Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дороговцев & Co - задачник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2015

Размер:

497 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

пунктах 6),8),9),10),11). Ï2. 1)

41 ; 2)1;

45 ;

4) ch 1 ¡ 1;

5) sh 1 ¡ 1;

6) sh 1;

7)31 ; 8)21 ; 9)e2 ¡ 1; 10)e ¡ 1; 11)p

¡ 1; 12)

e¡

Заняття 4

Ä1. 2)¹(f1; 2g) = 2; ¹(f1; 3; 4g) = ¹(f2; 3; 4g)

= 3;

¹(X) = 4;

3)¹¤(A)

1; 2

2 sign( A

3; 4

);

4)S

k(P):

Ä7. ¹1

j \ f

j \

1f2

¸2; ¹2(A)

= 2(¸2(A \ [0;

] ) + ¸2(A \ (

2 ; 1] )):

Ï1.

¸¤

(A)

5ÂA(

3);

¸¤

(A)

10ÂA(

2);

¸F¤

(A)

11ÂA(1);

(A)

15ÂA(¼);

5) ¸¤ (A) =

3ÂA(

1) + 2ÂA(1);

¸¤

(A)

2ÂA(1) + 3ÂA(3);

¸F¤

7) ¸F¤ (A) =

ÂA(5) + 3ÂA(7);

(A)

15ÂA(¼) + 2ÂA(10);

¸¤ (A)

ÂA(i);

10)

¸¤ (A)

ÂA(p

);

i=1

ÂA(e)

3ÂA(e3)i:P

+ ÂA(e2) +

Ï2.

1)-4),7)

Íå

¹.

11)

¸F¤ (A)

11ÂA(0) + 3ÂA(2) +

ÂA(ln i);

12)

¸F¤

(A)

5) S

f?; Xg; 6) S

2X ; 8) S

f?; Xg;

f?; X; f3g; f1; 2gg;

10)

f?; X; f2g; f1; 3gg:

Ï3.

1)-3),6),7) ¹, 4),5),8) не обов'язково, 9),10) не ¹.

Заняття 5

Ñ1. 1) ¸1(A) = 1; 2) ¸1(A) = b

a; 3) ¸1(A) = 0; 4); 5) ¸1(A) = +

Ä6.

Ðîçâ'ÿçîê äèâ.

Александров П.С. Введение в теорию множеств

и общую топологию. М., 1977. Ï1. 1)¸1(A)

2)¸1(A)

;

e¡1

3)¸1(A) = ¼

+ 10;

4)¸1(A) = 1;

5)¸1(A) =

; 6)¸1(A) =

;

ln 2

7)¸1(A) = +1; 8)¸1(A) =

; 9)¸1(A) =

10)¸1(A) = 21 :

Ï2. 1) A = [n

1; n ); n = 2k; A

= [

n+1 ;

1¡n

); n = 2k

1; k

1; 2) An = [n; +1); n ¸ 1; 3) An = [0; 1] [ [n; +1); n ¸ 1;

4) An = N [ [n; +1); n ¸ 1; 5) An =

1 [pk; pk +

]; n ¸ 1;

n2k

P = fpn : n ¸ 1g ; 6) An =

f[k; k + 1) j k = 2 (m ¡ 2 )g; n ¸ 1;

Заняття 6

Î1. Приклад: Q\[0; 1]: Ñ1. 1); 2) ¸2(A) = (b¡a)(d¡c);2

3) ¸2(A) = +1;

4) ¸2(A) = 0: Î2. Приклад: Q \ [0; 1]: Ñ2. ¸2(A) = 3

: Ñ3. ¸2(A) = 1:

Ï1. 1) fAn : n ¸ 1g перенумерована деяким чином злiченна множина 81

f[k; k + 1) £2[l; l + 1) j k; l 2 Zg ; 2) An = [n; +1) £ R; n ¸ 1;

3) An 1 = Z [ ([n; +1) £ R); n ¸ 1; 4) An1

= (R £ f0g) [

[((0;

) £ [0; 1]); n ¸ 1; 5) An = (Z £ Z) [ ((0;

) £ [0; 1]); n ¸ 1;

Ï2.

