Линейная алгебра, ПНИПУ

15. А₁(1, 8, 2), А₂(5, 2, 6), А₃(5, 7, 4), А₄(4, 10, 9).

16. А₁(6, 6, 5), А₂(4, 9, 5), А₃(4, 6, 11), А₄(6, 9, 3).

17. А₁(7, 2, 2), А₂(-5, 7, -7), А₃(5, -3, 1), А₄(2, 3, 7).

18. А₁(8, -6, 4), А₂(10, 5, -5), А₃(5, 6, -8), А₄(8, 10, 7).

19. А₁(1, -1, 3), А₂(6, 5, 8), А₃(3, 5, 8), А₄(8, 4, 1).

20. А₁(1, -2, 7), А₂(4, 2, 10), А₃(2, 3, 5), А₄(5, 3, 7).

21. А₁(4, 2, 10), А₂(1, 2, 0), А₃(3, 5, 7), А₄(2, -3, 5).

22. А₁(2, 3, 5), А₂(5, 3, -7), А₃(1, 2, 7), А₄(4, 2, 0).

23. А₁(5, 3, 7), А₂(-2, 3, 5), А₃(4, 2, 10), А₄(1, 2, 7).

24. А₁(4, 3, 5), А₂(1, 9, 7), А₃(0, 2, 0), А₄(5, 3, 10).

25. А₁(3, 2, 5), А₂(4, 0, 6), А₃(2, 6, 5), А₄(6, 4, -1).

26. А₁(2, 1, 6), А₂(1, 4, 9), А₃(2, -5, 8), А₄(5, 4, 2).

27. А₁(2, 1, 7), А₂(3, 3, 6), А₃(2, -3, 9), А₄(1, 2, 5).

28. А₁(2, -1, 7), А₂(6, 3, 1), А₃(3, 2, 8), А₄(2, -3, 7).

29. А₁(0, 4, 5), А₂(3, -2, 1), А₃(4, 5, 6), А₄(3, 3, 2).

30. А₁(3, -1, 2), А₂(-1, 0, 1), А₃(1, 7, 3), А₄(8, 5, 8).

Задание 8

Решить следующие задачи

1. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(-2, 7, 3) параллельно плоскости х - 4у + 5z - 1 = 0.

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М₁М₂ перпендикулярно к этому отрезку, если М₁(1, 5, 6), М₂(-1, 7, 10).

3. Найти расстояние от точки М(2; 0; -0,5) до плоскости 4х - 4у + 2z + 17 = 0.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, -3, 5) параллельно плоскости Оху.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку А(2, 5, -1).

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, 5, -1), В(-3, 1, 3) параллельно оси Оу.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(3, 4, 0) и прямую ^{х - 2} = ^{у - 3} = ^{z + 1}.

^{1 2 2}

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ^{х - 3} = ^у = ^{z - 1} и ^{х + 1} = ^{у - 1} = ^z.

^{2 1 2 2 1 2}

9. Составить общие уравнения прямой, образованной пересечением плоскости 3х - у - 7z + 9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось Ох и точку А(3, 2, -5).

10. Составить уравнение плоскости в <<отрезках>>, если она проходит через точку М(6, -10, 1) и отсекает на оси Ох отрезок а = -3, а на оси Оz - отрезок с = 2.

11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 3, -4) параллельно двум векторам а = (4, 1, -1) и b = (2, -1, 2).

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1,1,0), В(2,-1,-1) перпендикулярно к плоскости 5х+ 2у + 3z -7= 0.

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2х - 3у + z - 1 = 0 и х - у + 5z +3 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(3, -1, 2), В(2, 1, 4) параллельно вектору а = (5, -2, -1).

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к вектору , если А(5, -2, 3), В(1, -3, 5).

16. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку М(2, -3, 3) параллельно плоскости 3х + у - 3z = 0.

17. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, -1, 2) перпендикулярно к отрезку М₁М₂, если М₁(2, 3, -4), М₂(-1, 2, -3).

