Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1330 вузов, 5516 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казахский национальный университет им. аль-Фараби
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

теорет.механика

.pdf
Скачиваний:
141
Добавлен:
24.03.2015
Размер:
1 Мб
Скачать
☆

24 – сурет

Бөлшектің траекториясы ОА түзуіне қарағанда симметриялы. ОА – орбитаның центрге жақын нүктесі rmin .

Орбитаның асимптоталары берілген ОА түзуін бірдей бұрышпен қиып өтеді. Ол бұрышты ϕ0 деп белгілейміз.

Ал χ бөлшектің күш центрінен ауытқу бұрышы

ϕ0 бұрышын табамыз:

χ =

 

π − 2ϕ0

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

M

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ0 = ∫

 

 

 

 

r 2

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rmin

 

2m(E − U (r )) −

M

2

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rmin – орбитаның күш центріне ең жақын қашықтығы.

E жəне M – тұрақтыларының орнына

 

 

 

бөлшектің шексіздіктегі

жылдамдығы υ∞ жəне ρ – дəлдеу арақашықтығын енгіземіз.

Егерде күш өрісі жоқ болғанда, бөлшек центріндегі ρ арақашықтығында

өте шығушы еді.

mυ 2 E = ∞

2

M = m[r ×V ]= mVr sin(V∞ × r )eM

M = mV r sin(V × r )eM = mV∞ ρeM

ρ

71

M = mρυ∞

r sin(r υ ) = ρ

Мұндағы ρ – дəлдеу арақашықтығы болып табылады.

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mρυ∞

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ0

= ∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mυ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 2

ρ 2υ

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

rmin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

∞

− U (r )

 

−

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mρυ∞

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m2υ

2

 

 

 

 

 

 

(r )−

 

m2

ρ

2υ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

∞ − 2mU

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

mρυ∞

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

ρ

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

= ∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mυ∞

 

 

−

2mU (r )

−

m 2 ρ 2υ∞2

 

 

 

1 −

 

ρ 2

−

2U

 

rmin

1

 

 

 

 

rmin

 

 

 

 

 

m

2 2

 

 

2 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

υ∞

 

 

 

 

 

m υ∞ r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mυ∞

 

(3)

(4)

Кəдімгі жағдайда тек бір ғана бөлшектің күш центрінен ауытқуын ғана емес, көбінесе шашыратқыш центрге бірдей v∞ жылдамдықпен келіп түсетін бірдей бөлшектердің ағынының шашырауын қарастырады. Бұл бөлшектердің ағынындағы əрбір бөлшектің өзінің дəлдеу арақашықтығы жəне сəйкесінше χ шашырау бұрыштары болады. χ жəне χ + dχ интервалы бұрыштарының шашырауы интервалында жатқан бірлік уақыт ішіндегі шашыраған бөлшектердің саны dN болсын. Бұл сан бөлшектердің тығыздығына тəуелді болғандықтан, шашырау процесін сипаттауға қолайсыз. Сондықтан жаңадан dσ шамасын енгіземіз:

dσ = dN

(5)

n

n – берілген уақыт бірлігіндегі бірлік ауданнан өтетін бөлшектер саны. Өлшем бірлігі ауданның өлшемімен бірдей жəне шашырауды эффективті имасы деп аталады.

Шашырау бұрышы χ жəне дəлдеу арақашықтығы ρ арасындағы байланысты табамыз. Яғни бөлшектің χ бұрышқа шашырауы, ол бөлшектің қандай дəлдеу арақашықтық пен ρ -мен келгеніне байланысты. ρ дəлдеу арақашықтығы өссе, бөлшектің шашырау бұрышы азаяды. Яғни χ шашырау

72

бұрышы ρ – дəлдеу арақашықтығының кемімелі монотонды функциясы болып табылады.

 

 

 

χ = f (ρ )

 

(6)

 

 

 

ρ = g(θ )

 

(7)

 

 

 

 

 

 

Осындай жағдайда

χ жəне

χ + dχ

бұрыштық интервалында ρ (χ )

жəне

ρ (χ )+ dρ(χ )

дəлдеу

арақашықтығы

интервалындағы

бөлшектер

ғана

шашырайды.

Бұл бөлшектердің

саны

радиусы ρ жəне

ρ + dρ болатын

шеңберлердің аралығындағы дөңгелектің ауданын n -ге көбейткенге тең. Шашыраудың эффективті қимасы:

 

dσ = 2πρdρ

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dN = 2πρdρ × n

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dσ –

басқаша жазамыз, түрлендіреміз:

 

 

dσ = 2πρ(χ )

 

 

dρ (χ )

 

dχ

(10)

 

 

 

 

dχ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dχ –

денелік бұрыштар арқылы жазамыз:

 

 

dO0 = 2π sin χdχ

(11)

 

dσ =

ρ(χ )

 

 

dρ (χ )

 

dO

(12)

 

 

 

 

 

sin χ

dχ

 

 

 

 

Резерфорд формуласы

Зарядталған бөлшектің Кулон өрісінде шашырауын қарастырамыз.

 

 

 

 

M

+

mα

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

0 = arccos

 

 

r M

 

= ϕ

 

r =∞

− ϕ

 

= ϕ

 

r =∞

= arccos

 

 

M

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2mE +

m 2α 2

 

rmin

2mE +

m2α 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2

 

rmin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mα

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

= arccos

 

 

 

mρυ∞

 

 

 

= arccos

 

 

mρυ∞2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mυ∞2

 

m2α 2

 

 

 

 

α

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

+

 

 

 

 

1 +

 

 

 

 

 

 

2 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

m ρ υ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρmυ∞

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

73

 

 

 

 

α

 

cosϕ0 =

 

 

mρυ∞2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

2

 

 

 

 

1 +

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρmυ∞

 

 

cosϕ

 

1 +

 

 

 

α

 

 

 

 

2

=

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mρυ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρmυ∞

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

2

 

 

 

 

 

α 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 ϕ

 

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

ρ υ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

ρmυ∞

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

 

cos2 ϕ + cos 2 ϕ

 

 

α

 

 

 

 

2

=

 

 

 

α 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

ρ υ∞

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

ρmυ∞

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

α

 

 

2

(1 − cos2 ϕ

 

)

 

 

 

 

α

 

 

 

2

 

 

cos2 ϕ

0

=

 

 

 

 

 

0

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2 ϕ

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρmυ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρmυ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

2

 

= ctg 2ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρmυ∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ 2

=

 

α 2

 

 

tg 2ϕ0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 2υ∞4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

немесе

ϕ0 = π − χ

2

(18) енгізіп:

ρ

2

=

α 2

 

2

 

π − χ

 

 

tg

 

 

 

 

m2υ∞2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

α 2 ctg 2

χ

 

ρ 2 =

2

 

 

 

m2υ∞2

 

 

 

 

 

орнына қоямыз жəне χ бойынша дифференциалдаймыз:

74

(14)

(15)

(16)

(17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dσ =

ρ (χ )

 

 

dρ

 

dO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinχ

 

dχ

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

′

 

 

= −

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αctg

 

χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ =

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mυ∞2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dρ

= − 1

α

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dχ

 

 

 

 

 

 

2

 

mυ 2

 

 

 

 

 

 

2 χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αctg

χ

 

× α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

 

 

χ

 

χ

 

dσ =

 

2

 

 

 

dO0

 

 

 

 

 

 

 

 

=

sin χ = sin2

= 2 cos

sin

=

mυ 2

sin χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 2

 

 

∞

 

 

 

 

 

mυ∞ sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α 2 cos

χ

dO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dO0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4m2υ∞2 cos

 

χ

 

 

 

 

 

 

χ

 

 

4m2υ∞4

 

 

 

χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dσ =

α

2

 

2

 

 

 

dO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2mυ∞

 

sin 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18)

(19)

(20)

(21)

Осы формула Резерфорд формуласы деп аталады.

Мұндағы эффективті қима α -ның таңбасына тəуелді емес. Сондықтан алынған нəтиже Кулондық тартылыс не тебіліспен бірдей болады.

(24) эффективті қима формуласын инерция центрі тыныштықтағы бөлшек үшін алдық. Енді χ = π - 2θ 2 деп алып, яғни бастапқыда қозғалыста болған бөлшек үшін эффективті қима теңдеуін лабораториялық санақ жүйесінде жазатын болсақ:

 

 

 

=

 

m2 sin χ

tgθ

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2 cos χ

 

 

 

 

 

2θ 2

= π − χ

 

 

 

 

 

χ = π - 2θ2

 

 

 

sin π − x = cos

x

 

 

2

 

 

 

 

2

 

75

 

 

 

α

 

2

 

2π sin χdχ

 

 

 

 

 

α

 

2

 

4π sin

χ

cos

χ

dж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dσ

2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

 

 

 

 

2mv∞

 

 

 

sin 4

 

 

 

 

 

2mυ∞

 

 

 

sin 4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

2 π cos π − 2θ 2

d (π − 2θ 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mυ∞

 

 

 

 

 

 

sin 3

(π − 2θ 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

2

 

2π sinθ

dθ

2

 

 

 

α

 

 

2

dO

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

θ 2

 

 

 

 

 

 

cos

θ 2

 

 

 

mυ∞

 

 

 

 

 

 

 

mυ

∞

 

 

Енді 1) m2 >> m1

 

жəне 2) m1

= m2

 

жағдайларын қарастырамыз. Мұндағы m1 -

шашырайтын бөлшек m2 -тоқтап тұрған бөлшек болып табылады. Егер χ ≈ θ1 ; ал m ≈ m1 болса

 

 

 

 

 

m =

 

 

m1m2

 

 

 

=

m1m2

 

= m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

2

 

dO

 

 

 

 

 

 

 

 

α

2

dO

 

 

 

dσ 1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(22)

2m υ 2

 

 

 

 

 

 

4 θ1

 

 

4E

 

 

 

4 θ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1∞

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) егер m1 = m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m =

 

m m

2

 

 

 

=

 

m 2

 

 

=

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ = 2θ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dσ =

 

 

α

 

2

 

 

cosθ

dθ

1

 

=

 

α

 

 

2

 

 

cosθ

1

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mυ 2

 

 

 

 

 

 

sin 3 θ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

sin

3 θ

 

 

1

(23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Бүкіл шашыраған бөлшектердің эффективті қимасын

dσ1 жəне dσ 2 қосу

арқылы табамыз:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dσ =

 

 

sin4 θ

+ cos4 θ cosθdO .

 

 

(24)

E1

 

 

 

 

Бөлшектер соқтығысқанда жоғалтқан энергиялары арқылы негізгі формула түрлендірсек, инерциалды санақ жүйесіндегі шашырау бұрышы арқылы жазылған жылдамдығын аламыз:

76

 

 

 

 

′

=

 

2m1

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ∞ sin .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ2

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ m2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ал жоғалтқан энергиясы

m υ ′2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

χ

 

 

 

 

 

 

 

 

ε =

 

=

2m

2

 

2m2υ∞2 sin 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε =

2m2

υ∞2 sin2

χ

.

 

 

 

 

(25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Осы функциядан

sin

χ

-ны

 

ε

 

арқылы жазсақ.

Оны негізгі эффективті

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

қимаға арналған теңдеуге қойсақ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dσ = 2π

 

α 2

 

 

dε

.

 

 

 

 

(26)

 

 

 

 

 

m υ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эффективті қима

ε ф-сы

ретінде

жаздық. Ал

ε -нөлден

ε max

=

2m2

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

υ∞2

болады.

Б а қ ы л а у с ұ р а қ т ар ы

1.Дəлдеу арақашықтығы дегеніміз не?

2.Шашырау бұрыштары.

3.Шашыраудың эффективті қимасы.

4.Резерфорд формуласы.

5.Шашыраудың m2 >> m1 жəне m1 = m2 жағдайлары.

77

V АЗ ТЕРБЕЛІСТЕР

16 Бір өлшемді еркін тербелістер

Механикалық жүйелер табиғатта көбінесе аз тербелістер жасайды. Жүйе өзінің орнықты тепе-теңдік күйінің маңында аз ауытқу жасап тербелсе (периодты түрде қозғалса), оны аз тербелістер жасайды деп айтамыз. Бұдан əрі біз жүйенің еркіндік дəрежесі бірге тең жағдайларды қарастырамыз.

U (q) потенциалдық энергиясының минимум мəнінде жүйе орнықты тепе-

теңдік күйде болады жəне осы күйден ауытқығанда F = − dU – жүйені бастапқы

dq

қалпына келтіруге ықпал ететін күш пайда болады. Потенциалдық энергияның минимум мəніне сəйкес келетін жүйенің координатын q0 – деп белгілейік.

 

 

 

 

25 –

сурет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (q) = U (q0 )+

dU

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (q) функциясын q0 нүктесінің маңында Тейлор қатарына жіктеуге

болады:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U (q) = U (q0 ) +

dU

 

q=q0

× (q

- q0 )+

1 d 2U

 

q=q0

× (q

- q0 )

2

+ ×××

(1)

 

 

dq

 

2

 

 

dq

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санақ басы ретінде

U (q0 ) = 0

нүктесін аламыз, яғни потенциалдық

энергияның минимум мəнін осы нүктеге сəйкес аламыз:

 

 

 

 

 

 

 

 

U

min

U

′

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

78

Егер q = q0 болса F = 0 болады, яғни жүйе тепе-теңдікте болады. Ендеше

 

 

U (q) =

1 d 2U

 

 

(q - q0 )

2

 

 

1

k(q - q0 )

2

 

kx 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q=q0 ×

 

+ ××× =

 

 

+ ××× =

 

(2)

 

 

2 dq

2

 

2

 

2

Мұнда

d 2U

 

–

потенциалдық энергияның екінші ретті туындысының q0

dq2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нүктесіндегі мəнін

k

деп жəне

q - q0

= x

деп белгілеп алдық. Бұл тербелетін

бөлшек координатасының тепе-теңдік қалыптан ауытқу мəні болып табылады. Сонымен

U (x) =

kx2

(3)

 

2

 

Яғни жүйе аз тербеліс жасаған болса, оның потенциалдық энергиясы (3)

тең.

Еркіндік дəрежесі бірге тең жүйенің кинетикалық энергиясы, жалпы жағдайда мынаған тең:

T =

1

ɺ2

=

1

ɺ2

(4)

 

 

2

a(q)q

2

a(q)x

 

 

 

 

 

Тербеліс аз болғандықтан a(q) » a(q0 ) = const = m

деп белгілеу енгіземіз.

Мұндағы m массамен жалпылама координатты x декарт координатасы деп алғанда ғана сəйкес келеді.

qɺ = xɺ; себебі q - q0 = x .

Сонымен

T =

mxɺ2

(5)

 

2

 

Бір өлшемді аз тербеліс жасайтын жүйенің Лагранж функциясы:

L =

mxɺ2

-

kx 2

(6)

 

 

2

2

 

Осы функцияға сəйкес қозғалыс теңдеуін қолданып

d ∂L - ∂L =

0

dt xɺ ¶x

79

мына теңдеуді аламыз

mɺxɺ+ kx = 0 ;

(7)

 

k

= ω 2

(8)

 

 

 

m

 

деп белгілейміз:

ɺɺ

+ ω

2

x = 0

(9)

x

 

Бұл теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:

 

x = ceλt

 

 

 

(10)

(9) сипаттаушы теңдеу λ2 + ω 2

= 0 . Осыдан λ = ±iω болса

 

 

x = ce±iωt =

 

eiωt +

 

 

e−iωt

(11)

 

c

c

 

1

2

 

 

eiωt = cos ωt + i sin ωt – Эйлер

формуласын

 

қолданып, тұрақтыларды

қайта

белгілесек:

 

 

 

 

 

 

 

x = c1 cosωt + c2 sin ωt

Тұрақтыларды келесі жолмен түрлендірсек:

c1 = a cosα ; c2 = −a sinα ,

шешімді ықшам түрде жазуға болады

x = a cosα cosωt − a sin α sin ωt = a cos(ωt + α )

 

 

 

 

 

 

x = a cos(ωt + α )

 

 

 

 

(12)

Мұндағы a =

 

 

–

тербеліс амплитудасы жəне −

c2

= tgα – тербеліс

c2

+ c2

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

фазасының тангенсі болып табылады. Ал ω –

тербелістің циклдік жиілігі.

Сонымен жүйе орнықты тепе-теңдік күйінің маңында гармониялық

тербеліс жасайды. Оның толық энергиясы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E = T + U =

m

ɺ2

+

k

 

2

=

m

ɺ2

+ ω

2

 

2

) =

mω 2 a 2

 

 

 

x

 

 

 

x

 

(13)

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

80

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности