фхтс гвелесиани
.pdf
На рис. 2.2 изображены траектории движения электрона и дырки, имеющие форму гиперболы.
Чем больше тепловая скорость электронов (дырок), тем меньшее время они взаимодействуют с ионами примесей, меньше отклонение от прямолинейной траектории и следовательно возрастают временами релаксации рассеяния и подвижности электронов и дырок.
Максимальное расстояние между электроном (дыркой) и ионом, при котором электрон или дырка оказываются в поле иона и их траектория движения изменяется, по аналогии с рассеянием α-частиц на ядрах атомов тяжелых металлов,
называют прицельным расстоянием (b). Связь между прицельным расстоянием и углом рассеяния можно установить из следующего соотношения:
|
|
̅ |
|
|
|
где |
– эффективная масса электрона или дырки; |
||||
|
|
|
|
̅ – тепловая скорость |
|
движения электрона или дырки на длине свободного пробега:
̅ ( )
С некоторым приближением время релаксации можно считать равным времени свободного пробега электронов
(дырок):
̅
̅
где – длина свободного пробега электрона (дырки).
41
http://www.mitht.ru/e-library
Длина свободного пробега растет пропорционально ̅, а т.к. ̅ пропорциональна ⁄ , то с ростом температуры при рассеянии на ионах примеси время релаксации, а
следовательно и подвижность, растут как ⁄ |
: |
|
||||||||||||||
|
( ) |
|
|
⁄ |
( |
) |
|
|
|
|
⁄ |
|
(2.13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
и |
|
– константы, |
|
|
зависящие |
от параметров |
|||||||||
полупроводника и примесей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
√ |
⁄ |
(2.14) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где – количество ионов примеси в единице объема кристалла.
Формулы (2.13, 2.14) позволяют прогнозировать величину подвижности электронов (дырок) в области температур, где преобладает рассеяние на ионах примеси.
2.2.2. Рассеяние носителей заряда на тепловых колебаниях решетки (фононах)
Столкновения носителей заряда с колеблющимися атомами, колебания которых можно рассматривать как распространение упругих тепловых волн, приводят к уменьшению их длины свободного пробега и, как следствие к уменьшению времени релаксации рассеяния и подвижности. При взаимодействии электрона (дырки) с колебаниями решетки электрон может как передать часть своей энергии кристаллической решетке, так и получить от нее часть энергии.
42
http://www.mitht.ru/e-library
Увеличение или уменьшение энергии колебаний атомов решетки на один квант рассматривается как появление (генерация) или исчезновение
(поглощение) квазичастицы – фонона. Т.о. можно считать, что в кристалле есть фононный газ.
За вычетом нулевых колебаний при |
К, энергия |
колебаний решетки складывается из порций |
. |
Таким образом, рассеяние электронов (дырок) на тепловых колебаниях решетки можно рассматривать и как результат их столкновения с фононами.
Фононы обладают небольшой энергией (при комнатной температуре порядка сотых долей электрон-
вольта), но значительным импульсом |
, который |
|||
может изменяться также, как и импульс электрона |
в |
|||
пределах зоны Бриллюэна от 0 до |
|
|
( и – |
волновые |
|
||||
векторы фонона и соответственно электрона).
В кристаллах с одним атомом в элементарной ячейке возбуждаются только акустические колебания (102÷103) Гц.
Рис.2.3. Акустические и оптические ветви колебания
В кристаллах с более чем одним атомом в элементарной ячейке (например Si, Ge, соединения AIIIBV и
43
http://www.mitht.ru/e-library
др.) кроме акустических возбуждаются и колебания с максимально возможной частотой ≈ 1013 Гц, которые называются оптическими колебаниями.
Вакустической ветви колеблющиеся атомы движутся синхронно (колебания в фазе).
Воптической ветви атомы внутри элементарной ячейки колеблются в противофазе, но центр тяжести пары неподвижен.
Если в элементарной ячейке колеблются ионы разного знака (как это в полупроводниковых соединениях), то колебания в противофазе приводят к появлению переменного электрического дипольного момента. Такие колебания называются полярными оптическими.
