1031

1.32. Гармонический линейный осциллятор

Гармоническим линейным осциллятором называют колебательную

систему, прсдставляющую собой частицу с массой m и совершающую

стремится вернуть частицу в положение равновесия F = -kx. Теория

гармонического осциллятора имеет в физике большое значение, Т.К.

многие системы можно рассматривать как совокупность осцилляторов. Все молекулы имеют колебательные степени свободы, которые можно описать

с помощью теории гармонического осциллятора.

РИС.I.4.

Уравнение Шредингера для гармонического ОСЦИЛJUlТOра МОЖНО представить следующим образом:

,

d-'P + 2т (E-V)'P =0

ш' п'

Потенциальная энергия осциллятора будет:

d''P +~m(E_~kx2 'Р=О

ш' п' 2

Если решить это уравнение, то получаются следующие результаты:

Собственные волновые ФУНКЦИИ 'i' будут иметь следующий. вид:

22

http://mitht.ru/e-library

2. собственныe значения оператора il . Т.е. разрешеlПlЫе энергemчесmе

уровни:

Бо = 12 hvo

Б1 = 32 hvo =(1+ li~vo

Б2= 52 hvo = (2 + ,1,2~vo

Еу = (v +l;~vo

Очень важные результаты квантомехапического рассмотрениЯ' можно

обобш,ить следующим образом:

1. Гармонический осциллятор может иметь лишь определенные

разрешенные значения энергии, при этом расстояния между

ураН1IЯМИ энерrnи одинаковые.

2. Целые числа v являются колебательными квантовыми qислами

З. В нижнем квантовом состоянии при v=O энергия осциллятора не

обращается в нуль: Бо = 12 hvo; это пулевая энергия.

1.3.3. Жесткий ротатор

Систему, состоящую из ДВУХ масс ml и m2 , находяшихся друг от друга на фиксированном расстоянии r , и вращающихся вокруг общего

иентра масс, называют жестким ротатором. Момент инерции РОТЗlора

1~ m,f,2 + m 2 f22 ~ mf 2 где

координатах уравнение Шредингера запишется следующим образом:

\l''f' + 2т ЕЧ' = О

п'

23

http://mitht.ru/e-library

1

ПОСКОЛЬКО ДЛЯ жесткого ротатора m = 2 ' то данное уравнение МОЖНО

r

рассматривать, как уравнение Шредингера для одной частицы с массой 1

и r = 1, вращающеися вокруг начала координат по поверхности сферы:

,

Если теперь представить себе волновую ФУНКЦИЮ, как фyнкuию двух сферических координат (третья координата r= 1)

ЧI(.9,<р)= 8(.9)·ф(<р)

и взять оператор Лапласа в сферических координатах, то решение уравнения Шредингера даст возможные значения энергии~ которые может

принимать ротатор

п'

Е.рощ = -J(J + 1)

2!

где J =- 0,1,2,3 ... Целочисленность квантового числа J определяет дискретность энергии ротатора. ЭТОТ результат имеет существенное

значение при рассмотрении вращательного движения двухатомных

молекул.

ГЛАВА 2. Строение атомов

2.1. Атом водорода в квантовой механике

Итак, именно квантовая механика стала той современной физикой,

которая СМогла объяснить строение ВСЩсства и в первую очередь строения атома. Естественно начать рассмотрение строения атомов с простейшего

атомаатома водорода. Рассмотреть строение атома водорода в квантовой механике - это значит решить для него уравнение Шредингера.

Эта задача ДЛЯ двух частиц, так как атом состоит из протона и электрона. Но известно, '-по масса протона почти в 2000 раз больше массы

электрона. Поэтому можно считать, что протон закреПIIСН в центре атома, а

движение э-лектрона рассматривать в поле фиксированного ядра. Таким

24

http://mitht.ru/e-library

образом задачу МОЖIЮ CBeCm к одной частице, движущейся вокруг

НСПОДВИЖIIОro ядра под влиянием заряда ядра. но с приведенной массой

те +МП

т.е. в случае электрона и ядра приведснная масса мОжет бьпь принята за

массу электрона. Это xopoulec приближение.

