челгу кб 1 курс Алгебра Lections

Anxm + Bnxm = Cnxm

Anxm ¢ Bmxk = Cnxk

Умножение матриц всегда не коммутативно!

Следствия из аксиом кольца:

1.В любом кольце K для любого элемента a

®¢ 0 = 0

Доказательство:(исходя из аксиом кольца)

a ¢ 0 = a ¢ (0 + 0) = |по аксиоме о нейтральном элементе|= =a¢0+a¢0=|по аксиоме дистрибутивности, по аксиоме об обратном элементе| =9b такой, что b + a ¢ 0 = 0 =) a ¢ 0 + b = (a ¢ 0 + a ¢ 0) + b=

=|по ассоциативности сложения можно скобки переставить|= =a ¢ 0 + (a ¢ 0 + b) = a ¢ 0 + 0 = a ¢ 0 =) a ¢ 0 = 0

2. 8®;¯ 2 K

(¡®) ¢ ¯ = ¡(® ¢ ¯)

Доказательство:

Нужно проверить, что (¡a) ¢ b является обратным по сложению к элементу a ¢ b, то есть (¡a) ¢ b + a ¢ b = 0=

|по дистрибутивности|=(¡a)b + ab = 0=

=|по аксиоме об обратном элементе|=(¡a + a) ¢ b = 0 ¢ b = 0

3. 8a; b 2 K

(¡a) ¢ (¡b) = a ¢ b

По предыдущему свойству (¡a) ¢ (¡b) = ¡(a ¢ (¡b)) =

¡ (¡(a ¢ b)) = a ¢ b

Система линейных уравнений над кольцом и полем.

Поле -кольцо которое коммутативна по умножению, есть нейтральный по умножению и обратный для всех не нулевых элементов.

Поле - множество на котором заданы две алгебраические операции сложение и умножение: по сложению коммутативная групп, а множество ненулевых элементов коммутативная групп по умножению и сложению, и умножение связаны дистрибутивностью.

Примеры полей:

поле рациональных чисел:

Q = fmn gj; n; m 2 N; m 6= 0g

11

поле комплексных чисел:

C = fa + p¡1 ¢ bja; b 2 Rg

конечное поле(Поле Галуа):GF (pn), где p - простое

GF (½) = f0; 1; 2 : : : ½1g

Конечным полем из p элементов, где p-простое, является множество остатков от деления на число p.

GF(p)=f0; 1; 2 : : : p ¡ 1g GF(5)=f0; 1; 2 : : : 4g

3 ¢ 4 = 2

3+3=1

Кольцо остатков(вычетов)

Пусть n - натуральное число

Zn = f0; 1; 2; : : : n ¡ 1g

На множестве Zn введ¸м операции сложения и умножения. a © b= остаток от деления на n обычной суммы a + b

a Ä b= остаток от деления на n обычного произведения a ¢ b

Теорема: Относительно введенных операций Zn является коммутативным кольцом.

12

3.1Сложения ((a © b) © c)=ост((a © b) + c)= ост(ост(a+b)+c)=ост((a+b)+c)=ост(a+(b+c))=ост(a+ост(b+c))= (Объяснение: и число а и число b < n )

a+b<2n и a+b=n+c’;В 1 случае остаток равен a+b, во 2 - остаток от a+b равен c’)

=ост(a + (b © c)) = a © (b © c)

3.2Умножения ((a ¯ b) ¯ c)=ост((a ¯ b) ¢ c)=

=ост(ост(a ¢ b) ¢ c)=ост((a ¢ b) ¢ c)=

=ост(a ¢ (b ¢ c))=ост(a¢ ост(b ¢ c))=

=ост(a ¢ (b ¯ c)) = a ¯ (b ¯ c)

4.Обратный элемент -a=n-a

5.Дистрибутивность

a ¯ (b © c) = a ¯ b © a ¯ c

a ¯ (b © c)=ост(a¢ост(b + c)=

=ост(a ¢ (b + c))=ост(a ¢ (b + c))=

=ост(a ¢ b + a ¢ c)=ост(ост(a ¢ b)+ост(a ¢ c))=

=ост(a ¯ b + a ¯ c) = a ¯ b © a ¯ c

Следствие: Таким образом Zp = GF (p) является коммутативным кольцом с единицей. Наличие обратного по умножению будет доказано в теории делимости кольца.

Системы линейных уравнений.