С ростом температуры возрастает концентрация фононов и их энергия, соответственно увеличивается вероятность столкновений электронов с фононами и при некоторой температуре рассеяние на фононах оказывается преобладающим, а рассеянием на ионах примеси можно пренебречь.
Чаще всего рассеяние носителей заряда происходит на
длинноволновых фононах.
При столкновении носителей заряда с фононами происходит обмен энергией и импульсом между ними. Электроны (дырки) почти не изменяют свою энергию, но значительно изменяется их импульс, что приводит к изменению траектории движения.
Согласно законам сохранения энергии и импульса:
Согласно такому механизму рассеяния при столкновении фонон или поглощается ( ̅ ), при этом электрон (дырка) получают часть энергии и импульса от
44
http://www.mitht.ru/e-library
фонона, или испускается ( ̅ ), при этом электрон передает часть своей энергии и импульса кристаллической решетке. ̅ – средняя концентрация фононов в кристалле.
Такой механизм рассеяния называется однофононным (число фононов при столкновении уменьшается или увеличивается на единицу). Менее вероятен, но возможен многофононный механизм рассеяния.
2.2.3. Рассеяние на акустических фононах
Этот механизм рассеяния преобладает в простых полупроводниках (Si, Ge) и в полупроводниковых соединениях с небольшой долей ионной связи.
Согласно теории, время релаксации рассеяния на акустических продольных фононах находят в виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
(2.15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. энергия электрона |
|
|
|
|
|
|
, то из (2.15) следует, что: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ) |
|
|
⁄ |
|
|
|
( ) |
|
⁄ , |
(2.16) |
||
где |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно этим зависимостям |
и |
уменьшаются с |
||||||||||
ростом температуры как |
⁄ |
и рассеяние становится более |
||||||||||
эффективным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– константа для данного кристалла, зависящая только от параметров полупроводника:
45
http://www.mitht.ru/e-library
|
|
|
|
|
⁄ |
(2.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
||||
где – масса атома, – период решетки, |
– скорость звука |
|||||
в кристалле, – константа, характеризующая интенсивность взаимодействия носителей заряда с кристаллической решеткой (имеет размерность энергии). Отношение ⁄ можно представить как плотность вещества , тогда
⁄.
Вряду алмаз-кремний-германий и соединений А3В5 подвижность носителей заряда увеличивается с ростом атомной массы и плотности вещества.
Увеличение плотности вещества ведет к уменьшению амплитуды тепловых колебаний атомов, а в соединениях А3В5
втом же направлении происходит ослабление ионной связи, поэтому у соединения InSb самая высокая подвижность.
2.2.4.Рассеяние на оптических фононах
Преобладает в полупроводниковых соединениях с высокой долей ионной связи. Это, в основном, соединения типа А2В6, а из соединений А3В5 это AlAs, AlSb, AlP, GaN.
С увеличением ионности растет роль полярных оптических колебаний, которые рассеивают носители заряда значительно сильнее, чем акустические колебания.
Поскольку смещение ионов разного знака в ячейке с достаточно большим эффективным зарядом происходит в противофазе, то они создают электрические поля высокой частоты, которые перемещаются по кристаллу в виде плоских волн. Взаимодействие электронов (дырок) с этими полями и является причиной их рассеяния.
46
http://www.mitht.ru/e-library
Чем больше эффективные заряды ионов соединений, тем сильнее электрические поля, создаваемые ионами, рассеивают носители заряда, поэтому подвижность в соединениях А2В6 ниже большинства соединений А3В5.
Т.к. частота длинноволновых оптических фононов слабо зависит от волнового вектора (рис.2.3), то при столкновении с оптическим фононом энергия электрона
изменяется почти на одинаковую величину, равную |
. |
Особенностью этого механизма рассеяния |
является |
разная зависимость времени релаксации от температуры в областях температур ниже и выше температуры Дебая .
