2003_-_Gmurman__TV_i_MS

поток (при условии его ординарности) близок к nростеЙше'мУ.

Интенсивностью потока л называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Можно доказать, что если постояиная интенсивность потока известна, то вероятность появлеиия k событий про­

стейшего потока за время длительностью t определяется

формулой Пуассона

P t (k) = (Лt)k·е-"А.t/kl.

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

Действительно, из формулы видно, что вероятность

появления k событий за время t, при заданной интен­

сивности является функцией k и t, что характеризует

свойство стационарности.

Формула не использует информации о появлении собы­

тий до начала рассматриваемого промежутка, что харак­

теризует свойство отсутствия последействия.

Убедимся, что формула отражает свойство ординар­ ности. Положив k = О и k = 1, найдем соответс.твенно вероятности непоявления событий и появления одного

события:

Pt(O)=e-"А.t, Рt(l)=лtе-"A.t.

Следовательно, вероятность появления более одного со­

малых значениях t вероятность появления более одного

события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что характеризует свойство

ординарности.

Итак, формулу Пуассона можно считать математи­

ческой моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин посту­

пит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

Поток вызовов предполагается простеЙшим.

71

р е w е н н е. По условию, л = 2, t = 5, k = 2. Воспользуемся фор­ МУЛОЙ Пуассона

Pt (k) = (лt)k . е-м/kl

а) Искомая вероятность Toro, что за 5 мин поступит 2 вызова,

Р6 (2) = 102 .e- 10/21 = 100.0,000045/2 =0,00225.

i}ro собьrrие практически невозможно.

б) События сне поступило ни одноro вызова» и «поступил один

вызов» несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероят­

ность того, что за 5 мин поступит менее двух вызовов, равна

Р. (k < 2) = Р. (О) +Р. (1) = e- 10 +(1O-e-10)!l! = 0,000495.

Эro событие практически невозможно.

В) События «поступило менее двух вызовов» и «поступило не

менее двух вызовов» противоположны, по9ТОМУ искомая вероятность

тoro, что за 5 мин поступит не менее двух вызовов,

Р,. (k~ 2) = l-Р,. (k < 2) = 1-0,000495=0,999505.

это событне прак;ически достоверно.

§ 7. Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытания,

в каждом из которых вероятность появления события А

равна р (О < р < 1) и, следовательно, вероятность его

непоявления q = l-р. Испытания заканчиваются, как

только появится событие А. Таким образом, если собы­

тие А появилось в k-M испытании, то в предшествующих k -1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через Х дискретную случайную величину­

число испытаний, которые нужно провести до первого

появления события А. Очевидно, возможными значе­

ниями Х являются натуральные числа: X1 = 1, Х2 = 2, ...

Пусть в первых k - 1 испытаниях событие А не насту­

пило, а в k-M испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей

независимых событий,

Р (Х =k) = qk- 1p .

По этой причине распределение (*) называют геометри­

ческим.

72

Легко убедиться, что ряд (**) сходится и сумма его

равна единице. Действительно, сумма ряда (**)

p/(l-q) = р/р = 1.

Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого

попадания. Вероятность попадания в цель р=О,6. Найти вероятность

того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Реш е н и е. По условию, р=О,6, q=O,4, k=3. Искомая вероят­

ность по формуле (*)

р= qk- 1 .р=О,42 .О,6 =0,096.

§8. Гипергеометрическое распределение

Прежде чем дать определение гипергеометричес­

кого распределения, рассмотрим задачу. Пусть в партии

из N изделий имеется М стандартных (М < N). Из пар­

тии случайно отбирают n изделий (каждое изделие может

быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем

здесь неприменима). Обозначим через Х случайную вели­

чину-число т "стандартных изделий среди n отобран­

n отобраниых изделий ровно т стандартных. Используем

для этого классическое определение вероятности.

Общее число возможных злементарных исходов испы­

тания равно числу способов, которыми можно извлечь n

изделий из N изделий, т. е. числу сочетаний C'N.

