Econometrics

Задача2.24. Наосновістатистичнихданих, де y – прибутоккомерційногопідриємства,

знайтиМНКоцінкипараметріврегресії, якщоприпустити, щовонамаєтаку стохастичнузалежність:

y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x12 + β4 x22 + ε .

1.Перевіритимодельнаадекватність, α = 0,01.

2.Якщомодельєадекватною, тознайтизначенняфакторів, приякихприбуток комерційногопідприємствабудемаксимальним.

1.Перевірте гіпотезу про залежність розміру заробітної плати від терміну навчання, α = 0,05 .

2.Перевірте гіпотезу про залежність розміру заробітної плати від стажу роботи на фірмі, α = 0,05 .

3.Перевірте гіпотезу про наявність статевої дискримінації на фірмі (чи заробляють чоловіки більше за жінок за однакових умов), α = 0,05 .

42

Задача 2.26. Директор заводу вважає, що доход його підприємства y може залежати від ціни продукції p , вартості капітального устаткуванняK ,

кількості робочої силиL , курсу гривні до долараe , капітальних інвестицій в галузьI .

1.На основі аналізу діяльності підприємства в попередні роки допоможіть директору правильно специфікувати економетричну модель.

2.Визначіть найбільш впливові фактори, підрахувати відповідні коефіцієнти еластичності.

43

Задача 2.27. За даними ВВП України за 1993-2003 роки

1. Побудувати трендову модель yt = β0 + β1t + εt .

2. Розрахувати коефіцієнт детермінації.

3. Перевірити модель на адекватність, α = 0,05 .

4. Перевірити гіпотезу про стійкість моделі, розбивши всі спостереження на групи розмірами n1 = 24 та n2 = 19 відповідно, α = 0,1.

5.Розрахувати прогноз на четвертий квартал 2003 року. Визначте надійний інтервал для прогнозу, α = 0,05 .

44

Задача 2.28. На основі даних зовнішньоторговельної діяльності України

1.перевірте гіпотезу про вплив сезонного компонента на

•експорт товарів та послуг;

•імпорт товарів та послуг.

2.Зробити прогнози по зазначених змінних на 3 та 4 квартали 2003 року.

3.Перевірте гіпотезу про стійкість розглянутих моделей, розглянувши дані до і після 1999 року.

45

Тема 3. Модель лінійної регресії з гетероскедастичними збуреннями

Основні визначення

Вид моделі.

вякій вектор збурень не задовольняє класичним властивостям збурень:

1.Mvi = 0

2.Гетероскедастичність збурень: Dvi =Mvi2 = σi2 ≠ const ,i = 1, n .

3.Незалежність збурень: cov (vi ,vj )= 0,i ≠ j .

4.Незалежність збурень та регресорів: cov (vi , xij )= 0, i, j .

5.Збурення vi нормально розподілені для всіх i.

Наслідки гетероскедастичності збурень на оцінки методу найменших квадратів:

1.Оцiнки МНК будуть незміщеними, але не будуть ефективними (не матимуть найменшої дисперсії).

2.Стандартнi оцінки коварiацiйної матриці оцінки МНК будуть зміщеними, i, як наслідок, процедури перевірки гіпотез та інтервального оцінювання, основані на стандартних статистиках, будуть некоректними.

Критерії виявлення гетероскедастичності Критерій Голдфелда-Квондта.

Нехай сукупність n спостережень упорядкована по мірі зростання однієї з незалежних змінних. Розіб'ємо її на дві групи об’ємами n1 і n2, виключивши приблизно чверть середніх значень. Побудуємо 2 регресії по перших

По кожній з груп будують регресію і знаходять відношення:

= σˆ2

Fpr σ1 .

ˆ22

Якщо вони менше 1, то групи міняють місцями. Це значення слід порівняти з теоретичним Fteor = F (n1 − k, n2 − k,1 −α).

Якщо Fpr < Fteor , то збурення гомоскедастичні, в протилежному випадку –

гетероскедастичні.

Критерій Глейзера.

Застосування цього критерію розглянемо на прикладі моделі

yi = α + βxi + vi ,i = 1, n .