18. Показать, что прямая ^х = ^у-3 = ^z-1 параллельна плоскости х + 3у - 2z + 1 = 0,

^{12 -2 3}

а прямая х = t + 7, у = t - 2, z = 2t + 1 лежит в этой плоскости.

19. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(3, -4, 1) параллельно координатной плоскости Охz.

20. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(3, -5, 2).

21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(1, 2, 3) и N(-3, 4, -5) параллельно оси Оz.

22. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2, 3, -1) и прямую х = t - 3, у = 2t + 5, z = -3t + 1.

23. Найти проекцию точки М(4, -3, 1) на плоскость х - 2у - z - 15 = 0.

24. Определить, при каком значении В плоскости х - 4у + z - 1 = 0 и 2х + Ву + 10z - 3 = 0 будут перпендикулярны.

25. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2, -3, -4) и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.

26. При каких значениях n и А прямая ^х = ^{у - 5} = ^{z + 5} перпендикулярна

^{3 n 6}

к плоскости Ах + 2у - 2z - 7 = 0?

27. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, 3, -1), В(1, 1, 4) перпендикулярно к плоскости х - 4у + 3z + 2 = 0.

28. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям х + 5у - z + 7=0 и 3х - у + 2z - 3=0.

29. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(2, 3, -5) и N(-1, 1, -6) параллельно вектору а = (4, 4, 3).

30. Определить, при каком значении С плоскости 3х - 5у + Сz - 3 = 0 и х - 3у + 2z + 5 = 0 будут перпендикулярны.

Задание 9

Решить следующие задачи

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3х - 2у - 7 = 0 и х + 3у - 6 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.

2. Найти проекцию точки А(-8, 12) на прямую, проходящую через точки В(2, -3) и С(-5, 1).

3. Даны две вершины треугольника АВС: А(-4, 4), В(4, -12) и точка М(4, 2) пересечения его высот. Найти вершину С.

4. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и проходящей параллельно прямой 2у - х = 3.

5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2, -3) и точку пересечения прямых 2х - у = 5 и х + у = 1.

6. Доказать, что четырёхугольник АВСD - трапеция, если А(3, 6), В(5, 2), С(-1, -3), D(-5, 5).

7. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 1) перпендикулярно к прямой ВС, если В(2, 5), С(1, 0).

8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 1) параллельно прямой MN, если М(-3, -2), N(1, 6).

9. Найти точку, симметричную точке М(2, -1) относительно прямой х - 2у + 3 = 0.

10. Найти точку О пересечения диагоналей четырёхугольника АВСD, если А(-1, -3), В(3, 5), С(5, 2), D(3, -5).

11. Через точку пересечения прямых 6х-4у+5=0, 2х+5у+8=0 провести прямую, параллельную оси абсцисс.

12. Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС 4х + у = 12, его высот ВН 5х - 4у = 12 и АМ х + у = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольника АВС.

13. Даны две вершины треугольника АВС: А(-6, 2), В(2, -2) и точка пересечения его высот Н(1, 2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.

14. Найти уравнения высот треугольника АВС, проходящих через вершины А и В, если А(-4, 2), В(3, -5), С(5, 0).

15. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2, 3), В(0, -3), С(6, -3).

16. Составить уравнение высоты, проведённой через вершину А треугольника АВС, зная уравнения его сторон: АВ - 2х - у - 3 = 0, АС - х + 5у - 7 = 0, ВС - 3х - 2у + 13 = 0.

17. Дан треугольник с вершинами А(3, 1), В(-3, -1) и С(5, -12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведённой из вершины С.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых 2х + 5у - 8 = 0 и 2х + 3у + 4 = 0.

19. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3х + 5у - 15 = 0, проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат.

20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х - у = 0, х + 3у = 0, х - у - 4 = 0, 3х + у - 12 = 0. Найти уравнения его диагоналей.

21. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника АВС, если А(4, 6), В(-4, 0), С(-1, -4).

22. Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.

23. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 3) и составляющей с осью Ох угол: а) 45⁰; б) 90⁰; в)0⁰.