Поэтому зависимость времени релаксации от энергии и температуры рассматривается раздельно в области
низких ( |
) и высоких ( |
) температур. |
|
В области низких температур |
и энергия |
||
электронов значительно меньше энергии оптических фононов ̅ , поэтому при низких температурах электроны могут только поглощать оптические фононы, резко
увеличивая свою энергию. Но в таком состоянии они пребывают очень малое время и сразу же отдают энергию решетке, в результате чего испускается фонон с такой же энергией. Фактически рассеяние электронов на оптических фононах при состоит в обмене фононами одинаковой энергии, при этом изменяется импульс (траектория) электрона, а его энергия остается неизменной.
Таким образом, при |
( ) |
|
. |
||
Расчет времени релаксации, с учетом того, что при |
|||||
низких |
температурах средняя |
концентрация фононов |
|||
увеличивается с ростом температуры как |
⁄ |
, дает: |
|||
|
|||||
( |
) |
⁄ |
( ) |
|
(2.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
http://www.mitht.ru/e-library
где |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
⁄ |
(2.19) |
|
( |
) ⁄ |
|
|||||
|
|
||||||
Таким образом, в области низких температур время релаксации не зависит от энергии электронов и экспоненциально уменьшается с ростом температуры.
В области высоких температур ( |
), т.к. энергия |
оптического фонона много меньше |
энергии электрона |
̅̅̅̅, то при столкновении с оптическим фононом энергия электрона изменяется и время релаксации зависит от энергии как ⁄ :
( )
где
√
⁄
⁄
(2.20)
(2.21)
Т.к. энергия электрона |
̅̅̅̅, то из (2.20) следует: |
||||
( ) |
⁄ |
( |
) |
⁄ |
(2.22) |
|
|
||||
Зависимости |
|
( ) для разных механизмов рассеяния |
|||
носителей зарядов можно представить в виде общей формулы:
|
|
( |
) |
|
|
|
(2.23) |
|
|
|
|
|
|||
где |
– |
показатель |
рассеяния: |
– для акустических |
|||
фононов; |
⁄ – |
для оптических фононов при |
; |
||||
|
– для оптических фононов при |
; |
– для |
||||
ионов примесей и заряженных вакансий. |
|
|
|||||
|
|
|
48 |
|
|
|
|
http://www.mitht.ru/e-library
2.2.5. Cмешанное рассеяние носителей заряда
Обычно присутствуют различные по природе центры рассеяния (ионы примеси, фононы, вакансии, нейтральные
атомы, дислокации и др.). |
|
|
||
По |
мере |
изменения |
энергии, |
температуры, |
концентрации примесей и дефектов, роль одних механизмов рассеяния уменьшается, других возрастает. Так, рассеяние на нейтральных примесях и дислокациях следует учитывать только при очень низких температурах, а с повышением температуры преобладает сначала рассеяние на ионах примесей, а затем на фононах.
Если считать, что все механизмы рассеяния независимы, то полная вероятность рассеяния равна сумме
парциальных вероятностей рассеяния на каждом типе рассеивающих центров:
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
(∑ |
|
) |
(2.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
– |
суммарное время |
релаксации всех |
механизмов |
|||||||
рассеяния; |
|
– парциальное время релаксации каждого типа |
||||||||||
механизма рассеяния. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Таким |
|
образом, |
в |
определенных |
условиях, |
||||||
доминировать будет тот механизм рассеяния, у которого наименьшее время релаксации.
Т.к. подвижность носителей заряда прямо пропорциональна времени релаксации, то суммарная подвижность:
(∑ )
49
http://www.mitht.ru/e-library
Исследование температурной зависимости суммарной подвижности является важным для практических целей.
Исходя из зависимостей (2.13 и 2.16) построим зависимости подвижности от температуры для двух механизмов рассеяния:
- для рассеяния на ионах примеси:
( |
) |
|
⁄ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
- для рассеяния на акустических фононах: |
|||||||
( |
) |
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для построения |
|
графика |
|
( ) спрямим обе |
|||
зависимости путем логарифмирования: |
|
|
|||||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При низких температурах преобладает рассеяние на ионах примеси и подвижность растет с ростом температуры как ⁄ . Это объясняется тем, что с ростом температуры количество рассеивающих центров (ионов примеси) остается неизменной, а энергия и скорость носителей заряда увеличиваются, что уменьшает время взаимодействия носителей заряда с полем ионов.
50
http://www.mitht.ru/e-library