A) = 4;

1); 2); 4); 10) ¸2(A) = 0; 3); 5); 9) ¸2(A) = +1; 6); 7) ¸2(1

8) ¸2(A) = 3: Ï3. Значення ¸2(A): 1)8; 2)4;

3) ln 2; 4)1;

5)p

;

6)1;

¼3 ; 8)¼3 ;

9)2;

10)5: Ï4. Значення ¸2(A): 1)1;

2) + 1;

3)1e ;

4)2;

2+2p

¼; 6)6;

7) 4

; 8) ln

2+p

;

9) 4

; 10)2:

Заняття 7

Ñ3. 1)1 ïðè x 2 Z; 0 ïðè x 2= Z; 2)21; 3)0; 4)2; 5) + 1; 6) + 1:

Ã1.

Функцiя F

неспадна i

неперервна злiва. Ã2. 1) Òàê. 2)

Íi.

Ï1.

1)2n+1; 2)2n¡1; 3)2n; 4)0;

5)7; 6)n2

n; 7)5; 8)6; 9)9; 10)32:

Ï2.

Значення

¸F (A): 1); 6)e; 2)e ; 3)e

+ e

;

4)e + e ;

5); 7)e2 ¡ e; 8)e + e2 + ¢ ¢ ¢ + e9; 9)e + e4 + e9; 10)e + e2 + e4 + e8:

Ï3. 1) jA \ f0gj; 2) 4jA \ f1gj;

3) 15jA \ f¡5gj; 4) 10jA \ f¡7gj;

5) 2jA \ f0gj + jA \ f1gj; 6) 10jA \ f¡2¼gj + 5jA \ f¼gj;

8jA \ f¡10gj + 11jA \ f10gj;

(1 +

2) ¢ jA \ fegj +

+2jA \ f¼gj; 9)

¯A \ µn

Zfp3 ng¶¯; 10) jA \ f¡ tg 1; 0; tg 1gj:

Заняття¯

= R;

¯2

n ¡1

Î3. fn(x)

k=¡n

Â[ nk ; k+1n

)(x)jn j;

x 2 R: Íå

áóäå. Ä1.

2) Нехай

âñi

íå áiëüø

нiж злiченнi множини та ¨х доповнення,

f(x) = x: Òîäi f¡1([0; 1])

[0; 1] =

F: Ä2. Нехай F

= 2X ;

A = F; f(x) =

ÂA(x)

(

1 ) =

XnA

(x): Òîäi f¡

F; àëå

jfj(x) = 1; x

X âèìiðíà. Ä5. ¸1(c(D)) = 1: Ã1. Êëàñ âñiõ

F1-вимiрних функцiй

мiститься

â êëàñi

âñiõ F2-âèìiðíèõ

функцiй.

Ï3.

1)-6)

n2¡1

7)-10)

fn(x)

2 Â[ nk ; k+1n )(x)f(n ); x 2 R;

k=¡n

fn(x; y) =

2 Â[ nk ; k+1n )(x)Â[

; l+1n )(y)f(nk ;

); (x; y) 2 R2:

k=¡n

l=¡n

Заняття 9

= Â[0;+1).

Ñ4. A" = [¡1 + 2" ; 1 ¡ 2" ]: Ã4. 1) Íi. f = ÂQ: 2) Íi. f

Ï1.

