Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный экономический университет им. В. Гетьмана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodichni_vkazivki

.pdf

Скачиваний:

306

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Отже,

lim

x 2

x x

lim ( y k2 x)

lim

x 2

lim

x 2

(x 2)

= lim

)

y x 1

— рівняння лівої похилої асимптоти.

		x	3
lim	y lim				;
		x		2
x	x

		x	3
lim	y lim
		x
x	x			2

функція необмежена для необмежених значень аргументу. Множина значень функції: E [0, ] .

3. Дослідження функції за допомогою першої похідної: знаходження інтервалів монотонності та екстремумів функції.

					1
	1		x	3	2	3x	2	(x 2) x		3
				3			2			3
y
y									2
	2							(x 2)	2
	2	x 2						(x 2)

= 2x3 6x2 x3 (x 2)4

x 2

x	2	(x 3)

x	3	(x 2)	3

Область визначення похідної
Область визначення похідної		D( y ) ( ;0)
визначення функції	D( y) , знаходимо, що		x 0
				x	2
		y 0		x
		y 0			3
				x	3
				x

(2; ) ; порівнюючи

—критична точка І-го

	(x 3)	0
	(x 2)	0
		3

цю область із областю роду функції.

x 3 — критична точка І-го роду функції. Складаємо таблицю:

( ;0)	0	(0;2]
	0	Не існує
–	Не існує	Не існує

(2;3)

–

3 (3; )

Рис. 3

x 0		— точка лівого мінімуму;
x 3		— точка звичайного мінімуму.
При	x ( ;0) (2;3) — функція спадна; при

x (3; )

— функція зростаюча.

4. Дослідження функції за допомогою другої похідної: знаходження інтервалів опуклості та вгнутості і точок перегину.

(x 2)

3x(x 2)

(x 3)

x 3

(x 2)

(

		x					x 3		(x 2)		2		(x
		x							(x 2)				(x
x			2)	3						x
				3
									2
									2	(x		2)		3
														3

x	2	(x 2)					2	(x	3)(x 1)
x		(x 2)						(x	3)(x 1)
x(x					2)	5			x(x 2)			5
						5



2 3x)		=

(x 2)	6

x(x 2)
		x(

x
(x	2)	3
(x	2)

(x 3)(x
x 2)	5

(x 3)(x 1)
	x(x 2)		8
	x(x 2)
	(x 2)	3
	(x 2)
=	3

x(x 2)5

D( y )

( ;0)

(2; )

;

y 0

критичних точок другого роду немає Побудуємо таблицю:

немає точок перегину функції.

x	( ;0)	(0;2]	(2; )

y		Не існує
		Не існує

y	+	Не існує	+
	+	Не існує	+

Рис. 4

При

x ( ;0) (2; )

функція вгнута.

5. Побудова графіка функції.

Для побудови графіка функції рекомендується спочатку побудувати асимптоти функції, точки екстремумів, перегину та перетину з осями координат. Графік буде більш точним, якщо обчислити значення функції ще в кількох точках. З’єднувати лініями одержані точки треба згідно з таблицями, що відображено на рис. 3, 4.

Графік функції

	x	3
y	x
y	x 2
	x 2

представлено на рис. 5.

Рис. 5

Задача 2.2. Дослідити функцію

	x	2	ax b
y
			cx d

та побудувати її графік, якщо параметри

Задача 2.3. Дослідити функцію

, b

sin

, c , d задаються табл. 2.2.

Bx C cos 2Bx

та побудувати її графік, якщо параметри функції задано в табл. 2.3.

ЗАДАЧІ ЕКОНОМІЧНОГО ЗМІСТУ

Функції пропозиції та попиту деякої продукції

Задача 2.4. Функції пропозиції та попиту деякої продукції відповідно:

			ax	2	b			ex f
		y	ax		b	,	y	ex f			,
		y	cx d			,	y	kx	2	m	,
									2

де	x	— ціна одиниці продукції.