Запишем уравнение ШредиНI ера для атома водорода

решить уравнение в 'Таком виде матемаТИчеСки Д~вопь.но сложно, l {о мы

все-таки проследим по этапам решение и обсудим результаты, которые получаются при ЭТОМ. Поскольку потенциальная Эffергия выражается как

- -е' r

удобнее перейти от декартовых координат к полярным, которые

выбираются следующим образом: '

соотношениями:

z=r·cos.9

х= r . sin 9 . cos <р

у'"r . sin .9 . sin q>

у = tg'f'

х

25

http://mitht.ru/e-library

Оператор Лапласа в полярных координатах

Мы не будим заниматься этим переводом, а сразу им воспользуемся,

Уравнение Пlредингера в полярных координатах будет выглядеть так:

Чтобы решить это уравнение нужно разделить переменны.. д'1Я этого с}{ачала нужно 'f'выразить как ФУНКЦИЮ полярных координат и найти частные производные по всем переменным (полярным координатам)

26

http://mitht.ru/e-library

,.2 sin 2 f}

Умножим равенство на RВф

Одно из слагаемых зависит только от Ф. перенесем его в правую часть

sin'8 ~(г' CR)+ sin8 ~(Sin9ae)+ 81r'mr'sin'8(E+ е')=_ 1 д'ф

R дг дг е д9 д8 h' r Ф ctp'

Теперь в левой части все величины зависят от r И 8, а в правой только от

'р. Если при всех значениях перемеиных обе части уравнения равны между

собой, это значит они равны постоянной величине. Обозначим ее т; .

Тогда

Пока оставим зто в таком виде, и разделим еще две переменные. Левая

часть уравнения тоже равна т;, разделим ее на sin 2 Э

Та же самая ситуация. Мы обозначим эти час111 как с = 1(1 + 1)

27

http://mitht.ru/e-library

Более кратко в общем виде можно записать:

(1): /(rp) = m/'

(2): /(.9) = z(z + J)

(3): f(r)=I(i+I)

Итак, мы разделили переменные и получили три уравнения, каждое из которых зависит только от одной переменной величины.

Если учесть, что q.r должна обладать свойствами однозначной, линейной и

конечной функции и решить эти уравнения, то мы получим следующие

фундаментальные результаты. Начнем с З-го уравнения f(r) , или

радиальной части уравнения Шредингера. Решение этого уравнения дает значение энергии, иЛИ собственное значение оператора Гамильтона:

Е = _ 27r'me'

пропорциопальны квадрату целых чисел ~ другими словами - энергия

может принимать только определенные дискретные значения - или

квантуеmся. n называется главными квантовым числом (положительные значения Е нас не интересуют, Т.К. ЭТО значит, что электрон не связан с

ядром, Т.е. существует вне атома).

Энергия электрона 8 атоме водорода, найденная из уравнения Шредингера,

совпадает с веЛИЧ}iНОЙ, которую нашел Бор, введя свои пocryлаты о

квантовании энергии в законы классической физики. это уравнение для Е

описывает спектр afoMa водорода

где R - постоянная Ридберга (R ~I,0971 o'CM-')

Энергия 'Электрона u основном состоянии (n = \)

е'

Е, = --'--

2ао

h' п'

где ао - Боровский радиус, ао =: 41t2me2 - mе2

28

http://mitht.ru/e-library

1

В атомНЫХ единицах Е\ = - 2 1I

(Н - атОмная единица энергии - «Хартрю~~ 1н=27,2 еВ).

Е = 13.6 сВ - это потенциал ионизации атома вол.орода (отрыв электрона 01' атома водорода). По мере роста n - расстояние между уравнениями энергии уменьшается и при n --)о 00, м -t О. Это значит, что когда электрон

уходит из атома, условие квантования энергии снимается.

Из радиальной части уравнения Шредингера вьпекает и ограничение

целого числа 1 : п? 1+ 1 ИЛИ 1 $ n -1. Само 1 получается из уравнения

Л.9) = 1(1 + 1)

Его решение привадит к так называемому побочному Шlи орбитальному

квантовому числу 1, которое может принимать цслочисленныe значения от

О: 1=0,1,2 ... ДО (П-l), всего n значений. Это квантовое число

характеризует орбитальный момент количества движения (угловой) и определяет форму электронного облака. Величина момента количества движения связана с 1 следующим образом:

При 1== О. вектор момента количества движения тоже равен нулю н электронное облако обладает шаровой симметрией.

