TEORIYa_MIRI_TA_INTEGRALU_chast2

m

σm = σm ( f , g, ∆m ) = ∑mk (g(xk ) − g(xk −1)) ,

k =1

m

Σm = Σm ( f , g, ∆m ) = ∑M k (g(xk ) − g(xk −1)) .

k =1

Очевидно, що при довільном вибору набору Γm точок ξk

має місце

нерівність

σm ≤ Sm ≤ Σm .

(8.1.1)

Якщо до набору точок ∆m додати нову точку,

то сума σm не зменшиться, а

сума Σm не збільшиться. Тому, якщо

∆m

і

∆m

2

два довільних набора і

1

∆m = ∆m

∆m

2

, то

σm ≤ σm ≤ ∆m ≤ ∆m

2

. Отже будь-яка сума ∆m

2

більша

1

1

за будь-яка суму σm

. Позначимо через

I

точно верхню межу сум σm , тобто

1

σm ≤ I ≤ Σm .

(8.1.2)

Із нерівностей (8.1.1) – (8.1.2) випливає нерівність

m

| Sm − I |≤ Σm − σm = ∑(M k − mk )(g(xk ) − g(xk −1)) .

(8.1.3)

k =1

Оскільки

функція f (x) неперервна, то для довільного ε > 0 знайдеться δ > 0

таке, що

| f (x) − f ( y) |< ε/(g(b) − g(a)) , якщо

| x − y |< δ.

Отже,

якщо

для

довільного набору ∆m

величина λm < δ, то

M k − mk < ε/(g(b) − g(a))

для

довільного k =1,2,..., m.

Використовуючі останню нерівність, легко бачити,

що права частина (8.1.3) не перевищує ε. А це означае,

що існує інтеграл

Рімана-Стільтьєса.

b

b

∫ f (x)dg(x) =[ f (x)g(x)]ba − ∫g(x)df (x) ,

(8.1.4)

a

a

де

[ f (x)g(x)]ba = f (b)g(b) − f (a)g(a) .

(8.1.5)

Доведення.

Для будь-яких наборів точок

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b}

і

Γ = (ξ

k

)m

,

де

ξ

k

[x

k −1

; x

k

),

k =1,2,..., m −1, ξ

m

[x

m−1

; x

m

]

інтегральну

m

k =1

суму

m

Sm = Sm (g, f , ∆m ,Γm ) = ∑g(ξk )( f (xk ) − f (xk −1))

зобразимо у вигляді

k =1

m

m

Sm = ∑g(ξk ) f (xk ) − ∑g(ξk ) f (xk −1 ) =

k =1

k =1

m

m−1

= ∑g(ξk ) f (xk ) −

∑g(ξk +1) f (xk ) =

k =1

k =0

= −m∑−1f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk )) − g(ξ1) f (x0 ) + g(ξm ) f (xm ) .

k =1

Використовуючи

рівність

(8.1.5), а

також, що

x0 = a, xm =b ,

і поклавши

ξ0 = a, ξm+1 =b , одержимо

Sm = −m∑−1f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk )) − f (a)g(ξ1) + f (b)g(ξm ) + f (a)g(a) −

k =1

m

− f (b)g(b) +[ f (x)g(x)]ba =[ f (x)g(x)]ba − ∑ f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk )) .

k =0

Оскільки

xk [ξk ;ξk +1 ),

k = 0,1,..., m −1,

xm [ξm ,ξm+1]

і

m

ξk +1 − ξk ≤ xk +1 − xk −1 ≤ 2λm ,

то

сума

∑ f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk ))

є

f (x)

k =0

g(x) , що відповідає

інтегральною сумою функції

відносно

функції

наборам точок ∆m+1 ={a = ξ0 ,ξ1,...,ξт+1 =b} і

xk [ξk ;ξk +1 ), k = 0,1,..., m −1,

b

xm [ξm ;b].

Тому, в наслідок припущення, що існує інтеграл

∫ f (x)dg(x) ,

m

a

сума

∑ f (xk )(g(ξk +1) − g(ξk ))

прямує до цього інтеграла при умові, що

Доведення.

Для довільного ε > 0

знайдеться

δ > 0

таке,

що,

якщо

λm < δ, то

b

| Sm ( f1, g, ∆m ,ξm ) − ∫ f1(x)dg(x) |< ε/ 2 ,

a

b

| Sm ( f2 , g, ∆m ,ξm ) − ∫ f2 (x)dg(x) |< ε/ 2 .