Пусть K - кольцо; aij; bj 2 K

>

>

: am1x1 + : : : + amnxn = bm

=) Система линейных уравнений над кольцом K(с.л.у) Элемент aij называется коэффициентом системы, bi

свободным членом, а x1 : : : xn - неизвестные.

13

=) A ¢ x = b

Если матрица A имеет обратный по умножению, то система

решается легко:

µ A¡1 ¢ (A ¢ x) = A¡1 ¢ b ¶ (A¡1 ¢ A) ¢ x = A¡1 ¢ b

=) x = A¡1 ¢ b

Даже если обратная матрица существует, то найти ее также трудно, что решить систему с нуля.

Она существует крайне редко.

Цель работы с системами: Найти множество их решений или доказать, что их нет.

Определение: Решением системы называется набор элементов ®1 : : : ®n 2 K,

при подстановке которых вместо неизвестных x, получим верное равенство в кольце K.

Определение: Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одни и те же множества

решений. В частности системы с пустыми множествами решений называют несовместными.

Эквивалентные преобразования:

1 . Умножение любого уравнения на обратный элемент кольца K

2. К любому уравнению системы можно добавить другое умноженное на элемент кольца K

3 . Поменять местами любые два уравнения.

Третье эквивалентное преобразование элементарным не является, так как выражается через первые 2.

Так как вся информация о системе содержится в коэффициентах, а

Эквивалентные преобразования:

1.Умножение i-ой строчки матрицы на обратный элемент a.

2.К i-ой строчке прибавляем j-ую, умноженную на a.

14

Замечание о системах над полями:

1.Если K - поле, то обратимыми являются все не нулевые элементы и первое эквивалентное преобразование - умножение i-ой строчки

на ненулевой элемент a.

2.Если столбец свободных членов нулевой, то система называется однородной (о.с.л.у)

Метод исключения переменных или метод Гауса.

Замечание: Преобразование строк матрицы равносильно подстановке переменных. Решение в матричном виде имеет вид единичной матрицы.

Написание алгоритма Гаусса для полей:

Шаг 1. Просматриваем первый столбец и находим не нулевой элемент.

Шаг 3. Умножаем отавшиеся элементы первого столбца на обратные.

Шаг 4. Вычеркиваем первую строчку и первый столбец, получим

(m ¡ 1) ¢ x ¢ (n ¡ 1).

И к получившейся матрице применяем шаг 1.

Замечание: Если первый столбец окажется нулевым, то переименовывая переменные сделаем его предпоследним.

В итоге получили ступенчато треугольную матрицу:

15

Замечание:Применяя аналогичные преобразования к строкам, расположенным выше, мы получим систему, имеющую вид:

x1 = ®1kxk + : : : + ®1nxn + b1

: : :

xk¡1 = ®k¡1xk + : : : + ®(k¡1)nxn + bk¡1 xk; xk+1 : : : xn ¡ textrm x1 : : : xk¡1 ¡ textrm

Теория делимости в кольцах

Пусть К - кольцо. Говорят, что элемент b делит a (b j a; b...a),

если (9c 2 K) такой, что a = b ¢ c).

Если кольцо некоммутативно, то эта формула a = b ¢ c означает, что b делит слева, а a = c ¢ b означает, что делит справа.

0 = 0 ¢ c

Ноль в смысле этого определения делит ноль, но не делится на ноль.

Простейшие свойства делимости:

1. Если a j b и a j c, то для

8n;m 2 K

a j (n ¢ b + m ¢ c)

Доказательство:

По условию:

b = b1 ¢ a c = c1 ¢ a

)n ¢ b + m ¢ c =

=n ¢ (b1 ¢ a) + m ¢ (c1 ¢ a) =

=(n ¢ b1) ¢ a + (m ¢ c1) ¢ a =

=(n ¢ b1 + m ¢ c1) ¢ a

2.Если a j b1, b j c то a j c

Доказательство:

По условию:

b = b1 ¢ a c = c1 ¢ b =

=c1 ¢ (b1 ¢ a) =

=(c1 ¢ b1) ¢ a

16

Определение: Элементы a и b называются ассациированными если a j b, а b j a.

Пример:

b = b1 ¢ a a = a1 ¢ b ) b = b1(a1b) = (b1a1)b

a = a1(b1a) = (a1b1)a

(1 ¡ b1a1)b = 0 (1 ¡ a1b1)a = 0

Определение: Элемент a называется делителем нуля, если a =6 0 и 9b =6 0 такой, что a ¢ b = 0

Упражнение: Доказать, что матрицы 2x2 над любым кольцом имеют делители нуля.