1); 2)

g(x)

x 2 R;

g(x)

¼;

x 2 R;

g(x) =

ln(1 +

x ); x

g(x)

arcsin 2¡jxj;

shj xj

6) g(x)

(ch x)

;

x 2 R2;

g(x; y)

x ;

(x; y) 2 R2;

8)g(x; y)

cos x;

(x; y) 22R ;

g(x; y)

xy;

(x; y) 2 R ;

10) g(x; y) = ch x;

(x; y)

R : Ï3. 1)

4); 6)

9) g(x) = 0;

5); 10) g(x) = 1;

x 2 R: Ï4. 1)A"

= [2 ; ¼ ¡ 2 ];

2)A" = [0; 2 ¡ 2 ] [

[[¼2 + 2" ; ¼]; 3)A" = [0; 1 ¡ "]; 4)A" = [2" ; 1 ¡ 2" ]; 5)A" = [0; 21 ¡ 2" ][

[[

21 + 2" ; ¼]; 6)A"

(0; 1 ¡ "]; 7)A"

(0; 1 ¡ "];

8)A" = ["; 1]; 9)A"

= [0; 2 ¡ "];

10)A"

= [0; 1 ¡ "]: Ï6. Çáiæíiñòü

еквiвалентна

òîìó,

ùî

fn(0)

f0(0);

¡¡¡!

fn(1)

f0(1);

fn(

f0(

5);

¡¡¡!

4) fn( 7)

7);

5) fn(0) n

f0(0);

f0(1);

(

fn(1)

¡¡¡!

fn( 2¼)

f0( 2¼); fn(¼)

f0(¼);

¡¡¡!

fn( 10)

f0(

10);

fn(10)

f0(10);

¡¡¡!

fn(e)

f0(e); fn(¼)

f0(¼);

¡¡¡!

!1 p3

k);

;

10)

f0(0);

fn( k)

f0(

fn(0)

¡¡¡!

[ f

¡¡¡!

fn(

tg 1)

(

tg 1);

fn(tg 1) n

f0(tg 1):

¡¡¡!

Заняття 10

Î2.

Не правильно.

Ñ2. Íå

правильно.

Î3. Розглянути "плаваючу

сходинку"

fn(x)

Â[n¢2¡[log2 n]¡1;(n+1)¢2¡[log2 n]¡1)(x);

x 2

[0; 1).

Пiдпослiдовнiсть f2N (x) = Â[0;

)(x); x 2 [0; 1); N ¸ 1; збiжна майже скрiзь.

Ñ3. Приклад: X = R; ¸ = ¸1; f(x) = x; g(x) = x1 Â[n;+1)(x); x 2 R:

Ä4. Збiжнiсть поточкова. Ï1. Границею f ¹

функцiя:

1); 3) ¡ 7);

9); 10) f(x) = 0; x 2 R; 2) f(x) = 2; x

x 2 R:

12 R; 8) f(x) = cos 1

Ï2. Âiäïîâiäi äèâ. 9Á.Ï6. Ï3. 6)fn(x) =

; x 2 R; gn(x) = n ; x 2 R:

Ï4. 1)¡3); 9); 10) g(x; y) = 0; (x; y) 22

R ; 4); 8) g(x; y) = 1; (x; y) 2 R2

;

g(x; y) =

max( x ; y ); (x; y)

2 R ;

6) g(x; y) =

x +

; (x; y)

2 R ;

j j j j

j j j

7) g(x; y) = 2 ; (x; y) 2 R

Заняття 11

¡ ln 2;

Ñ1. 1)0;

2)20;

3)101100 ;

4)¼: Î2.

1) ln 2;

2)1

3)1;

4)1 ¡ ln 4: Ñ2. ® > 1: Î3. 0: Ä2. Приклад: f(x)

21 ; x

2 X:

Ï1. 1) ¸(A) + ¸(B) ¡ 2¸(A \ B);

2) ¸(A) + 2¸(B) ¡ 2¸(A \ B);

3) 3¸(A) + ¸(B) ¡ 2¸(A \ B); 4) 2¸(A) + 3¸(B) ¡ 4¸(A \ B);

5)¸(A) + ¸(B) + ¸(C) ¡ 2¸(A \ C) ¡ 2¸(B \ C) + 2¸(A \ B \ C);