Спочатку оцінюється модель за методом найменших квадратів і знаходимо залишки ˆvi , i = 1, n . Потім будується регресія модуля залишків відносно однієї з таких функцій:

vˆi = γ +δ xi + εi ,

46

Якщо хоча б одна з регресій виявиться адекватною, то гетероскедастичність наявна.

Критерій Уайта.

Спочатку оцінюється модель за методом найменших квадратів і знаходяться залишки ˆvi ,i = 1, n . Далі будується регресія квадратів залишків

відносно всіх змінних з моделі, їх квадратів та попарних добутків. Наприклад, для моделі

yi = β0 + β1 xi1 + β2 xi2 + β3 xi3 + vi ,i =1, n

потрібно розглянути модель

+ β7 xi1 xi2 + β8 xi2 xi3 + β9 xi1 xi3 + εi ,i = 1, n

Якщо така модель виявиться адекватною, то гетероскедастичність має місце.

Зважений метод найменших квадратів.

Припустимо, що коваріаційна матриця збурень відома з точністю до коефіцієнта пропорційності, тобто

υ

εi = wii , i = 1, n .

Оцінкою зваженого МНК коефіцієнтів моделі з гетероскедастичними збуреннями називається оцінка звичайного МНК, знайдена за моделлю (2).

Обчислення вагів на основі критерію Глейзера.

Для обчислення вагів використовується адекватна допоміжна регресія з найбільшим коефіцієнтом детермінації, наприклад,

47

Обчислення вагів на основі критерію Уайта.

Якщо допоміжна регресія виявилася адекватною, то wˆi = ˆvi2 ,i = 1, n .

Приклад розв'язання задачі

Приклад 1.

Відомі доходи та витрати на споживання 30 сімей одного будинку.

1.Побудувати регресію виду Ci = β0 + β1Yi + vi .

2.Перевірити наявність гетероскедастичності збурень за критерієм Голдфелда-Квондта.

3.Перевірити наявність гетероскедастичності збурень за критерієм Глейзера.

4.Перевірити наявність гетероскедастичності збурень за критерієм Уайта.

5.У випадку наявності гетероскедастичності оцінити модель за зваженим методом найменших квадратів.

Розв'язок.

1.Використовуючи звичайний МНК знаходимо вигляд вибіркової регресійної функції: Cˆi = 23, 3 + 0,85Yi , R2 = 0,81.

2.Побудуємо окремо 2 регресії по перших 154 30 = 8 та останніх 8

спостереженнях, попередньо відсортувавши всі спостереження за зростанням незалежної змінної. Регресія по перших 8 спостереженнях має

вигляд Cˆi = 82, 3 + 0, 56Yi , R2 = 0, 60 , σˆ2 = 11,87 . Регресія по останніх 8 спостереженнях має вигляд Cˆi = 449,5 + 0, 04Yi , R2 = 0, 04 , σˆ2 = 61,53.

48

гетероскедастичність присутня.

3. Для застосування критерію Глейзера необхідно знайти модуль вектора

Найбільший коефіцієнт детермінації у останньої моделі. Вона адекватна, оскільки практичне значення Fpr = 13, 67 перевищує теоретичне

Fteor = F (1; 28;0, 95) = 4, 20 .

Таким чином, за критерієм Глейзера гетероскедастичність присутня.

4. Будуємо допоміжну модель квадрату залишків

ˆvi2 = (Ci − Cˆi )2 = (Ci − 23, 3 − 0,85Yi )2

від незалежної змінної та її квадрату:

ˆvi2 = −2485,8 + 9, 75Yi + 0, 008Yi2 , R2 = 0,344 .

Модель виявляється адекватною, оскільки практичне значення Fpr = 7, 07

перевищує теоретичне Fteor = F (2; 27;0,95) = 3,35 . Таким чином, за критерієм Глейзера гетероскедастичність присутня.

5.Оскільки виявлено гетероскдастичність, то модель необхідно оцінювати за зваженим методом найменших квадратів. Для цього слід знайти оцінки

вагів wi . За методом Глейзера вони знаходяться за формулою wˆi = −330,53 + 62, 35lnYi ,

49

Як бачимо, остаточні оцінки, знайдені за зваженим методом найменших квадратів значно відрізняються від оцінок звичайного МНК. Зокрема, побудовані регресії свідчать, що в сім'ях витрачається 91% доходів на споживання, тоді як оцінки звичайного МНК показували лише 85%.

50