Замечание: Если кольцо не имеет делителя нуля, то его ассоциированные элементы, отличаются друг от друга на обратный элемент.

Доказательство:

По предыдущему вычислению (1 ¡a1b1) ¢a = b =) a1b1 = 1 =) b1 = a¡1

Правило сокращения кольца без делителя нуля

a ¢ b = a ¢ c ¡! b = c

Предупреждение!: элемент a может не иметь обратного по умножению, т.е стрелка чисто логически, а не результат вычислений.

Доказательство:

a ¢ b = a ¢ c =) a ¢ (b ¡ c) = 0

Так как a 6= 0 и кольцо не имеет делителя нуля, то b = c. Пример вычисления в кольце с делителями нуля(Z20):

17

4 ¢ 5 = 0

Проверить, что 4 ¢ x = 3 не имеет решений в Z20

4 ¢ x = 0

Решения в Z20 x = 0 x = 5 x = 10 x = 15

Евклидово кольцо - коммутативное.

Определение: Кольцо K называется Евклидовым, если каждому его элементу поставлено в соответствии натуральное число, называемое степенью этого элемента.(%)

½(a) 2 N ½ : Kn0 ! N ½(a ¢ b) ¸ %(a); b 6= 0

8a; b 2 K 9q; r 2 K a = b ¢ q + r ½(r) < ½(b)илиr = 0

Другими словами можно поделить с остатком.

Пример: Кольцо целых чисел.

½(a) = jaj

степень - модуль числа. Проверим:

½(a ¢ b) ¸ ½(a) ? ja ¢ bj = jaj ¢ jbj ¸ jaj a ¡ b > 0 a ¡ 2b > 0

: : :

a ¡ gb > 0 a ¡ (g + 1)b < 0

Определение: Кольцо многочленов над полем - Евклидово.

18

½(f(x)) = степеньf(x) ½(f ¢ g) = ½(f) + ½(g) ¸ ½(f)

Деление с остатком - обычный алгоритм деления уголком!

НОД

Определение: Пусть К-кольцо, a; b 2 K.

Элемент d называется наибольшим общим делителем, если:

1.d j a,d j b

2.s j a,s j b ) s j d

Самый большой в том смысле, что делится на все делители.

Теорема:В Евклидовых кольцах НОД существует.

Доказательство:

a = b ¢ q + r ½(r) < ½(b) b = r ¢ q1 + r1 ½(r1) < ½(r)

r = r1 ¢ q2 + r2 ½(r2) < ½(r1)

: : :

rn¡2 = rn¡1 ¢ qn + rn ½(rn) < ½(rn¡1) rn¡1 = rn ¢ qn+1 + 0

Так как степень - натуральное число, то она не может уменьшаться бесконечно.

Утверждение: Элемент rn является НОД элементов a и b.

Доказательство:

1) Проверим, что rn - делитель a и b. Просматриваем таблицу снизу вверх. Из последней строки следует, что

rn j rn¡1.

19

Из предпоследней строки следует, что

rn j rn¡2.

Тогда из 2 строчки получим, что

rn j b.

И из 1 строчки получим, что

rn j a.

2) Проверим, что rn наибольший. Пусть s j a и s j b.

Просматриваем таблицу сверху вниз. Из 1 строчки: s j r

Из 2 строчки: s j r1

Из предпоследней строчки: s j rn ) rn- наибольший.

Упражнение: Для n=3 выписать все элементы таблицы(их всего 5 штук).

Следствие: Пусть d-НОД a и b в Евклидовом кольце К. Тогда 9u; v 2 K такие, что

d = u ¢ a + v ¢ b.

Доказательство:

Просматриваем таблицу снизу вверх:

rn = rn¡2 ¡ rn¡1qn = rn¡2 ¡ (rn¡3 ¡ rn¡2qn¡1) ¢ qn

Подставляя последовательно выражения ri, мы получим выражение d через qi,a и b.

Упражнение: Для n=3 сделать это явным.

Определение: Элемент B кольца K - простой, если он делится только на ассоциированные с ним элементы и на простые(то есть на себя и на 1).

Определение: В кольце многочленов простые элементы принято называть неприводимыми многочленами.

Многочлен f(x)-неприводимый, если его нельзя представить в виде произведения многочленов меньшей степени.

Определение: Кольцо K-кольцо с разложением на простые множители, если для

8a 2 K есть представление вида:

a = U ¢ p1 : : : pn, где pi-простой, а U-обратимый.

Утверждение: Евклидовы кольца:

20