Найдем число исходов, благоприятствующих событию

изделий должны быть нестандартными; взять же n-т

нестандартных изделий из N-m нестандартных изделий можно C'N-~ способами. Следовательно, число благоприят­ ствующих исходов равно Crg.C'N~M (см. гл. 1, § 4, правило

умножения).

Искомая вероятность равна отношению числа исхо­ дов, благоприятствующих событию Х = т, к числу всех

c'k

73

Формула (*) определяет распределение вероятностей,

которое называют гunергео,м,етрuческuм.

Учитывая, что т-случайная величина, заключаем.

что гипергеометрическое распределение определяется

тремя параметрами: N, М, n. Иногда в качестве пара­

метров этого распределения рассматривают N, пир= М/N.

где р-вероятность того, что первое извлеченное изделие

стандартное.

Заметим, что если n значительно меньше N (практи­

чески если n < 0,1 N). то гипергеометрическое распреде­

ление дает вероятности, близкие к вероятностям, найден­

ным по биномиальному закону.

Пример. Среди 50 изделнй 20 oKpaweHHblx. Найти вероятность

того, что среди наУдачу извлечениых 5 изделий окажется ровно

3 окрашенных.

Решеиие. По условию, N=50, М=20, n=5, т=3. Иско­

мая вероятность

Р (Х= З) = C~oC:o/C~o=O,234.

Задачи

1. Возможные значеиия случайиой величины таковы: Xl = 2,

х.=5, Ха =8. Известны вероятиости первых двух возможных зиа­

чеиий: Рl=О,4, pJ!=O,15. Найти вероятность Ха. Отв. Ра=О,45.

равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение 1 мин

позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?

Отв. P100 (3) = О, 18; P 100 (4) = 0,09,

74

7. Рукопись объемом в 1000 страииц: машииописного текста содер­

жит 1000 опечаток. Наliти вероятность того, что наудачу взятая

страннц:а содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно 2 опечаткн; в) не менее двух опечаток. Предполагается, что число опечаток рас­

пределено по закону Пrассона.

Отв. а) р= l-е- =0,6321; б) P 1000 (2) =0,18395; в) Р =0,2642.

8. С-реднее чнсло вызовов, поступающих на АТС в I мнн, равно 5. Найти вероятность того, что за 2 мнн поступит: а) два вызова;

6) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов.

у к а з а н не. e- 10 = 0,000045.

Отв. а) 0,00225; б) 0,000495; В) 0,999505.

9. ПРОИЗВОдНТСЯ бросанне игральной кости до первого выпадения

шестн очков. Найти вероятность того, что первое выпадение «шес·

терки» произойдет при втором бросанни игральной кости.

Отв. Р (Х =2) =5/36.

10. В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероят­ ность того, что среди 5 взятых наудачу деталей окажется 3 стан­

дартных.

Отв. Р (Х = 3) = 14/33.

глава седьмаЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ

СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИН Ы

§ 1. Чис.ловые характеристики дискретных

D

с.лучаиных величин

Как уже известно, закон распределения пол­

ностью характеризует случайную величину. Однако часто

закон распредел~ния неизвестен и приходится ограничи­

ваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее

v

пользоваться чи('лами, которые описывают случаиную

величину суммарно; такие числа называют числовыми

характеристиками случаЙНОЙ величины. К числу важных

числовых характеристик относится математическое ожи­

дание.

Математическое ожидание, как будет показано далее, приближеино равно средиему значению случайной вели­ Чины. Для решени~ миогих задач достаточно зиать мате­

матическое ожидание. Например, если известно, что мате­

матическое ожидаиие числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в сред­

нем выбивает больше очков. чем второй. и, следова­

тельио, стреляет лучше второго. Хотя математическое

ожидание дает о случайной величине значительно меньше

75

сведений, чем закон ее распределения, но для решения

задач, подобных приведениой и многих других, знание

математического ожидания оказывается достаточным.

возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только

значения X 1 , Х2, •••• Хn' вероятности которых соответ­

ственно равны Рl' Р2' ...• Рn' Тогда математическое ожи­

дание М (Х) случайной величины Х определяется равен-

ством

м (Х) = Х1Рl +Х2Р2 + ... + ХnРn'

Если дискретная случайная величина Х принимает

счетное множество возможных значений, то

м (Х) = ~XiPi'

i= I

причем математическое ожидание существует, если ряд

в правой части равенства сходится абсолютно.

3 а м е ч а н н е. Из определення следует, что математическое ожиданне днскретной случайной велИЧИНЫ еСТЬ н е с л у чай н а я

(постоянная) велнчнна. Рекомендуем запомннть это утверждение, так как далее оно используется многократно. В дальнейшем будет пока­ зано, что математнческое ожнданне непрерывной случайной величины

также есть постоянная велнчнна.

Пример 1. Найтн математическое ожндание случайной велн­

чины Х. зная закон ее распределения:

Реш е н и е. Искомое математнческое ожиданне равно сумме

произведений всех возможных значеннй случайной величины на их

вероятности:

м (Х)=3.0,l +5.0,6+2.0,3=3,9.

Пример 2. Найти математнческое ожидание числа появлеиий

события А в одном нспытанин, если вероятность события А равна р.

Реш е н И е. Случайная величина Х - число появлений события

А в одном испытании - может принимать только два значения: Хl = I

(событие А наступило) с вероятностью р и Ха=О (событие А не наступнло) с вероятностью q = 1- р. Искомое математическое ожиданне

м (Х)= l.p+O.q=p.

76

Итак, математическое ожидание числа nоявлений собы­

тия в одном испытании равно вероятности этого собы­

тия. Этот результат будет использован ниже.

§ 3. Вероятиостный смысл математического

ожидания

X1m 1+ х2т2 + ... +х"m".

Найдем среднее арифметическое Х всех значений, при­

нятых случайной величииой, для чего разделим найден­

~ую сумму на общее число испытаний:

Х = (X1m1+ х.т.+ ... +ХАm,,)/n.

или

Заметив, что отношение m1/n-относительная частота

Допустим, что число испытаиий достаточно велико.

Тогда относительная частота приближенно равна вероят­

Х ~ Х1Рl + Х.Р. + ... + ХАР".

Правая часть gTOrO приближенного равенства есть М (Х).

Итак,

Х ~ м (Х).

Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точ-

77

нее, чем больше число испытаний) среднем,у арифмети­

ческом,у наблюдае.мых значений случайной величины.

3 а м е ч а н и е 1. Легко сообразить, что математнческое ожида­ ние больше иаименьшего н меньше иаибольшего возможиых зиаче­

ниЙ. Другнми словамн, на ЧflСЛОВОЙ оси возможные значення распо­

расположены в точках с абсциссамн Хl, Ха, ••• , Хn, причем ~Pj= 1, то абсцисса центра Тяжести

Хс= (~ XiPi)/Ul.

Учитывая, что ~XiPi=M (Х) н ~Pl=I, получнм М (Х)=ХС•

Итак, математическое ожидание есть абсцнсса центра тяжести

системы материальных точек, абсцнссы которых равны возможным

значенням случайной величины, а массы-их веРОЯТИОСТЯ\f.

3 а м е ч а н и е 2. Происхождение термина сматематическое ожн­

дание» связано с начальным периодом возннкновения теории вероят­

ностей (XVJXVJ 1 вв.), когда область ее применения ограничива­

лась азаP"fНtt,.мн играмн. Игрока интересовало среднее значение ожн­

даемого выигрыша, или, инымн словами, математическое ожидание

выигрыша.