IIри 1=0 состояние электрона называется s- состоянием

1= 1 состояние электрона называется р- состоянием

1=2 состояние электрона называется d- состоянием

В уравненисf(3) входит еще одно целое число тl -магнитное квантовое

число, и из этого уравнения вытекает ограничение m/, Т.е. ВЫВОД, ЧТО

(т, <; /)

Само же М311-IИТНОС квантовое число вьггекаст и·j первого уравнения

Магнитное квантовое число определяет проекцию вектора момента

количества Движения на выбранную ОСЬ (обычно ось z) В маrnитном поле (отсюда название «магнитное квантовое число))). Проекция вектора

момента количества движения квантуется и величина ее

h

М. "'m,~=тJI..

. 2"

При Данном 1 ml проходит все зна~ения от +i ДО -1, всего (21 + 1)

значений.

29

http://mitht.ru/e-library

Электрон. у которого есть угловой момент количества движения,

обладает магнитным моментом Рl (т.к. его можно рассматривать как

замкнyrый электрический ток).

,

J.l, = e·v·w •

у- частота движения электрона вокруг ядра,

а механический момент М

единицах

Р. ~ 0,92·10-27 ДжЛ'с~ 0,92 ·10-20 эргlГс

f.lь - .магнетон Бора (магнетон Бора еще обозначают Р,)

И обычно орбитальный магнитный момент электрона выражают в

единицах

если 1 = О, Р/ = О, Т.С. ДЛЯ S -состояния 11, о;; О .

Итак, полное решение уравнения Шредингера ДЛЯ атома водорода

приВОДИТ к 3 квантовым числам и их значениям, дает возможные энергетические уровни электрона и определяет вид волновых функций, описывающих состояние электрона в общем виде

't'= Фm, (<рJJm,,1 (э.)

Забежим немного вперед и заметим, что ДЛЯ полного описания

СОСТОЯНИЯ электрона в атоме необходимо еще одно квантовое число -

30

http://mitht.ru/e-library

спиновое, его нет в уравнении Шредингера н, оно появляется лишь в

квантовой механике Дирака. Это квантовое число связывается со

свойством электрона - наличием у него собственного механического и

магнитного момента, и представить себе это можно, если принять, что

электрон врашается вокруг собственной оси. Снин - как СВОЙСТВО электрона, было введено Уленбеком И Гаудсмитом при объяснении

расщеплений в атомных спектрах в магнитно'1 поле и является очень

важной характеристикой состояния электрона. Спиновое квантовое число

s = 12'которое часто называется просто спином

Величина собственного момента количества движения электрона

равна

,Ms = s(s + i)!i .

где S - 12'проею{ЮI. вектора собственного момеlП8 количества

движения на ось орбитального момента квантуется и может принимать

только два значения

м, =m, ·h .

l"де т, = + /2112 - магнитное спиновое квантовое число.

Электрон обладает и СПННОВЫМ магнитным моментом

~s с=gS(S+l)·~Б.

где g - гиром:аПlИтное отношение или фактор Ланде для орбитального J.i, g = 1, для СПИНОВОГО Jl,\ g = 2).

Итак, состояние электрона в атоме полностью определяется четырьмя

квантовыми числами

Если n =-1, то 1= О и т, = О - Э1 О S - состояние электрона Если n=2,ТО /00:0,1

т е. возможны 2 состояния s - состояние и р - состояние

Для р - состояния т, может принимать три значения 1; О; -l, т.е.

р- облако может в пространс-rве иметь 3 различных ориентации Вектор

момента количества движения имеет 3 направления в ма! витном поле

(рис.2.J ).

Итак, ДЛЯ одного и того же n мы JThIeeM различные состояния

электрона, но энер"ия этих состояний одна и та же. Такое явление

называется выIождепием.. Вырожденным энергетичеСКJ{М уровнем

называется такой уровень, которому соответствует более ОДНОЙ волновой функции. (из свойств опсраторов).Для атома водорода вес уровни, кроме

самого низкого, являются вырожденными (В многоэлектронном атоме

3 1

http://mitht.ru/e-library