6)¸(A); 7) ¸(A)+2¸(B)+¸(C)¡2¸(A\C)¡2¸(B\C)+2¸(A\B\C);

8)2¸(A) + 3¸(B) + ¸(C) ¡ 2¸(A \ C) ¡ 2¸(B \ C) + 2¸(A \ B \ C);

9) ¸(A) + 2¸(B) + ¸(C) ¡ 2¸(A \ B) ¡ 2¸(B \ C);

Òîäi:

10) ¸(A) + ¸(B) ¡ 2¸(A \ B \ C): Ï2. Позначимо: I1 :=

f+ d¸1;

f¡ d¸1; I3

jfj d¸1; I4

f d¸1:

1) I1 = I2 = 4; I3 = 8; I4 = 0; 2) I1 = 6; I2 = 10; I3 = 16; I4 = ¡4;

3) I1 = 6; I2 = 10; I3 =

16; I

4; 4) I = I = 3; I

= 6;

I4 = 0; 5) I1 = I2 =

; I3 = 15; I4 = 0; 6) I1 = 1;

I2 = 5; I3 = 6; I4 = ¡4; 7) I1 = I2 = 3; I3 = 6; I4 = 0;

8) I1 = 9 ¡5¼ tg 1; I2 = 18 ¡ tg 1; I3

5¼

27 ¡ 2 tg 1; I4 5¼

9) I1 =

¡ 3; I2 = 0; I3 =

¡ 3; I4 =

¡ 3;

10) I1 =

1 ¡ sin 1; I2

sin 1; I

= 3

sin 1;

sin 2

Ï3.

3 sin 1;

;

(sh 1

1);

5) ¼4 (e ¡ 1);

6) e(e ¡ 1) ln 2;

7) 10;

92 ;

21 ;

10) ¡ 2(e ¡ 1):

Ï4.

52 sin 1;

2 sin 1;

1) arctg 3;

2(e

1) sh 1;

56 ;

1) sh 1;

(e ¡ 1)(e2

¡ 1) ln 2;

9); 10)

1:10

Ï5.

2101 ¡ 2;

(cos

cos

201 );

¡1 p3;

210;

2 sin

p3¡1

(104

5050;

338350;

50005000;

(104

10000

¡1 e; 10) 666700:

104 + 1)); 9) e

e¡1

Заняття 12

Î1. Iнтеграл рiвний 2, функцiя неiнтегровна за Рiманом. C2. 1)1;

2)e:

Î3.

Абсолютна

çáiæíiñòü

ïðè

умовна

ïðè

(0; 1];

e+1

iнтегровнiсть за Лебегом при ®

1: Ñ5. 1)

; 2) + 1; 3)0;

4)1:

e¡1

Ä6. Приклад: f(qn) =

; n ¸ 1; f(x) = 0; x 2= Q3; äå fqn : n ¸ 1g =

[a; b]: Ï2. 1) 2; 2)

3 ;

;

5) 11

;

e¡2

;

e¡1

e2;

9); 10)

21 :

Ï3.

51 ;

¼4 ;

¡ ln cos 1;

21 ¡ sin4

2 ;

sin4

2 ;

¡ sin4

+ sin324 ;

21 + sh42 ; 8) sh42 ¡

21 ; 9) ¼4

; 10) ln(1 + p

2): Ï4. Невласний iнтеграл

збiжний i функцiя iнтегровна за Лебегом вiдповiдно при: 1) ® > 0; ® > 1;

2) ® > ¡1; ® > 1; 3) ® > ¡5; ® > 1; 4) j®j > 1; ® < ¡1: В пунктах

b2 4a

5)-10) невласний iнтеграл збiжний, функцiя неiнтегровна за Лебегом.