§4. Свойства математического ожидания

Св о й с т в о 1. Математическое ожидание по­

стоянной величины равно сам,ой постоянной:

м (с)=с.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем рассматривать постоян­

ную С как дискретную случайную величину, которая

имеет одно возможное значение С и принимает его

с вероятностью р = 1. Следовательно,

М (С) = С· 1 = С.

3 а м е ч а н н е 1. Определим произведение постоянной величины

С на дшжретную случайную величину Х как дискретную случайную СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С

на возМожные значения Х; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х. Напри­

мер, если вероятность возможного значения Хl равна Рl' то вероят­

ность того, что величина СХ примет значение СХ1' также равна Рl"

С В О Й с т в о 2. Постоянный м,ножитель м,ожно выно­

сить за знак м,атем,атического ожидания:

М (СХ) = см (Х).

78

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения

случайной величины СХ:

СХ

Р

Математическое ожидаtlие случайной величины СХ:

М (СХ) = CX1Pl +CXzpz + ... +СХnРn = = С (X1Pl +X zP2 + ... +ХnРn) = СМ (Х).

Итак,

м (СХ) = СМ (Х).

3 а м е ч а н и е 2. Прежде чем перейти к следуюшему свойству,

укажем, что две случайные величины называют независи.ltlЫ.ltlи, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие воз­

можные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величнны зависи.ltlЫ. Несколько случайных величин назы­

вают взаи.ltlНО независи.ltlы.ltlU, если законы распределення любого числа

ИЗ них не зависят от того, какие возможные значения приняли

остальные величины.

3 а м е ч а н и е 3. Определим произведение независи.ltlЫХ случай­ НЫХ величин Х и У Как случайную величину ХУ, возможные зна­

чения которой равны произведениям каждого возможного значения

Х на каждое возможное значение У; вероятностн возможных значе­

ний произведения ХУ равны произведениям вероятностей возможных

значений сомножителей. Например, если вероятиость возможного

значения Xl равна Pl, вероятность возможного значения Yl равна gl,

то вероятность возможного значения XIYl равна Plgl.

Заметим, что некоторые произведения ХШ! могут оказаться paB~

ными между собой. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например,

нию их математических ожиданий:

м (ХУ) = м (Х) м (У).

79

вероятностей *):

хХ1Х. У YIY2

РPIP2 g glg2

Составим все значения, которые может принимать

случайная величина ХУ. Для этого перемножим все воз­

можные значения Х на каждое возможное значение У;

в итоге получим X1Yl' Х2Уl' X1Y2 И Х2У2' Учитывая заме­

чание 3, напишем закон распределения ХУ, предполагая

для простоты, что все возможные значения произведения

различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):

ХУ

Р

Математическое ожидание равно сумме произведений

всех ВОЗМОжных значений на их вероятности:

М (ХУ) = X1Yl . Plgl + X2Yl' P2g1 +Х1Уа' Plg2 +Х2У2' P.g2,

или

м(ХУ) = Ylgl (X1Pl +Х.Р2) +Y2g2 (X1Pl +Х2Р2) =

+y2g.) = м (Х). м (У).

Итак, М (ХУ) = м (Х)· м (У).

С л е Д с т в и е. Математическое ожидание nроиэведе­

ния неСкольких взаимно независимых случайных величин

равно произведению их математических ожиданий.

Например, для трех случайных величин имеем:

М (XYZ) = м (ХУ ·Z) = м (ХУ) м (Z) = м (Х) м (У) М (Z).

ДЛЯ произвольного числа случайных величин дока­

зательство проводится методом математической индукции.

Пример 1. Независимые случайные величины Х и У заданы

следующнмн Законамн распределения:

Найти математическое ожндание случайной величнны ХУ.

Реш е н и е. Найдем математические ожидания каждой из данных

велнчин:

м(Х) =5·0,6+ 2·0,1 + 4·0,3 = 4,4;

М(у)=7·0,8+9·0,9=7,4.

•, для упрощения выкладок мы ограничились малым числом

возможных Значений. В общем случае доказательство аиалогичиое.

80