Визначити ціле значення ціни одиниці продукції, при якій пропозиція і попит урівноважуються, а також еластичність пропозиції та попиту при цій ціні. Дослідити та побудувати графіки функцій пропозиції та попиту. Параметри функцій задано в табл. 2.4.

Закон спадної ефективності виробництва [4]

Даний закон стверджує, що при збільшенні одного з основних факторів виробництва, наприклад капітальних витрат K , приріст виробництва, починаючи з деякого значення K , є

спадною функцією.
Обсяг продукції u , що випускається, як функція від				K , описується графіком із зміною
характеру опуклості вниз на опуклість вгору.
Характерний вигляд цієї функції має вигляд:
		u(k)	u	,
			1 a e bk c
де a ,	b ,	c — відомі додатні параметри, що визначаються структурою організації виробниц-
тва, а	u	— гранично можливий обсяг продукції.
Обчислимо похідні функції:

u (k) u

1 a e

bk c

a( b)e bk c

u ( 1) 1 a e bk c

bk c

u abe

;

u (k) u ab e

( b) 1 a e

bk c

( b)

bk c

( 2) 1 a e

2ae

bk c

u ab

bk c

a e

bk c

a e

bk c

2ae

bk c

1 ae

bk c

1 a e

bk c

1 a e

bk c

Критична точка другого роду знаходиться з умови

, звідки маємо:

(k) 0

ae bk c 1 0 , K

ln a c

Графік функції u(k) змінює свій характер у точці перегину

K kp

. До цієї точки (

K	kp

)

збільшення капітальних витрат призводить до інтенсивного росту обсягу продукції, а після цієї точки ( k Kkp ) — приріст обсягу продукції знижується, тобто ефективність капіталовк-

ладень витрат падає. Таким чином, у стратегії капіталовкладень дуже важливим моментом є визначення критичного обсягу затрат, більше якого додаткові затрати будуть призводити до все меншої віддачі при даній структурі виробництва. Знаючи цей прогноз, можна вдоскона-

лювати та змінювати структуру організації виробництва, «покращуючи» показники u в сторону підвищення ефективності капіталовкладень.

Задача 2.5. Дослідити функцію

	u(k)	u

		a e
	1	a e
		bk c

та побудувати її графік. Визначити

критичний обсяг затрат. Параметри

задано в табл. 2.5.

Оптимальний обсяг випуску продукції фірми [4]
Задача 2.6. Фірма реалізує свою продукцію по ціні		p за одиницю продукції, а витрати
виробництва при цьому задаються залежністю C(x) Ax	5	Bx	4	Cx	3	2	Ex F . Дотримую-
						Dx

чись поданого нижче алгоритму розв’язання задачі треба:

a) дослідити функцію витрат виробництва C(x) і побудувати графік;

b) знайти оптимальний для виробництва обсяг продукції, що випускається і відповідний йому прибуток.

Параметри p, A, B, C, D, E, F задано в табл. 2.6.

АЛГОРИТМ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ

де

1) Знайти функцію прибутку за формулою

P(x) R(x) C(x) ,


x — обсяг продукції, R(x) px	— доход від продукції, що реалізується.
2) Знайти похідну функції прибутку
2) Знайти похідну функції прибутку		P (x) .

3)Знайти критичні точки першого роду.

4)Знайти другу похідну функції прибутку і визначати її знак.

5)Зробити висновок про характер екстремуму функції прибутку.

6)Знайти значення оптимального прибутку.

3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ТЕМА 1. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА В ГЕОМЕТРІЇ

1.Обчислення площ плоских фігур.

2.Обчислення об’ємів тіл обертання.

3.Обчислення довжини дуги плоскої кривої.

ТЕМА 2. НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

1.Метод прямокутників.

2.Формула трапецій.

3.Формула Сімпсона.

ТЕМА 3. ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ ЗАДАЧАХ

Задача 3.1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

x 3y 26 , x y	2	2y 6 .

Розв’язання. Побудуємо фігуру, обмежену	параболою		x y	2	2y

x 3y 26 на координатній площині, при цьому обов’язково треба знайти
заданих ліній між собою та з осями координат. (рис. 6).

6 та прямою точки перетину

x y		2


x 3y
x 14,

y 4,
	x 41,

	y 5,

2 y 26

6, 0,

M	1

	x 3y 26,


	2	y 20	0,
y


(14; 4) ; M 2			(41;5)

x 3y 26,y 4,

y 5,

— точки перетину заданих ліній між собою.

Шукаємо точки перетину заданих ліній з віссю

0 y

x y
	2
	x

x 3y
	x

2 y

26,

M	3

(точок перетину немає).
(0;	26	) .
	3

Шукаємо точки перетину заданих ліній з віссю


x y		2	2 y 6,
x y			2 y 6,
	y		0,

M	(6;0)
4

;

x 3y 26,

y 0,

M	(26;0)
5

Знайдемо вершину параболи:

x y	2	2y 6
	2

x 5 ( y 1)	2

O1 (5; 1)

Для обчислення площі фігури лою для обчислення площі фігури

O M	1
1

S ABCD

M 5 M 2 M 3 (рис. 6) найзручніше скористатись форму- , зображеної на рис. 7,

S	ABCD
	ABCD

d		( y)

c	1

	( y) dy
2

(3.1)

Рис. 6

Рис. 7

Отже, за формулою (3.1) одержимо:

						5	2
SO M M						(3y 26 ( y	2	2 y 6))dy
SO M M			M	M		(3y 26 ( y		2 y 6))dy
1	1	5	2		3	4
						4

5 ( y2 y 20)dy =

		y	3		y	2

=							20 y

	3			2

		125
=
		3

25	100	64
	100
2			3

121,5

(кв. од.).

Задача 3.2. Обчислити об’єм тіла, одержаного обмежена лініями x y2 2y 6 , x 3y 26 0 і y

обертанням навколо осі 0x фігури, що0 при y 0 .

Розв’язання. Будуємо задані лінії на координатній площині аналогічно попередній задачі і штриховою визначаємо ту фігуру, яка за умовою задачі обертається навколо осі 0x . Це буде фігура M 2 M3M5 , яка зображена на рис. 8. Об’єм тіла обертання VM2M3M5 дорівнює різ-

ниці об’єму тіла обертання VM2M3M5M7 та об’єму конуса VM 2 M 5 M 6 .

Рис. 8 Об’єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі

V0 x	b	2
V0 x		f (x)	dx .
	a

У даному прикладі для знаходження функції y f (x)

0x , обчислюється за формулою:

(3.2)

зробимо таке перетворення:

x y	2	2 y 6
	2
	y 0
	y 0

x 5 ( y 1)		2
x 5 ( y 1)
	y 0
	y 0

x 5 1

f (x)

x 5

За формулою (3.2) знаходимо об’єми тіла обертання та конуса:

								41											2						41				2
																			2						x 2 x				2
VM	M	M	M	7	=								x				5 1 dx					=			x 2 x		5 4			dx	=
2	3	5		7				6																	6
								6																	6
																										41
								x		2				4			(x 5)			3
				=				x						4			(x 5)					4x				= 395,8 .

									2										3
									2										3
																										6
																										6
V					=		1		(M							M			) (M			M		)2 25 15 125 .
V					=				(M						5	M		7	) (M		2	M	7	)2 25 15 125 .
	M 2 M 5 M				6	3									5			7			2		7			3
						3																				3
Отже, об’єм тіла обертання M 2 M3M5																	буде такий:
					VM				M			M		= (395,8-125)												= 270,8 .
								2			3		5
																										17	dx				при n 10	за фор-
Задача 3.3. Обчислити наближені значення інтеграла I																												5	1		при n 10	за фор-
																										7	3x	5
																										7	3x

мулами прямокутників, трапецій та Сімпсона.

