Физика phiz1

а = 0, при Fрез = 0.

Здесь Fрез = ΣFi – результирующая (равнодействующая) сила, век-

торная сумма всех сил, действующих на тело.

Второй закон Ньютона: ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на тело, и обратно пропорционально массе тела:

Силу можно выразить через составляющие ускорения

F = m (axi + ayj + azk).

Сила трения скольжения Fтр = µ N,

где µ − коэффициент трения скольжения, N − сила реакции опоры.

векторная сумма импульсов всех тел изолированной системы с течением времени не меняется (импульс системы сохраняется).

При вращательном движении инертность тела определяется моментом инерции. Момент инерции системы N материальных точек

N

J = ∑mi ri2 ,

i=1

где ri − расстояние i-ой материальной точки массой mi до оси вращения О.

Момент инерции цилиндра относительно своей оси

J = m R2/2.

13

Роль силы при вращательном движении твердого тела играет вращающий момент или момент силы относительно оси вращения. Произвольную силу F можно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие (рис. 1.5): F = Fo + Fr + Fτ. Здесь Fo – осевая составляющая силы, проекция силы на направление оси вращения О1−О2: Fo = Fcosθ; Fr − радиальная составляющая силы, проекция силы на направление радиус−вектора точки приложения силы А; Fτ − тангенциальная составляющая силы, которая направлена по касательной к

О1

альная составляющая − Fτ = F′ sinα = Fsinθ sinα. Вращение тела относительно оси О1 – О2 происходит только за счет тангенциальной составляющей силы.

Вращающим моментом, или моментом силы, относительно оси вращения О1 − О2 называется величина, равная произведению численного значения радиус-вектора точки приложения силы r и тангенциальной составляющей силы Fτ :

Mz = r Fτ .

Учитывая выражение для Fτ:

Mz = r sin α F ′ = h F ′,

где h = r sinα − плечо силы F ′, это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы F′. Таким образом, получается другое выражение для вращающего момента:

Mz = h F ′.

14

15

остановки. Кинетическая энергия материальной точки или поступательно движущегося тела определяется по формуле

Wк = Jω2/2 .

Кинетическая энергия тела, которое катится без скольжения

Wк = m2υ2 + Jω2 2 .

Потенциальная энергия тела обусловлена взаимодействием этого тела с другими телами системы (нахождением тела в поле консервативных сил) и численно равняется работе, которую совершают силы поля, перемещая тело из данного состояния в состояние, в котором потенциальная энергия тела считается равной нулю.

Если потенциальная энергия тела в состоянии 2 равна нулю, тогда потенциальная энергия в произвольном состоянии 1:

где k − коэффициент упругости; х − деформация

тела.

Сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной, если на тело не действуют другие силы. Этот закон сохранения механической энергии применим для всех замкнутых консервативных систем: полная механическая энергия тел консервативной системы не изменяется с течением времени:

16

этого необходимо использовать начальные условия. Из уравнения движения для начального момента времени t = 0 c вытекает, что a =

хо, d = уо.

Составляющие скорости определяются дифференцированием уравнения движения:

vх = ddtrx = (b + 2ct)i; vy = ddtry = (f +2gt)j.

Подставив в полученные выражения t = 0 c получаем, что b = υoх = 60

м/с; f = υoу = 50 м/с.

Ускорение есть первая производная от вектора скорости

a = ddtv = 2сi + 2gj.

Отсюда определяются значения оставшихся двух коэффициентов: с =

−2 м/с2; g = −5 м/с2.

Сила, действующая на частицу, определяется из второго закона Ньютона: F = ma = −4mi − 10mj кг· м/с2.

После определения численного значения скорости по полученным выражениям для момента времени t1 через значения

составляющих υ = υx2 +υy2 +υz2 и определив из построения

нормальную составляющую ускорения аn = а sinβ, можно вычислить радиус кривизны траектории в заданный момент времени, исходя из выражения:

ρ = υ2/an.

Определение угла β между векторами скорости v и ускорения a обсудим в разделе «Решение» в ходе построения траектории движения

исоответствующих векторов.

Вданной задаче размерности полученных выражений не вызывают сомнения, и поэтому их анализировать не будем.

Решение:

Определяем численные значения коэффициентов в уравнении движения:

a = хо = −20 м, d = уо = 10 м; b = υoх = 60 м/с; f = υoу = 50 м/с; с = −2 м/с2; g = −5 м/с2.

Таким образом, координаты частицы с течением времени меняются по законам: х = −20 + 60t − 2t2; y = 10 + 50t − 5t2. По этим выражениям через каждую секунду вычислим значения координат и занесем в таблицу.

Таблица

19

Выбрав масштаб так, чтобы все точки уложились в пределах страницы, строим траекторию частицы.

Для момента времени t1 = 7 с определяем значения составляющих скорости и ускорения:

υх = b + 2ct = 60 − 2·2·7 = 32 м/с; υy = f +2gt = 50 − 5·2·7 = −20 м/с; ах = 2с = 2·(−2) = − 4 м/с2; ау = 2g = 2·(−5) = − 10 м/с2.

Выбрав масштабы для построения векторов скорости и ускорения (1см = 10 м/с и 1см = 2 м/с2) от соответствующей точки на графике движения откладываем отрезки, изображающие vx, vy и ах, ау (рис. 1.12). По составляющим чертим и сами векторы v и а. Если вычисления и построения верные, то вектор скорости получится направленным по касательной к траектории движения.

Определяем численные значения скорости и ускорения в момент времени t1 = 7 с:

Определим углы наклонов векторов v и а относительно оси 0х:

ρ

C

Рис. 1.12. Траектория частицы, векторы скорости и ускорения

Зная углы α1 и α2 (их определили без учета знаков) из рис. 1.12 определяем угол β между векторами v и а:

20

Движение тела по наклонной поверхности рассмотрим в системе координат Ох′у′(рис.1. 13). Начало координат этой системы совпадает с началом системы координат Оху. Движение тела рассмотрим как движение материальной точки.

Полный путь по наклонной плоскости:

S = х1/ − хo/ = x′(t1) − x′(0) = 10 + 20 t1 – t12 − x′(0).

Средняя скорость по пути:

Мгновенная скорость по пути на прямолинейном участке движения определяется как производная от пути по времени:

υ = dSdt = ddtx′ = 20 – 2 t.

Как видно из этой формулы максимальная скорость будет в начале

движения, когда t = 0: υmax = 20 м/c.

Чтобы определить результирующую всех сил, действующих на тело, напишем проекцию второго закона Ньютона в направлении оси Ох′: Fp = ma′. Ускорение в направлении оси Ох′ найдем как производную от мгновенной скорости:

Как видно, движение тела по наклонной плоскости является равнозамедленным.

Вдоль линии движения на тело действует составляющая силы тяжести − Рх = mg sinα, а также сила трения Fтр = µN. Для определения силы реакции опоры N спроектируем все силы, действующие на тело, на направление оси Оу′. Так как в этом направлении движения нет, сумма проекций всех сил должна равняться нулю: N − Py′ = 0. Отсюда N = Py′ = mg cosα. Таким образом, сила трения:

Fтр = µ mg cosα.

Результирующая сила в направлении оси Ох′:

Fp = F − Рх − Fтр.

Отсюда искомая сила тяги, действующая на тело:

F = Fp+ Рх +Fтр= ma′+ mg sinα + µ mg cosα = m(a′+ gsinα +µg cosα).

22