Ï5. 1) 3; 2) e; 3) ¼62 ; 4); 5) 0; 6) ee10¡¡1e ; 7) 2; 8) 32 ; 9) 12 ; 10) 13 :

Заняття 13

Ñ2. 1)	0;	2)	1: Ñ3. 1) 101; 2) 0: Ä1. Приклад: fn(x)	=	1		Â 1				:
Ä2. Взяти послiдовнiсть з задачi С4. Ä3. Приклад: fn(x) =				1	x				[ n ;1]
Ä2. Взяти послiдовнiсть з задачi С4. Ä3. Приклад: fn(x) =				1	Â	1		;	1	]	;
				x	[	n		;	n¡1	]
f(x) =	0;	x	2 [0; 1]: Ä6. Не завжди. Ï1. В усiх пунктах отрима¹мо

границю, пiдставивши в iнтеграл f(x) çàìiñòü fn(x) i g(x) çàìiñòü gn(x): Ï2. Можна лише в 9) при ® > 1 i â 10) ïðè ® < 1: Ï3. 1) 0; 2) 1; 3); 4) 0;

5) ¼2 ; 6) ¡ ¼4 ; 7) 1; 8) ¼; 9) 0; 10) 51 : Ï4. 1) 1; 2) 4; 3) 7; 4) 21 ; 5) 9;

6) 100; 7) p

; 8) 2; 9); 10) 0:

Заняття 14

t 2 R:

Ñ1.

Î3.

g0(t)

ixeitxf(x) d¸1(x);

Ñ4.

g0(t)

x2 sin tx2

f(x) d¸1

t 2 R: Î4. I(t)

1+x6

(x);

2 ln t;

Ï1.

ln 4

2¼

¡ 1;

2) p

; 3) ¼;

3 ;

; 6) ¼;

7); 8) 2 ;

2 ;

(¡x)ke¡txf(x) d¸1(x); t

2 (0; +1); k 2 N:

10) 2¼: Ã1. g(k)(t) =

Ï3.

В усiх пунктах, щоб отримати похiдну, досèòь продифåðенцiювати

пiдiнтегральний вираз по t: Ï4. 1) I(m) = arctg(m® )¡arctg(m¯ ); m 2 R;

2) I(m) = 12 ln mm22++®¯22 ; m 2 R; ®; ¯ > 0; 3) I(®) = 2(® ln ® ¡ ¡(® + 1) ln(® + 1) + ® ln 2 + ln 2); ® > 0; 4) I(a) = ¼ a + ¼ ¢ sign a £

p 2 2

£(1 ¡ 1 ¡ a2); a 2 R; 5) I(®) = ¼ ln(1 + j®j); ® 2 R;

6) I(b) = 2p¼a e¡ ; b 2 R; a > 0:

Заняття 15

Î1. X+ = fx 2 X j f(x) ¸ 0g ; X¡ = fx 2 X j f(x) < 0g :

Ñ1. X+ = Rnf0g; X¡ = f0g: Î5. ¸a = ¸ex ; ¸s = ¸F (x)¡ex ;

d¸a

= ex:

d¸1

Ñ3. ¸a

¸1;

¸s

= ¹

¡ ¸1;

d¹a

= 1:

Ñ4.

2165

d¸1

3 :

Ä1. ¸a(A)

pn;

¸s(A)

qn;

d¸a

(n) =

ÂB(n):

n2A\B

n2AnB

d¹

Ã1. Òàê. Ã2. 1)

dº

d¸

2 L(X; ¸);

d¸ > 0 (mod ¸): Ã3.

1),2)

Òàê;

[(2n¡2)¼; (2n¡1)¼]; ¹+(A) =

3) Íi. Ï1. 1) X+ =

sin x d¸1(x);

X+R\A

2) X+ = ?;

¹+(A) =

X+

[ln 2 ¡ ln 3; ln 3 ¡ ln 2];

¹+(A)

+R\

(3e¡jxj

¡ 2) d¸1(x); 4)

X+

[5; 15];

¹+(A)

(15¡x) d¸1(x); 5) X+ = X; ¹+(A) =

¡25) d¸1(x)+

10]

[10;15]

[5;

R \

¡6) d¸1(x);

= ¹(A); 6) X+ = (¡1; 2¡log2 6]; ¹+(A) =

((2 )

X+R\ 4

(4n¡1)¼

(4n+1)¼

7) X+

2 [0;

[

;

]g;

= f(x; y) j x + y

2 ] [

(A) =

cos(x2

+ y2) d¸

(x; y);

8) XnS =

(x; y)

ln 5

X+

(ex2+y2 ¡ 5) d¸2(x; y);

x2 + y2R\

9 ; ¹+(A) =

X+R\A

4g;

9) X+

f(x; y) j (x +2

1) + (y ¡2

¹+(A)

X+R\A((x + 1)

(y ¡ 2) ¡2

4) d¸2(x; y);

10)

X+

f(x; y) j (x

+ (y +2

8g;

¹+(A)

X+R\A((x + y)

+ (y + d¹3) ¡ 8) d¸2(x; y);

в усiх пунктах X¡ = XnX+; ¹¡ = ¹¡¹+: Ï2.

= F 0(x); x 2 (0; 1]:

d¸1

Ï3.

¸a

¸F1 ;

¸s

¸F2 ; äå

F2(x)

F (x)

¡ F1(x);

1) F1(x)

x [x]

[jxj]([jxj]+1)

sign x;

öiëèõ

точках

j j

доознача¹ться

çà

неперервнiстю

справа,

d¸a

= [x] sign x;

d¸1

x 2 R; 2) F1(x) = xjxj;

d¸a

= 2jxj; x 2 R; 3) F1(x) = 3x;

d¸1

d¸a

;

d¸a

d¸1

= 3; x 2 R; 4) F1(x) = e

d¸1

= e ; x 2 R;

5) F1(x)

d¸a

x 2 R;

6) F1(x)

arctg x;

;

¡1

1+t4

d¸1

1+x4

d¸a

; x 2 R; 7) F1(x) = x Â[0;1)(x) + (3x ¡ 2)Â[1;+1)(x);

d¸1

1+x2

d¸a

2xÂ[0; 1)(x)

x 2 R;

F1(x)

d¸1

+ 12x Â[1; +1)(x);

= ¡1 + (2x ¡ 3)Â[1; +1)(x);

d¸a

= 2Â[1; +1)(x); x 2 R;

d¸1

9) F1(x)

d¸a

x 2 R; 10) F1(x)

= arctg xÂ(¡1;0](x);

d¸1

d¸a

sin 20

Â(¡1;0](x);

x 2 R: Ï4.

;

d¸1

1+x2

3) 9e10 + 56; 4) 21 ln 2 + 2; 5)			¡ 5e¡1	+ 2; 6)				2 ln 2 ¡ 1;
				nP	p
	10		1	9					¼2
	10		1			3			¼2
7) 9 sh 1 ¡ 6 ch 1; 8) 754e		+ 391; 9)	4 ln 82 +	=1	n		; 10)		2	¡ 4:
				=1

		Заняття 16
Î1. Не завжди, наприклад: f(x) = g(x) =			1	Â	(0;1]	(x); x	2	[0; 1]:
			4

			px
Ñ1. Äëÿ ® < p1	i ® > p1	âiäïîâiäíî. Î4. Ïðè p > 2 i ïðè p ¸ 1 âiäïîâiäíî.

Ñ3. Збiгаються в усiх пунктах. Ñ4. Çáiãà¹òüñÿ òiëüêè â L1(R; ¸1):

Ä4. Це "плаваюча сходинка" (див. розв'язок задачi А10.03)
Ï1. 1)¡7); 9); 10) p	2 ?; 8) p 2 [1; 2): Ï2. 1) (2¯ ¡®)p > 1; ®p > ¡1;
2) 4¯p > 1; 3)	®p > ¡1; ¯p > ¡1; (® + ¯)p < ¡1;

4) (® ¡ 1)p < 1; ¯p > ¡1; (4 + ® ¡ ¯)p > 1; 5) 2®p > 1; ¯p > ¡1;

6)	(2 + ¯			¡	®)p > 1; (¯		¡	1)p	< 1; 7) (2®	¡	1)p > 1;
	1	1									10) p 2 ?:
8)	® +	¯	< p;			® > 0; ¯ > 0;		9) ®p > 1; ¯p > 1;
Ï3. 1)		p	< 2;			2); 4) p 2 ?; 3) p			< 4; 5) p ¸ 1;		6) p < 2;

7) p ¸ 1; 8) p > 2; 9) p > 1; 10) p > 2:

ПРОГРАМА КУРСУ

Означення i приклади: пiвкiльця, кiльця, алгебри, ¾-êiëüöÿ, ¾-алгебри,

монотонного класу. Теорема про монотонне кiльце.

Породженi класи множин. Означення. Лема про перетин сiм'¨ кiлець. Борельовi множини. Приклади. Приклад породжено¨ ¾-алгебри:

¾a (f?; (a; b] j a; b 2 R; a < bg) = B(R):

Теорема про структуру кiльця, породженого пiвкiльцем. Теорема про монотонний клас, породжений кiльцем.

Функцi¨ множин. Основнi класи функцiй множин. Мiра. Зв'язок мiж адитивнiстю та ¾-адитивнiстю. Властивостi мiри на кiльцi. Теорема про

неперервнiсть мiри знизу i зверху. Оберненi твердження для адитивних функцiй. Приклади. m

Означення мiри Жордана в R : Теорема про ¾-адитивнiсть мiри

Жордана. Наслiдки для довжини i площi. Теорема про ¾-адитивнiсть ¸F :

Задача продовження мiри. Теорема про продовження мiри з пiвкiльця на породжене кiльце.

Зовнiшня мiра. Породжена зовнiшня мiра. Зовнiшня мiра, породжена довжиною на k(P); äå P = f?; (k; k + 1] j k 2 Zg :

Вимiрнiсть за Каратеодорi. Теорема Каратеодорi. Повнота продовження. Теорема про вимiрнiсть множин вихiдного кiльця. Теорема про ¹динiсть продовження. Приклад побудови продовження. Теорема про наближення.

Мiра Лебега на прямiй. Вимiрнi за Лебегом множини. Приклади. Вимiрнiсть за Лебегом вимiрних за Жорданом множин. Мiра ЛебегаСтiлть¹са на прямiй. Вимiрнi за Лебегом-Стiлть¹сом множини. Приклади.

Заряди. Адитивнiсть та скiнченнiсть заряду на частинi множини скiнченного заряду. Теореми про розклад Гана та Жордана. Приклад.

Вiдображення вимiрних просторiв. Прообраз ¾-алгебри. Вимiрнi

вiдображення. Приклади. Критерiй вимiрностi. Наслiдок для дiйсно¨ функцi¨. Борелüîâà ¾-алгебра на розширенiй прямiй. Вимiрна функцiя зi

значеннями в R: Приклади вимiрних за Лебегом та Борелем дiйсних

функцiй на прямiй.

Суперпозицiя вимiрних вiдображень. Наслiдок. Двi теореми про властивостi вимiрних функцiй. Приклади застосування.

Простi вимiрнi функцi¨. Теорема про наближення. Критерiй вимiрностi. Властивiсть, що викону¹ться майже скрiзь. Приклади. Еквiвалентнi функцi¨. Приклади. Теорема про вимiрнiсть. Збiжнiсть майже скрiзь.

™динiсть границi. Теорема про вимiрнiсть границi. 88

Верхня i нижня границi послiдовностi множин. Теорема ™горова. Iстотнiсть припущення про скiнченнiсть мiри.