Тоді

a

b

| Sm ( f1 + f2 , g, ∆m ,ξm ) − ∫( f1(x) + f2 (x))dg(x) |=

a

b

b

=| Sm ( f1, g, ∆m ,ξm ) − ∫ f1(x)dg(x) + Sm ( f2 , g, ∆m ,ξm ) −∫ f2 (x)dg(x) |≤

a

a

b

b

≤| Sm ( f1, g, ∆m ,ξm ) − ∫ f1(x)dg(x) | +| Sm ( f2 , g, ∆m ,ξm ) −∫ f2 (x)dg(x) |< ε.

a

a

2. Якщо функція f (x) інтегровна відносно функцій

g1(x) і

g2 (x) , то

функція f (x) інтегровна відносно суми g1(x) + g2 (x) і

b

b

b

∫ f (x)d(g1(x) + g2 (x)) = ∫ f (x)dg1(x) + ∫ f (x)dg2 (x) .

a

a

a

Доведення.

Для довільного ε > 0

знайдеться

δ > 0

таке,

що,

якщо

λm < δ, то

b

| Sm ( f , g1, ∆m ,ξm ) − ∫ f (x)dg1(x) |< ε/ 2 ,

a

b

| Sm ( f , g2 , ∆m ,ξm ) − ∫ f (x)dg2 (x) |< ε/ 2 .

a

Тоді

b

b

| Sm ( f , g1 + g2 , ∆m ,ξm ) − ∫ f (x)dg1(x) − ∫ f (x)dg2 (x) |=

a

a

b

b

=| Sm ( f , g1, ∆m ,ξm ) + Sm ( f , g2 , ∆m ,ξm ) − ∫ f (x)dg1(x) − ∫ f (x)dg2 (x) |≤

a

a

b

k b

∫ f (x)dg(x) = ∑∫ f (x)dgx j (x) = 0 .

a

j =1a

Нехай

A ={a1, a2 ,..., ak ,...}

− множина точок

із інтервала (a;b) .

Позначимо через g A (x) функцію,

яка дорівнює нулю на

множині [a;b] \ A, і

g A (ak ) = dk

≠ 0 , де числа такі,

що ряд ∑∞j =1| d j |

збігається. Нехай

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b} є

довільний

набір точок

такий, що

xk < xk +1.

Оцінемо суму

m−1

m−1

m−1

∞

∑| g A (xk +1) − g A (xk ) |≤ ∑(| g A (xk +1) | +| g A (xk ) |) =

2 ∑| g A (xk ) |≤ ∑| d j | .

k =0

k =0

k =1

j =1

Отже функція

g A (x)

обмеженої вариації і,

в наслідок

теореми

існування інтеграла

Рімана-Стільтьєса

для будь-якої

неперервної функції

a

що λm = max (xk − xk −1) →0,

коли m →∞,

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b} таких,

1≤k ≤m

)m

і вибиремо послідовність наборів

Γ = (ξ

k

, де

ξ

k

[x

k −1

; x

k

),

m

k =1

k =1,2,..., m −1, ξm [xm−1; xm ]

такі,

що

ξk A. Тоді

кожна

сума

m

b

∑ f (ξk )(g A (xk ) − g A (xk −1)) = 0

і

∫ f (x)dg A (x) =0. Рівність (8.1.7) доведена.

k =1

a

Наслідок. Якщо функція

f (x)

неперервна, а функція g(x) обмеженої

b

Стільтьєса ∫ f (x)dg(x)

не залежить від значень функції g(x) у її точках

a

разриву.

5. Якщо функція

f (x) неперервна на сегменті [a;b] , а функція g(x) має

b

b

∫ f (x)dg(x) = ∫ f (x)g'(x)dx ,

(8.1.8)

a

a

де справа знаходиться інтеграл Рімана.

Доведення. Оскільки похідна

g'(x) інтегровна за Ріманом,

то вона

k =0

k =0

де ξk (xk −1; xk ), k =1,2,..., m .

Отже функція g(x) обмеженої

варіації і, внаслідок теореми існування

рівність

(8.1.8)

розглянемо послідовність

будь-яких

наборів

точок

∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b} таких, що λm = max (xk − xk −1) →0,

коли

m →∞,

1≤k

≤m

і вибиремо послідовність наборів Γ

= (ξ

k

)m

,

де ξ

k

(x

k −1

; x

k

), k =1,2,..., m ,

m

k =1

визначаються формулою Лагранжа

g(xk ) − g(xk −1) = g'(ξk )(xk

− xk −1) .

