Яньков Маткад Модуль 1
.pdf
Требуется построить гистограмму этого ряда. Гистограмма реализуется в Маткаде с помощью нескольких функций. Так как нам уже заданы частоты попадания случайной величины в каждый интервал, то мы построим ее следующим образом:
1.Сформируем векторы интервалов наблюдений v и частот f ( приведены для экономии места в транспонированной форме)
|
2. |
vT = ( −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ) |
f T = ( 0.012 0.05 0.144 0.266 0.24 0.176 0.092 0.02) |
3. Используя функцию Histogram, найдем центры каждого интервала
|
H := histogram(v ,f ) |
|
|
|||
T |
= |
−3.5 |
−2.5 |
−1.5 |
−0.5 |
0.5 1.5 2.5 3.5 |
H |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 0 0 0 |
|
Матрица Н также приведена в транспонированной форме.
Построим плоский график, введя по оси абсцисс первый столбец матрицы Н, а по оси
ординат – вектор f.
i := 0..8
|
|
0.3 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
− 4 |
− 2 |
0 |
2 |
4 |
|
|
H 0 |
|
|
Вызовем на панели форматирования (Formating Currently Selected X-Y Plot) окно Traces ( следы) и в столбце Тип выберем строку Solid Bar.Получим график гистограммы, показанной ниже.
|
|
0.3 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
f i |
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
− 4 |
− 2 |
0 |
2 |
4 |
|
|
(H 0 ) |
i |
|
|
|
|
|
Задача 7. Во многих случаях при статистических вычислениях требуется проводить выравнивание статистических рядов, т.е. сортировку их по возрастанию аргумента.
Для этого можно использовать функцию csort.
Пусть для значений аргумента Х, представленного вектором Х произведены наблюдения Y и Z, представленные векторами y и z.
5 |
3.5 |
12.9 |
|||||||
34.2 |
|||||||||
6 |
6.1 |
||||||||
|
1 |
|
|
4.7 |
|
|
98.0 |
|
|
x := |
4 |
|
y := |
2.9 |
|
z := |
21.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
7.3 |
|
|
43.4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
45.8 |
|
|
2 |
|
8.9 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
31
Для сортировки необходимо сформировать матрицу М, в которой первый столбец составляет вектор Х, второй - вектор У, третий - вектор Z.
Так как нам удобнее начинать отсчет с 1, введем ORIGIN=1 Дальнейшая последовательность действий понятна из рис.7 .
|
ORIGIN := 1 |
|
M 1 := x |
M 2 := y |
M 3 := z |
M := csort ( M ,1 )
1 |
4.7 |
98 |
|
|
2 |
8.9 |
45.8 |
|
|
|
3 |
7.3 |
43.4 |
|
M = |
4 |
2.9 |
21.7 |
|
|
|
|||
|
5 |
3.5 |
12.9 |
|
|
|
|||
6 |
6.1 |
34.2 |
||
Рис. 7 Сортировка по Х.
Цифра 1 в функции CSORT означает, что сортировка производится по первому столб-
цу.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7.ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
В Маткаде имеется целый ряд встроенных функций, позволяющих строить законы распределения случайных величин. К ним, в частности, относятся функции:
1).dnorm(x,µ,σ )- плотность вероятности для нормального распределения. Здесь x- случайная величина, µ- ее математическое ожидание,σ- среднеквадратическое отклонение.
2) dunif(x,a,b)- равномерная плотность вероятности, где a,b- границы интервала рас-
пре
деления. 3).dt(x,d) - плотность вероятности для распределения Стьюдента, где d- число степеней свободы. 4) dchisq(x,d) – плотность распределения χ- квадрат, где х – случайная величина, d- число степеней свободы. 5)dF(x,d1,d2) – плотность вероятности Фишера,
х, d1, d2 – где – x, d1, d2, - случайная величина и две степени свободы, соответственно. Все встроенные функции плотностей вероятностей в Маткаде начинаются с буквы d
(distribution)- распределение.
Ниже приводятся примеры вычисления и построения графиков наиболее часто используемых законов распределения.
Задача 1. По заданным результатам наблюдений построить график нормального закона распределения.
Выражение для нормального закона распределения имеет вид,
|
|
1 |
e− |
( x−m)2 |
f (x) = |
σ |
2σ 2 |
||
|
2π |
|
|
где m – математическое ожидание, а σ – среднеквадратическое отклонение случайной величины х.
Поэтому, прежде всего нужно вычислить эти величины, что и показано на рис.1.
32
|
|
x := −5,−4.95..15 |
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.4 |
|
|
|
|
||
|
7.6 |
dnorm(x,4.8,2.318) |
0.1 |
|
|
|
|
|
|
||||
x := |
2.3 |
mean(x) = 4.8 |
|
|
|
|
|
1.8 |
stdev(x) = 2.318 |
|
|
|
|
|
5.9 |
10 |
0 |
10 |
20 |
|
|
||||||
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Рис.1.Построение нормального закона распределения Задача 2. Построить равномерный закон на интервале 10-20.
y(x) := dunif (x ,5 ,10)
x := −5 .. 15
0.2
y(x) 0.1
10 |
0 |
10 |
20 |
x
Рис.2. Построение равномерного закона распределения. Задача 3. Построить закон распределения хи – квадрат.