Збiжнiсть за мiрою. Теорема про ¹динiсть границi. Два приклади про зв'язок.

Теорема Лебега. Фундаментальнi за мiрою послiдовностi. Фундаментальнiсть збiжно¨ за мiрою послiдовностi. Теорема про фундаментальну за мiрою послiдовнiсть (лема Рiсса). Наслiдки: теорема Рiсса, критерiй збiжностi за мiрою.

Означення абстрактного iнтегралу Лебега (з коментарями та прикладами). Елементарнi властивостi. Теорема про ¾-адитивнiсть

iнтегралу. Адитивнiсть, граничний перехiд для монотонно¨ послiдовностi множин. Незалежнiсть вiд значень функцi¨ на нуль-множинi. Iнтеграли вiд еквiвалентних функцiй. Подальшi властивостi iнтегралу Лебега.

Теорема про iнтегрування монотонно¨ послiдовностi функцiй. Теорема про адитивну залежнiсть iнтегралу вiд функцi¨. Наслiдки: про iнтегрування суми ряду i про модуль iнтегралу. Нерiвнiсть КошiБуняковськогоШварца. Теореми Б.Левi та Фату. Наслiдок. Теорема Лебега про мажоровану збiжнiсть.

Порiвняння iнтегралiв Рiмана та Лебега на [a; b]: Критерiй iнтегровностi

за Рiманом. Невласнi iнтеграли на [a; +1) та iнтеграли Лебега. Iнтеграл

Лебега-Стiлть¹са.

Абстрактний iнтеграл Лебега, що залежить вiд параметра. Теореми про неперервнiсть та диференцiювання за параметром. Приклади.

Мiра, породжена перетворенням. Приклади. Загальна формула замiни змiнно¨. Приклад застосування. Абсолютна неперервнiсть i сингулярнiсть мiр та зарядiв. Критерiй абсолютно¨ неперервностi заряду. Приклади. Похiдна Радона-Никодима. Теорема Радона-Никодима: для пiдпорядкованих мiр, для скiнченних мiр, загальний випадок. Наслiдок. Приклади.

Теорема Лебега про розклад заряду. Приклад.

Добуток ¾-алгебр ¹ пiвкiльцем. Добуток вимiрних просторiв. Перерiз

множин та теорема про вимiрнiсть перерiзу. Перерiз функцiй та теорема
про вимiрнiсть перерiзiв функцi¨.
Теорема про добуток мiр. Перерiз множин нульово¨ мiри. Принцип
Каваль¹рi.	Iнтеграли:	однократний,	ïîäâiéíèé	i	повторний.
Теорема Фубiнi.		Мiнковського. Простiр Lp
Нерiвностi	Гельдера i	Мiнковського. Простiр Lp		òà	його повнота.

Щiльнiсть множини всiх простих функцiй, а також ¨¨ пiдкласу, в Lp: Ùiëüíiñòü C0(R) â Lp(R; S; ¸):

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.12.2018389 Кб3Домашня №2 для С,У-09.doc
#
01.07.2025229 Кб1Доменделєєвські класифікації елементів.doc
#
01.04.2025573 Кб1Домнина исслед.doc
#
08.03.2016304 Кб10ДонГТУ Алчевск Економічна теорія.doc
#
01.07.202540 Кб2Доповідь(1).docx
#
23.03.2015497 Кб14Дороговцев & Co - задачник.pdf
#
01.05.2025129 Кб1Доходи та видатки.doc
#
24.12.2018266 Кб7Доэкспериментальные и квазиэкспериментальный пл....doc
#
10.11.2019267 Кб3ДПЗК Робоча пр. 2012.doc
#
01.05.20251 Мб2ДПТ_ТР.doc
#
01.05.2025346 Кб1ДР_2.doc

Дороговцев &amp; Co - задачник

Дороговцев & Co - задачник