

Теорема (солідарності)

Для незвідного Ланцюга Маркова всі стани належать до одного типу:

1)якщо хоч один рекурентний, то всі рекурентні;

2)якщо хоч один нульовий, то всі нульові;

3)якщо хоч один періодичний з періодом d, то всі інші періодичні з періодом d

◄Розглянемо доведення властивості (2):

Розглянемо стани “i” та “j” Ланцюга Маркова X n . Оскільки X n - незвідний, то

N, M : pij (N) >

0, pij( M) >

0 , тоді pij (N + M + n)

∑ pik( N) pkl(

n) p(li

M) , n ≥

Якщо k ≤ l ≤

j , то pii (N +

M + n) ≥ pij( N) p jj( n)

p(jik,lM) .

Позначимо pij (N) = α , pik( M) = β, тоді

pii (N + M +

≥ αβ p jj( n)

(*)

та

p jj (N +

M +

n) ≥

αβ pii( n)

(**)

(*), (**)

(N + M + n) ≥ p ( n)

≥ αβ p ( n −

N −

M) при n ≥

N +

M ;α , β ≠

0 .

αβ

За умовою стан і – нульовий ( за теоремою про двох поліцаїв ) j - нульовий . Аналогічно на підставі цієї нерівності перевіряються інші властивості. ►

Розглянемо більш детально структуру періодичних Ланцюгів Маркова.

Теорема. Якщо незвідний Ланцюг Маркова X n , n ≥ 0 є періодичний з періодом d ,

																									d − 1				розбивається на d підкласів
						тоді множина його станів {0,1,...} =																			UEi				розбивається на d підкласів
																									i= 0
						E0 ,..., Ed − 1 , таких, що																1											1
						E0 ,..., Ed − 1 , таких, що														Ek → Ek + 1					(переходить до стану з ймовірністю 1) Ed − 1 → E0
	З теореми матриця Ланцюга Маркова має блочно-діагональний вигляд :
						E0			E1			E2		...			Ed − 1
	E0				0		≠		0			0		...			0
	E0				0		≠		0			0		...			0
	E1				0				0			≠	0	...			0
	E2				0				0			0 ... ...
...					... ... ...									...			≠	0
	Ed − 1				≠ 0				0			0		...			0
	ненульовою буде перша над діагональ і отой кутовий блок, а інші скрізь нулі.
														Ергодичний розподіл Ланцюга Маркова
	Нехай перехідні ймовірності																			pij (n) .
	Приклад {0,1} - два стани Ланцюга Маркова.
	P =			p00			p01					- матриця переходу за один крок.
	P =			p00			p01					- матриця переходу за один крок.
				p			p
				10					11							( p					)
		2				p2	+ p			p				p	01			00	+	p			= P(2)
						p2	+ p			p				p					+	p
	P		=			00				01		10	)				+			11					- матриця переходу за два кроки.
	P		=			p ( p		00		+		p	)	p2			+	p	01	p					- матриця переходу за два кроки.
						10		00				11			11				01	10
	P(n) = P n =												1					1 − p11					1 − p00		+	( p		00	− p − 1)n			1 − p00	− (1 − p00 )
													1					1 − p11					1 − p00			( p			− p − 1)n			1 − p00	− (1 − p00 )
																		1 −		p			1 − p								11	− (1 − p )	1 − p
									2		− p		00	− p										00			2	− p		00	− p
									2		− p			− p													2	− p			− p
															11					11											11	11	11

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.09.2019327 Кб3Tsivilne.doc
#
09.09.2019262 Кб3TsP_ispit (1).doc
#
01.05.2025324 Кб0TsPP_Konspekt_Grabovska.doc
#
01.07.2025779 Кб8TsPP_vidpovidi.doc
#
16.11.20192 Мб22TV1.doc
#
19.03.2015525 Кб13TV1.PDF
#
15.08.2019118 Кб2Tема 14-1.doc
#
15.08.2019353 Кб37Tема 19.doc
#
15.08.2019193 Кб5Tема 20.doc
#
15.08.2019209 Кб11Tема 20іф_гг.doc
#
15.08.2019172 Кб53Tема 21.doc