Розв’язання. Формули для наближеного обчислення визначеного інтеграла b f (x)dx при

розбитті проміжку [a; b] на n рівних частин (рис. 9) мають такий вигляд:

а) лівих прямокутників:

б) правих прямокутників:

в) трапецій:

b	f
	f
a

г) Сімпсона:

b	f (x)dx
	f (x)dx
a
b	f (x)dx
	f (x)dx
a
(x)dx

b a n y0

b a		y
		y
	n		1
	n
a y
		0
		0
n			2

y	n

y
1

yn 1 ;

yn 1 yn ;
y	2	y	n 1

 

;

f (x)dx

b a

4 y

2 y

n 1

n 2

при

n 2k

, k N;

де

f (xi ) , i 0, n .

Рис. 9

Для даної задачі маємо:

x0 7 ,		y0	0,0045	;		x6 13 ,	y6 0,001;
x	8,	y	0,003;	x	7	14 , y	7	0,0008 ;
1		1
x2 9 ,		y2 0,0024 ;				x8 15 ,	y8 0,0006 ;
x3	10 ,	y3 0,002 ;			x9 16 ,		y9 0,0005 ;
x4 11,		y4 0,0014 ;				x10 17 ,		y10 0,00048 .
x5	12 ,	y5 0,0012 ;

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Підставляючи ці дані у формули (3.3)—(3.6), дістанемо:

а)	I 0,0174;
б)	I 0,0134;
в)	I 0,0154;
г)	I 0,01529.

Задача 3.4. Знайти площу фігури, обмеженої лініями:


y Ax		2	Bx C,
y Ax			Bx C,
	Dx y E 0.
	Dx y E 0.

(3.7)

Обчислити об’єм тіла, одержаного обертанням ями (3.7), x 0 при x 0 . Числові дані наведено в

навколо осі табл. 3.4.

0 y

фігури, що обмежена ліні-

Задача 3.5. Знайти площу фігури, обмеженої лініями (3.7). Обчислити об’єм тіла, одер-

жаного обертанням навколо осі 0 y

фігури, що обмежена лініями (3.7),

x 0

при

x 0

. Чис-

лові дані наведено в табл. 3.5.

Задача 3.6. Знайти площу фігури, обмеженої лініями:


x Ay		2	By C,
x Ay			By C,
	x Dy E 0.
	x Dy E 0.

(3.8)

Обчислити об’єм тіла, одержаного обертанням навколо осі 0x фігури, що обмежена лініями (3.8), y 0 при y 0 . Числові дані наведено в табл. 3.6.

Задача 3.7. Знайти площу фігури, обмеженої лініями (3.8). Обчислити об’єм тіла, одержаного обертанням навколо осі 0x фігури, що обмежена лініями (3.8), y 0 при y 0 . Числові дані наведено в табл. 3.7.

Задача 3.8. Знайти наближені значення визначеного інтеграла

F A BxC D dx , при n 10

за формулами (3.3)—(3.6). Числові дані наведено в табл. 3.8.

Дисконтування і акумулювання грошових потоків [2]

Припустимо, що відсоткова ставка i(t) — неперервна функція від часу t 0 . Нехай у мо-

мент t 0	ми поклали на рахунок одиницю (ум. гр. од.); через			D(t)	позначимо суму, що ле-
жатиме на рахунку в момент t , що обчислюється за формулою:
		t
	D(t) exp i(s)ds .
		0
Середнє значення
		0,	t 0,

i (t) 1 t i(s)ds, t 0,

t 0

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025159 Кб1METODICHNI_KYRSOVI_TDP.doc
#
01.05.2025140 Кб1metodichni_materiali_potochny_kontrol.doc
#
07.11.2018249 Кб3metodichni_matkonstitutsiyne.doc
#
22.03.2015651 Кб12Metodichni_Rekomendatsiyi_Magisterskoyi.doc
#
26.08.2019106 Кб2Metodichni_vkazivki_KP_SPPR_08022012-1.doc
#
22.03.20154 Мб306metodichni_vkazivki.pdf
#
01.07.2025118 Кб1metodichni.docx
#
01.05.20251 Мб1METODIKA_DIAGNOSTIKI_PROTsESIV.doc
#
01.05.202550 Кб1metodika_po_kr_FDSG2.docx
#
12.09.2019387 Кб4Metodika.doc
#
17.11.201958 Кб8METODIKA.docx