Інтегральну суму Рімана-Стільтьєса

функції

f (x)

відносно функції g(x)

зобразимо у вигляді:

m

m

Sm = Sm ( f , g, ∆m ,Γm ) = ∑ f (ξk )(g(xk ) − g(xk −1)) = ∑ f (ξk )g'(ξk )(xk − xk −1) .

k =1

k =1

Спрямувавши m до нескінченності отримаємо (8.1.8).

6.

Якщо функція f (x) неперервна на сегменті [a;b] ,

а функція g(x)

абсолютно неперервна на сегменті [a;b] , то

b

b

∫ f (x)dg(x) = ∫ f (x)g'(x)dx ,

(8.1.9)

a

a

де справа знаходиться інтеграл Лебега.

Доведення.

Оскільки функція g(x)

абсолютно неперервна на сегменті

[a;b] , то похідна

g'(x) інтегровна за Лебегом і, в наслідок властивостей

точок ∆m ={a = x0 , x1,..., xт =b} таких, що

λm = max (xk − xk −1) →0,

коли

1≤k ≤m

)m

m →∞,

і

вибиремо

послідовність

наборів

Γ

= (ξ

k

,

де

ξk (xk −1; xk ), k =1,2,..., m . Для довільного

ε > 0 знайдемо

m

k =1

таке,

δ = δ(ε) > 0

що | f (ξ) − f (x) |< ε, якщо | ξ − x |< δ. Вважаючи, що λm < δ,

оцінемо різницю

b

m

m

xk

| Sm − ∫ f

(x)g'(x)dx | =| ∑ f (ξk )(g(xk ) − g(xk −1)) − ∑ ∫ f (x)g'(x)dx | =

a

k =1

k =1xk −1

m

xk

m xk

m xk

=| ∑ f (ξk )

∫g'(x)dx | −

∑ ∫ f (x)g'(x)dx | =| ∑ ∫{ f (ξk ) −

f (x)}g'(x)dx | ≤

k =1

xk −1

k =1xk −1

k =1xk −1

m xk

m xk

b

≤ ∑ ∫

| f (ξk ) − f (x) || g'(x) | dx ≤ ε∑ ∫|

g'(x) | dx = ε∫| g'(x) | dx .

k =1xk −1

k =1xk −1

a

7. Якщо послідовність fn (x) неперервних на сегменті [a;b]

функцій

збігається рівномірно на сегменті [a;b]

до функції f (x) , то для будь-якої

функції g(x) , обмеженої варіації на сегменті [a;b] , має місце рівність

b

f (x)dg(x) = lim

b

∫

∫ fn (x)dg(x) .

(8.1.10)

a

n→∞a

Доведення. Функція f (x) неперервна,

як границя рівномірно збіжної

послідовності

неперервних

функцій. Для

довільного

ε > 0

знайдемо

n0 = n0 (ε) N

таке, що

для

довільного

x [a;b] виконується нерівність

| fn (x) − f (x) |< ε, якщо

n ≥ n0 . Вважаючи,

що n ≥ n0 і

використовуючи

властивість 3 інтеграла Рімана-Стільтьєса, оцінемо різницю

b

b

b

b

| ∫ fn (x)dg(x) − ∫ f (x)dg(x) |=| ∫{ fn (x)

− f (x)dg(x) |≤ εV (g) .

a

a

a

a

Доведення. Оскільки

A

функція f (x)

проста, то

існує

не більш

ніж

зчисленна сім’я попарно неперетинних

вимірних

множин

Ak таких,

що

Ak

= A і f (x) = hk ,

x Ak . Тоді G( f ; Ak ) = Ak

[0;hk ] , G( f ; A) = G( f ; Ak )

k

k

і, завдяки σ−адитивності міри і лемі 9.2,

µG( f ; A) = ∑µ(G( f ; Ak )) = ∑hk µx ( Ak ) =

∫ f (x)dµx .

k

k

A

Теорема доведена.

Теорема 9.2. Якщо невід’ємна функція f (x) інтегровна за Лебегом на

множині A X , то

µG( f ; A) = ∫ f (x)dµx .

A

Доведення. Нехай An

= A(k / n ≤ f (x) < (k +1) / n),

k = 0,1,..... Визначимо

k

дві послідовності простих функцій f 1 (x) = k ,

x An ,

і

f 2 (x) =

k +1

, x An .

n

n

k

n

n

k

Кожна послідовність функцій збігається рівномірно на множині A( f ≠ ∞)

до

функції f (x) . Тому

функції fn1 (x), fn2 (x)

інтегровні

і, внаслідок

того,

що

fn1 (x) ≤ f (x) < fn2 (x),

x A,

маємо G( fn1; A) G( f ; A) G( fn2 ; A)

і отже за

теоремою 9.1: