Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Mashkovsky_Lesnaya_biometria

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

получим выражение для вычисления дисперсии коэффициента регрессии a1:

sa	= s	2			C4			.	(167)
2		2			C4
1			C	2	C	4	−C 2
				2		4	3

Используя (144) и с учетом (167), а также того, что стандартное отклонение есть квадратный корень из дисперсии, t-критерий для a2 можно вычислить по формуле

	a1 − a1,0			= (a1						C			C				−C2	1/ 2
t =												2		2		4	3
												2				4	3
		sa1				− a1,0 )							s		C4
		sa1											s		C4
или
	a			C		C				−C2	1/ 2
	1				2				4	3
t =			= a1		2		2		4	3				,				(168)
t =	sa1		= a1			s	2	C4						,				(168)
	sa1					s		C4

если проверяется гипотеза о равенстве коэффициента регрессии a1 нулю.

Теперь найдем стандартное отклонение sa j для коэффициента

a0. Для этого выразим коэффициент a1 из первого уравнения системы

(153)

	n						n
a =	∑yi	− a		n	− a		∑x2,i
	i=1			n		2	i=1
	n			n			n
1	n		0	n			n
	∑x1,i			∑x1,i			∑x1,i
	i=1			i=1			i=1

и подставим полученное выражение во второе и третье уравнения данной системы:

182

∑yi

∑x2,i

∑x1,i +

i=1

− a0

− a2

i=1

∑x12,i

i=1

∑x1,i

i=1

+ a2 ∑x2,i x1,i = ∑yi

x1,i ;

i=1

∑yi

∑x2,i

i=1

∑x2,i +

− a0

− a2

∑x1,i x2,i +

i=1

∑x1,i

i=1

x2,i .

+ a2 ∑x2,i = ∑yi

i=1

Преобразуем полученную систему следующим образом:

n ∑x1,2i

∑x1,2i

∑x2,i

∑x1,i

−

i=1

+ a2

∑x2,i x1,i

−

i=1

∑x1,i

i=1

∑x1,i

i=1

∑yi

∑x2

i=1

1,i

= ∑yi x1,i −

;

i=1

∑x1,i

i=1

n ∑x1,i x2,i

∑x2,i ∑x1,i x2,i

i=1

∑x2,i

−

+ a2

∑x2,2 i −

i=1

∑x1,i

i=1

∑x1,i

i=1

∑yi

∑x1,i

x2,i

i=1

= ∑yi x2,i −

i=1

∑x1,i

i=1

Для упрощения выкладок введем обозначения:

	n
n	n ∑x12,i	;
B2 = ∑x1,i −	i=1
B2 = ∑x1,i −	n
i=1	∑x1,i
	∑x1,i

i=1

(169)

(170)

183

				n			n
	n			∑x12,i			∑x2,i	;	(171)
B3 = ∑x2,i x1,i −				i=1			i=1
B3 = ∑x2,i x1,i −						n
	i=1					∑x1,i
						∑x1,i
						i=1
			n
B4	n		n ∑x1,i x2,i						(172)
B4	= ∑x2,i −			n			;		(172)
			i=1
	i=1		∑x1,i
			∑x1,i
			i=1
			n			n
B5	n		∑x2,i		∑x1,i x2,i			.	(173)
B5	= ∑x2,i −		i=1			n		.	(173)
		2	i=1			i=1
	i=1				∑x1,i
					∑x1,i
					i=1

Используя приведенные выше выражения, запишем систему (169) следующим образом:

					n		n
			n	∑yi ∑x1,2i
a0	B2	+ a2 B3	= ∑yi x1,i −	i=1			i=1	;
a0	B2	+ a2 B3	= ∑yi x1,i −			n		;
			i=1			∑x1,i
						∑x1,i
						i=1
						i=1
					n		n
					n		n
			n		∑yi		∑x1,i x2,i
			n		i=1		i=1
a0 B4 + a2 B5 = ∑yi x2,i −					i=1		i=1		.
a0 B4 + a2 B5 = ∑yi x2,i −							n		.
			i=1				∑x1,i
							∑x1,i
							i=1

Теперь разделим уравнения полученной системы на коэффициенты при a2

∑yi ∑x1,2i

∑yi x1,i −

i=1

∑x1,i

+ a2 =

i=1

;

∑yi

∑x1,i x2,i

i=1

∑yi x2,i −

i=1

∑x1,i

+ a

i=1

и вычтем первое уравнение из второго:

184

∑yi

∑x1,i

x2,i

∑yi x2,i

−

i=1

∑x1,i

i=1

−

∑yi

∑x1,2i

∑yi x1,i

−

i=1

∑x1,i

−

i=1

Выразим из полученного уравнения коэффициент a0

∑yi

∑x1,i x2,i

a0 = B3 B5

B3 ∑yi

x2,i − B3

i=1

−

i=1

∑x1,i

i=1

− B n

∑yi

∑x1,2i

(B B − B B ) B B

y x + B

i=1

5 ∑ i

1,i

3 4 2

5 3 5

i=1

∑x1,i

i=1

и перегруппируем слагаемые следующим образом:

x2,i

∑x1,i

a0 = ∑yi

B3 x2,i − B3

i=1

−

i=1

∑x1,i

i=1

∑x12,i

(B B − B B ).

− B

i=1

1,i

∑x1,i

i=1

Для того чтобы облегчить запись, введем обозначение

D = B5

∑x12,i

− B3

∑x1,i

x2,i

(174)

i=1

∑x1,i

i=1

Тогда выражение для коэффициента a0 будет выглядеть следующим

185

образом:

	∑n	yi (B3 x2,i − B5 x1,i + D)
a =	i=1		.
a =			.
0		B3 B4 − B2 B5
		B3 B4 − B2 B5

Используя полученное выражение и учитывая (145) и то, что B2, B3, B4 и B5 – константы, а V(yi) = σ2, дисперсию для коэффициента a0 можно вычислить с помощью следующей формулы:

V (a0 )=	∑n σ2 (B3 x2,i − B5 x1,i + D)2	.	(175)
	i=1
	(B3 B4 − B2 B5 )2

Вынесем за знак суммы σ2 и раскроем скобки в числителе выражения

(175):

			σ2		n
V (a0 )=					∑(B32 x2,2 i	+ B52 x1,2i + D2 −
	(B3	B4	− B2	B5 )2
					i=1
− 2 B3 B5 x1,i			x2,i	+ 2 B3 D x2,i − 2 B5 x1,i D).			(176)

Теперь перегруппируем слагаемые и преобразуем выражение (176), учитывая (174), следующим образом:

V (a0 )=

σ2

B32

∑x2,2 i + B52 ∑x1,2i + n D2 −

(B3 B4 − B2

B5 )2

i=1

− 2 B3 B5 ∑x1,i

x2,i + 2 B3 D ∑x2,i − 2 B5 D ∑x1,i

i=1

σ2

B32

∑x2,2 i + B52

∑x1,2i + n D2 −

(B3

− B2 B5 )2

i=1

− 2 B5 B3 ∑x1,i x2,i +

D ∑x1,i + 2 B3 D ∑x2,i

i=1

σ2

B32

∑x2,2 i + B52

∑x1,2i + n D2 −

(B3

− B2 B5 )2

i=1

− 2 B52 ∑x12,i + 2

B3 D ∑x2,i .

i=1

В полученном выражении приведем подобные члены и подставим вместо D выражение (174):

186

V (a0 )=

σ2

(B3 B4 − B2 B5 )2

× B32

∑x22,i + n D2 − B52

∑x12,i + 2 B3 D ∑x2,i

i=1

σ2

(B3 B4 − B2 B5 )2

∑x1,2i

∑x1,i x2,i

× B32

∑x22,i + n B5

i=1

− B3

i=1

−

i=1

∑x1,i

i=1

∑x1,2i

∑x1,i

x2,i

− B52 ∑x12,i + 2

B3 B5

i=1

− B3

i=1

∑x2,i

i=1

∑x1,i

i=1

Далее раскроем скобки в правой части равенства (177):

V (a0 )=

σ2

(B3 B4 − B2 B5 )2

∑x1,i x2,i

∑x1,i

i=1

× B3

∑x2,i

+ n B5

+ n B3

−

i=1

∑x1,i

i=1

∑x12,i

∑x1,i x2,i

−2 n B

i=1

−

∑x1,i

i=1

. (177)

				n	n		n	n
	n			∑x1,2i	∑x2,i		∑x1,i x2,i ∑x2,i
− B52	∑x1,2i + 2	B3	B5	i=1	i=1	− 2 B32	i=1	i=1	.(178)
− B52	∑x1,2i + 2	B3	B5	n		− 2 B32	n		.(178)
				n			n
	i=1			∑x1,i			∑x1,i
				i=1			i=1

Учитывая (170)–(173), преобразуем выражение (178) следующим образом:

187

∑x1,i x2,i

∑x2,i

V (a )=

B2 n

x2 −

i=1

−

B −

B B )2

i=1

∑ 2,i

∑x1,i

i=1

∑x1,2i

n ∑x1,2i

− B52

i=1

∑x1,i −

i=1

−

∑x1,i

i=1

∑x1,i

i=1

x2,i

∑x1,i

− B32

i=1

∑x2,i −

i=1

∑x1,i

i=1

∑x1,i

i=1

∑x1,2i

n ∑x1,i x2,i

+ 2 B3 B5

i=1

∑x2,i

−

i=1

∑x1,i

i=1

2 B

∑x1,2i

−B B

i=1

−

(B3 B4 − B2 B5 )

∑x1,i

i=1

∑x1,i x2,i

∑x12,i

− B32 B4

i=1

+ 2 B3 B4 B5

i=1

∑x1,i

i=1

Далее с учетом (171) и (172) получим

V (a0 )=

σ2

(B3 B4 − B2 B5 )2

x2,i

∑x1,i

∑x12,i

i=1

− B

+ B

i =1

∑x1,i

∑x1,i x2,i

i =1

188

∑x12,i

i=1

−

B )

− B

B )2

∑x1,i

i=1

∑x1,i x2,i

∑x1,i

∑x2

∑x2,i

i =1

i=1

1,i

i =1

∑x2,i

x1,i −

∑

2,i

i =1

∑

1,i

∑ 1,i

1,i

i =1

x2,i

∑x1,2i

n ∑x1,i

i =1

∑x2,i −

i =1

− B3

∑x1,i x2,i i =1

∑x1,i

i =1

∑x12,i

+ B

i=1

−

B ) .

∑x1,i

i=1

Теперь раскроем скобки в правой части полученного равенства и приведем подобные члены:

V (a0 )

σ2

(B3 B4 − B2 B5 )2

∑x1,i x2,i

∑x1,2i ∑x2,i

× B3

i=1

B5 ∑x1,i −

i=1

∑x1,i

∑x1,i x2,i

i=1

∑x12,i ∑x2,i

n ∑x12,i

i=1

i =1

−

i =1

− B

∑x1,i x2,i

∑x1,i

i=1

i =1

∑x12,i

+ B

i=1

B −

B )

B −

B )2

∑x1,i

i=1

189

		n						n
		∑x1,i x2,i				n		n ∑x1,2i
× B3		i =1		B5	∑x1,i		−	i =1	− B3
× B3		n		B5	∑x1,i		−	n	− B3
		n						n
		∑x1,i			i =1			∑x1,i
		i =1						i =1
		n
	∑x12,i
+ B	i =1		(B B − B B ) .
+ B			(B B − B B ) .
5		n	3	4	2	5
	∑x1,i
	i =1

Далее с учетом (170) приходим к выражению

V (a0 )=

σ2

(B3 B4 − B2 B5 )2

∑x12,i

∑x1,i x2,i

i=1

− B B )− B

i =1

∑x1,i

i=1

σ2

− B3

∑x12,i

∑x1,i

x2,i

i=1

∑n

x1,i (B3 B4 − B2 B5 )

B4 )+

⋅(B3 B4 − B2 B5 ) =

(179)

i=1

Сучетом (170)–(173) преобразуем знаменатель полученного выражения следующим образом:

∑n

x1,i (B3 B4 − B2 B5 )= ∑n

x1,i ×

i =1

∑x1,2i

∑x2,i

n ∑x1,i x2,i

∑x2,i

x1,i −

i =1

∑x2,i −

i =1

i=1

∑x1,i

i =1

∑x1,i

i=1

i =1

n ∑x1,2i

∑x2,i

∑x1,i x2,i

−

∑x1,i

−

i=1

∑x2,2 i −

i=1

∑x1,i

i=1

∑x1,i

i=1

Теперь раскроем скобки в правой части равенства:

−

190

∑n		x1,i (B3 B4 − B2 B5 )= ∑n			x1,i ×
i =1				i =1
						n	x2,i
		n	n	n		n ∑x1,i	x2,i
×		∑x2,i x1,i ∑x2,i −∑x2,i			x1,i	i=1		−
×		∑x2,i x1,i ∑x2,i −∑x2,i			x1,i	n		−
						n
	i =1		i =1	i =1		∑x1,i
						i =1

∑x12,i

∑x2,i

∑x12,i ∑x2,i n ∑x1,i

x2,i

−

i=1

∑x2,i +

i=1

−

∑x1,i

i=1

∑x1,i

i=1

∑x2,i ∑x1,i

x2,i

i=1

−∑x1,i ∑x2,i

+∑x1,i

i=1

∑x1,i

i=1

n ∑x12,i

∑x2,i

∑x1,i x2,i

i=1

∑x2,2 i −

i=1

∑x1,i

i=1

∑x1,i

i=1

Далее умножим слагаемые в скобках в правой части равенства на

∑x1,i , вынесем n за скобки и перегруппируем слагаемые, как показано

i=1

ниже:

∑n x1,i (B3 B4 − B2

i =1



		n		n
= n		∑x1,2i		∑x2,2 i
	i=1			i=1


	n		2	n
	∑x1,i		∑x2,2 i
−	i=1			i=1
−		n
		n

B5 )=

	n			n	2
	∑x2			∑x2,i
−	i=1	1,i	i=1			−
−			n			−
			n
	n			2 n		2
	∑x1,i			∑x2,i			n	2
	i=1		i=1				n
+							− ∑x1,i x2,i	+
+				n2			− ∑x1,i x2,i	+
				n2			i=1

191

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025718 Кб2Makety_tab__Ek-ka_i_upr_zaochnoe_12-13.doc
#
01.04.202597 Кб0makro.docx
#
01.05.2025127 Кб2Manipulyatsii_k_ekzamenu_SD_Lysenko.docx
#
26.09.201955 Кб7marketing poniatia.docx
#
01.03.2025381 Кб0Marketing_v_ID.doc
#
26.03.20152 Мб43Mashkovsky_Lesnaya_biometria.pdf
#
26.03.20152 Мб114Mashkovsky_Lesoustroystvo.pdf
#
01.07.2025113 Кб0materialka ШПОРЫ.doc
#
01.07.20256 Мб0MathCad_14_2010.doc
#
09.03.20162 Мб123MathCad_Дятко_Кишкурно.pdf
#
01.07.2025764 Кб0mekhanizatsia.docx