Koshkina_osnovy_geodezii_i_topografii

Теоретическая сумма углов вычисляется по формулам в зависимости от геометрии хода.

Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма углов вычисляется по формулам:

–для измеренных горизонтальных углов, левых по ходу,

∑βтеор =αк −αн +180o n −360o N;

–для измеренных горизонтальных углов, правых по ходу,

∑βтеор =αн −αк +180o n −360o N ,

где αн – дирекционный угол начальной стороны; αк – дирекционный угол конечной стороны; N – некоторое целое число.

Вычисляется допустимая угловаяневязка fβдоп по формуле fβдоп =t n ,

где t – точность отсчитывания по горизонтальному кругу теодолита; n – число измеренных углов.

Сравниваются фактическая и допустимая невязки.

Если вычисленная невязка fβ больше допустимой fβ доп, то необходимо все пересчитать. Если fβ ≤ fβдоп , то вычисленная угло-

вая невязка распределяется на измеренные углы поровну (но не меньше, чем точность отсчитывания или 0,5′) с противоположным знаком, т.е.

δβ = − fnβ .

Контроль. Сумма всех поправок в углы должна равняться невязке fβ с обратным знаком:

∑δβ = − fβ .

Вычисляются исправленные углы:

βиспр =βизм +δβ .

Контроль. Если уравнивание угловых измерений сделано правильно, то сумма исправленных углов равна теоретической сумме:

∑βиспр = ∑βтеор .

61

Пример вычисления угловой невязки

Сумма измеренных углов

∑βизм =137o38′+128o23′+106o36′=372o37′.

Теоретическая сумма углов, правых по ходу,

∑βтеор =αн −αк +180o n =112o59′−280o23′+180o 3 =372o36′.

Угловая невязка

fβ = ∑βизм −∑βтеор =372o37′−372o36′=+1′.

Допустимая угловая невязка

Вычисленная угловая невязка fβ меньше допустимой fβ доп. Угловая невязка распределяется с обратным знаком на один

угол, т.е. величина поправки –1′. Предпочтение имеют углы, у которых стороны короче.

Вычисляется исправленный угол:

βиспр =137o38′−1′=137o37′.

Контроль уравнивания углов:

∑βиспр =137o37′+128o23′+106o36′=372o36′.

Сумма исправленных углов равна теоретической сумме.

5.3.2. Вычисление дирекционных углов

По известному дирекционному углу исходной стороны αn и по исправленным углам βиспр вычисляются дирекционные углы остальных сторон теодолитногоходапо формуле дляправых по ходу углов:

αn+1 = αn ±180o −βиспр,

т.е. дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус исправ-

ленный угол, правый по ходу.

Если результат получился больше 360°, то из него необходимо вычесть 360°.

62

Для левых по ходу углов формула имеет вид

αn+1 =αn ±180o +βиспр .

Контроль. В результате вычислений в разомкнутом теодолитном ходе должен получиться дирекционный угол конечной стороны. Значение дирекционного угла не может превышать 360° и быть меньше 0°.

Пример вычисления дирекционных углов

Дирекционный угол исходной стороны α1–2 = 112°59′.

α2−3 =112o59′+180o −137o37′=155o22′ ;

α3−4 =155o22′+180o −128o23′= 206o59′;

α4−5 = 206o59′+180o −106o36′= 280o23′ .

Вконце вычислений получился дирекционный угол конечной стороны.

5.3.3. Вычисление приращений координат

При решении прямой геодезической задачи вычисления приращений координат ∆Х и ∆Y выполняются по формулам:

∆X = d cos α; ∆Y = d sin α,

где d – горизонтальное проложение линии; α – дирекционный угол этой линии.

Пример вычисления приращений координат:

∆X1−2 = d1−2 cos α1−2 =169,87 cos 112o59′= −66,33 ; ∆X2−3 = d2−3 cos α2−3 =100,27 cos 155o 22′= −91,14 ; ∆X3−4 = d3−4 cos α3−4 =177,32 cos 206o59′= −158,02 .

∆Y1−2 = d1−2 sin α1−2 =169,87 sin 112o59′=156,39 ; ∆Y2−3 = d2−3 sin α2−3 =100,27 sin 155o 22′= 41,79 ;

∆Y3−4 = d3−4 sin α3−4 =177,32 sin 206o59′= −80,45 .

Пример вычисления тригонометрических функций на калькуляторе приведен в прил. 4.

63

5.3.4. Уравнивание линейных измерений (приращений координат)

Уравнивание линейных измерений выполняется раздельно по осям Х и Y.

Линейная невязка для разомкнутого теодолитного хода вычисляется по следующим формулам:

fX = ∑∆X −∑∆X теор; fY = ∑∆Y −∑∆Yтеор ,

где ∑∆X и ∑∆Y – суммы вычисленных приращений координат

соответственно по оси Х и Y; ∑∆Xтеор и ∑∆Yтеор – теоретическая сумма приращений координат соответственно по оси Х и Y.

Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии хода.

Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма вычисляется по формулам:

∑∆Xтеор = Xк − Xн; ∑∆Yтеор =Yк −Yн ,

где Хн и Yн, Хк и Yк – координаты начальной и конечной точек теодолитного хода соответственно.

Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости. Для этого вычисляются невязки хода:

– абсолютная

fабс = fX2 + fY2 ;

– относительная

fотн = fPабс ,

где Р – сумма длин или горизонтальных проложений, м.

Относительная невязка сравнивается с допустимой fдоп = 20001

или 10001 .

64

Если относительная невязка больше допустимой, то необходимо заново выполнить вычисления в пп. 5.3.3 и 5.3.4.

В случае если полученная относительная невязка допустима, т.е. fотн ≤ fдоп , то вычисляются поправки в приращения координат

пропорционально длинам сторон. Невязки распределяются с об-

ратным знаком.

Поправки в приращения координат δX и δY вычисляются с округлением до 0,01 м по формулам:

где δX и δY – поправки в приращение координат по оси Х и Y соответственно, м; fX и fY – невязки по осям, м; Р – сумма длин, м; di – измеренная длина (горизонтальное проложение), м.

Знак поправки противоположен знаку невязки.

Контроль. После вычисления поправок осуществляем проверку, т.е. складываем все поправки. Если их сумма будет равна невязке с обратным знаком, т.е. ∑δX = − fX и ∑δY = − fY , то распределение невязки выполнено правильно.

Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям, и получаются исправленные приращения координат:

∆Xиспр = ∆Xвычисл +δX ; ∆Yиспр = ∆Yвычисл +δY .

Контроль. При правильных расчетах сумма исправленных приращений координат в разомкнутом теодолитном ходе должна равняться теоретической, т.е. должны выполняться равенства:

∑∆Xиспр = ∑∆X теор; ∑∆Yиспр = ∑∆Yтеор .

Пример вычисления линейной невязки

Вычисляем:

–сумму приращений координат:

∑∆X =(−66,33)+(−91,14)+(−158,02)= −315,49 ,

∑∆Y =156,39 + 41,79 +(−80,45)=117,73 ;

65

–теоретическую сумму приращений координат:

∑∆Xтеор = Xк − Xн =900,32 −1216,12 = −315,80,

∑∆Yтеор =Yк −Yн = 751,64 −633,73 = +117,91;

–невязку по координатным осям:

fX = ∑∆X −∑∆Xтеор = −315,49 −(−315,80)= +0,31, fY = ∑∆Y −∑∆Yтеор =117,73 −117,91 = −0,18;

– абсолютную невязку хода:

fабс = 0,312 +(−0,18)2 = 0,358;

– относительную невязку: fотн = fPабс = 447,460,358 =12491 .

Так как относительная невязка меньше допустимой, то линейные невязки fХ и fY распределяются по приращениям координат.

Пример вычисления поправок в приращения координат:

δX 1 = − fPX d1−2 = −447,0,3146169,87 = −0,12 ;

δX 2 = − fPX d2−3 = − 447,460,31 100,27 = −0,07 ;

δX 3 = − fPX d3−4 = − 447,460,31 177,32 = −0,12 .

66

Пример вычисления исправленных приращений координат:

∆X1−2 =(−66,33)+(−0,12)= −66,45 ;

∆X2−3 =(−91,14)+(−0,07)= −91,21; ∆X3−4 =(−158,02)+(−0,12)= −158,14 .

Сумма исправленных приращений координат получилась равной теоретической.

5.3.5. Вычисление координат точек теодолитного хода

Если контроль при уравнивании приращений координат выполняется, то координаты всех точекходавычисляются по формулам:

Xn+1 = Xn +∆Xиспр; Yn+1 =Yn +∆Yиспр,

т.е. координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение.

Контроль. В результате последовательного вычисления координат точек разомкнутого теодолитного хода должны получиться координаты конечной точки.

Пример вычисления координат точек теодолитного хода: X2 = X1 +∆X =1216,12 +(−66,45)=1149,67 ;

X3 = X2 +∆X =1149,67 +(−91,21)=1058,46 ;

X4 = X3 +∆X =1058,46 +(−158,14)=900,32 .

Y2 =Y1 +∆Y =633,73 +156,46 =790,19 ;

Y3 =Y2 +∆Y = 790,19 + 41,83 =832,02 ;

Y4 =Y3 +∆Y =832,47 +(−80,38)= 751,64 .

67

Вычисления координат точек теодолитного хода выполнены верно, так как в результате получились координаты конечной точки.

5.4. Вычисление отметок точек теодолитного хода

Определение превышений и отметок точек теодолитного хода возможно разными способами. В данной работе рассматривается способ определения превышений методом тригонометрического нивелирования.

Для определения превышений методом тригонометрического нивелирования измеряются углы наклона δ, высота инструмента i (см. табл. 11), высота визирования V. Результаты вычислений на этом этапе заносятся в «Ведомость вычисления отметок точек теодолитного хода» (см. табл. 14).

5.4.1. Вычисление превышений между точками теодолитного хода

Превышения вычисляются с точностью два знака после запятой по формуле

h = d tg δ+i −V ,

где h – превышение между точками теодолитного хода; d – горизонтальное проложение между точками теодолитного хода; δ – угол наклона (вертикальный угол) между точками; i – высота инструмента; V – высота визирования. Результаты вычислений приведены в табл. 14.

Контроль. Прямое и обратное превышения равны по величине и имеют разные знаки (плюс и минус): hпр = −(hобр ). До-

пустимое расхождение в значениях превышений составляет

0,04100d , т.е.

68

Пример вычисления превышений

Превышение между точками 1 и 2 (прямое)

hпр = d tg δпр +iпр −V =169,87 tg (−0o33′)+1,50 −3,0 = = −1,63 +1,50 −3,0 = −3,13 м.

Превышение между точками 2 и 1 (обратное)

hобр = d tg δобр +iобр −V =169,87 tg 1o36′+1,40 −3,0 = = 4,74 +1,40 −3,0 = +3,14 м.

Допустимое расхождение между прямым и обратным превышениями

0,04 169,87 = 0,07 . 100

Прямое и обратное превышения примерно равны по величине (разность 0,01 при допуске 0,07) и противоположны по знаку. Контроль выполняется.

5.4.2. Вычисление средних превышений

Средние превышения вычисляются по формуле

hср =0,5(hпр + hобр ).

В формулу средних превышений прямое и обратное превышения подставляются без знака. Среднее превышение имеет знак прямого превышения.

Пример вычисления средних превышений

Среднее превышение между точками 1 и 2 hср = 0,5 hпр + hобр = 0,5 3,13 +3,14 ≈3,13 .

С учетом знака среднее превышение между точками 1 и 2 равно минус 3,13 м.

5.4.3. Вычисление высотной невязки (уравнивание превышений)

Фактическая высотная невязка вычисляется по формуле

fh = ∑hср −∑hтеор ,

где ∑hср – сумма средних вычисленных превышений; ∑hтеор – теоретическая сумма превышений.

70