24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(-6, -6) и В(-3, -1) и имеющая абсциссу, равную 3?

25. Через точку пересечения прямых 2х - 5у - 1 = 0 и х + 4у - 7 = 0 провести прямую, делящую отрезок между точками А(4, -3) и В(-1, 2) в отношении  = 2/3.

26. Известны уравнения двух сторон ромба 2х - 5у - 1 = 0 и 2х - 5у - 34 = 0 и уравнение одной из его диагоналей х+3у-6=0. Найти уравнение второй диагонали.

27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки А(-3, 1), В(7, 5) и С(5, -3).

28. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1, 1) под углом 45⁰ к прямой 2х + 3у = 6.

29. Даны уравнения высот треугольника АВС 2х-3у +1=0, х + 2у + 1 = 0 и координаты его вершины А(2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.

30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - 2у = 0, х - у - 1 = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3, -1). Найти уравнения двух других сторон.

Задание 10

Построить поверхности и определить их вид (название).

1. а) 4х² - у² - 16z² + 16 = 0; б) х² + 4z = 0.

2. а) 3х² + у² + 9z² - 9 = 0; б) х² + 2у² - 2z = 0.

3. а) -5х² + 10у² - z² + 20 = 0; б) у² + 4z² = 5х².

4. а) 4х² - 8у² + z² + 24 = 0; б) х² - у = -9z².

5. а) х² - 6у² + z² = 0; б) 7х² - 3у² - z² = 21.

6. а) z = 8 - х² - 4у²; б) 4х² + 9у² + 36z² = 72.

7. а) 4х² + 6у² - 24z² = 96; б) у² + 8z² = = 20х².

8. а) 4х² - 5у² - 5z² + 40 = 0; б) у = 5х² + 3z².

9. а) х² = 8(у² + z²); б) 2х² + 3у² - z² = 18.

10. а) 5z² + 2у² = 10х; б) 4z² - 3у² - 5х² + 60 = 0.

11. а) х² - 7у² - 14z² - 21 = 0; б) 2у = х² + 4z².

12. а) 6х² - у² + 3z² - 12 = 0; б) 8у² + 2z² = х.

13. а) -16х² + у² + 4z² - 32 = 0; б) 6х² + у² - 3z² = 0.

14. а) 5х² - у² - 15z² + 15 = 0; б) х² + 3z = 0.

15. а) 6х² + у² + 6z² - 18 = 0; б) 3х² + у² - 3z = 0.

16. а) -7х² + 14у² - z² + 21 = 0; б) у² + 2z² = 6х².

17. а) -3х² + 6у² - z² - 18 = 0; б) х² - 2у = -z².

18. а) 4х² - 6у² + 3z² = 0; б) 4х² - у² - 3z² = 12.

19. а) z = 4 - х² - у²; б) 3х² + 12у² + 4z² = 48.

20. а) 4х² + 5у² - 10z² = 60; б) 7у² + z² = 14х².

21. а) 9х² - 6у² - 6z² + 1 = 0; б) 15у = 10х² + 6у².

22. а) х² = 5 (у² + z²); б) 2х² + 3у² - z² = 36.

23. а) 4х² + 3у² = 14х; б) 3х² - 4у² - 2z² + 12 = 0.

24. а) 8х² - у² - 2z² - 32 = 0; б) у - 4z² = 3х².

25. а) х² - 6у² + z² - 12 = 0; б) х - 3z² = 9у².

26. а) 2х² - 3у² - 5z² + 30 = 0; б) 2х² + 3z = 0.

27. а) 7х² + 2у² + 6z² - 42 = 0; б) 2х² + 4у² - 5z = 0.

28. а) -4х² + 12у² - 3z² + 24 = 0; б) 2у² + 6z² = 3х.

29. а) 3х² - 9у² + z² + 27 = 0; б) z² - 2у = -4х².

30. а) 27х² - 63у² + 21z² = 0; б) 3х² - 7у² - 2z² = 42.