Распределением хиквадрат с “d” степенями свободы называется распределение суммы квадратов “d” независимых случайных величин, каждая из которых подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной единице. Аналитически это распределение выражается через гамму - функцию. Закон распределения хи – квадрат используется во многих задачах математической статистики.
|
0.2 |
|
|
|
|
x := 0,0.01..30 |
0.15 |
|
|
||
dchisq(x,5) |
||
dchisq(x,10) 0.1 0.05
0 |
10 |
20 |
30 |
x
Рис. 3. Построение закона распределения хи – квадрат.
В Маткаде этот закон строится с помощью встроенной функции dchisq(x,d) , где х – случайная величина, d- число степеней свободы:
На рис.3 показано построение закона хи – квадрат для двух значений степеней сво-
боды
Задача 4. Построить самостоятельно закон распределения хи-квадрат с 4-мя степенями свободы для 0 ≤ x ≤100
Задача 5. Построить закон z- распределения Фишера.
33
Распределением Фишера с “d1” и “d2” степенями свободы называется распределение
F(χ), где
|
d1 |
|
|
|
∑ξi |
2 |
|
χ = |
i=1 |
|
) |
d 2 |
|
||
|
∑ηi |
2 |
|
i=1
Здесь ξ и η - независимые, нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной единице. Распределение Фишера используется в дисперсионном анализе.
В Маткаде распределение Фишера строится с помощью встроенной функции dF(x,d1,d2)., где х – случайная величина, а “d1” и “d2” – «степени свободы»
На рис.4 показано построение распределения Фишера для нескольких значений степеней свободы.
x := 0,0.1..10 1 0.8 dF(x,3,10) 0.6
dF(x,10,40)0.4
0.2
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
|
|
x |
|
|
Рис. 4. Построение закона распределения Фишера. Задача 5. Построить в Маткаде закон распределения Стьюдента.
Распределением Стьюдента или “t”- распределением называется распределение от-
ношения |
ξ |
|
|
t = |
d |
|
|
1 |
|
||
∑ξi |
2 |
||
|
d |
|
|
|
i=1 |
|
|
где ξ , ξi – независимые, нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Параметр ‘d” называют числом степеней свободы.
x := −5,−4.9..10
dt(
dt(
|
|
0.4 |
|
|
|
|
x,0.1) |
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x,500) |
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
|
|
|
|
− 6 |
− 4 |
− 2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
x |
|
|
|
Рис.5. Построение закона распределения Стьюдента. Распределение Стьюдента широко используется в дисперсионном анализе. В Маткаде
распределение Стьюдента строится встроенной функцией dt(x,d), где х – случайная величина, а “d”- число степеней свободы. На рис. 5. приведено построение этого закона для двух значений степени свободы.
Как известно, функция или интегральный закон распределения F(x) показывает вероятность попадания случайной величины х на отрезок оси абсцисс (-∞, х). и математиче-
ски записывается как
F (x) = ∫−x∞ f (x)
34
где f(x) – соответствующая плотность вероятностей.
В Маткаде эти законы строятся с помощью встроенных функций
pnorm(x,m,σ)- интегральный нормальный закон распределения с математическим ожиданием m и среднеквадратичным отклонением σ;
punif(x,a,b) – интегральный равномерный закон распределения в пределах а и b. pchisq(x,d) – интегральный закон распределения хи – квадрат с “d” степенями свобо-
ды;
pF(x,d1,d2) – интегральный закон распределения Фишера со степенями свободы
“d1”и”d2”.
pt(x,d) – интегральный закон распределения Стьюдента со степенью свободы “d”. Задача 6. Построить функцию распределения для нормального закона с математиче-
ским ожиданием m=5 и среднеквадратическим отклонением σ =2. Построение функции приведено на рис. 6.
x := −10..15
0.8
0.6
pnorm(x,5,2)
0.4
0.2
− |
|
10 |
0 |
|
|
|
|
10 |
20 |
x
Рис.6.Построение интегральной функции нормального закона
Задача 7. Построить функцию распределения равномерного закона в пределах а=0, b=10. Функция построена на рис. 7.
Задача 8. Построить функции распределения для распределений хиквадрат, Фишера и Стьюдента.
Соответствующие функции построены на рис.рис. 8-10
x := 0,0.5..40
x := 0..16
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0.8 |
|
|
|
0.8 |
|
|
|
punif (x,0,10)0.6 |
|
|
|
pchisq(x,5)0.6 |
|
|
|
0.4 |
|
|
|
0.4 |
|
|
|
0.2 |
|
|
|
0.2 |
|
|
|
0 |
5 |
10 |
15 |
0 |
5 |
10 |
15 |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
Рис.7. Построение интегрального закона Рис.8. Функция распределения хиквадрат
равномерного |
распределения |
|
x := 0,0.1..10 |
. |
x := −5,−4.9..10 |
|
|
35
|
1 |
|
|
pt (x,0.1) |
0.75 |
|
|
|
|
|
|
pt (x,500) |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
|
|
− 5 |
0 |
5 |
10 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
0.8 |
|
|
|
pF(x,3,3) 0.6 |
|
|
|
pF(x,10,40)0.4 |
|
|
|
0.2 |
|
|
|
0 |
5 |
10 |
15 |
|
|
x |
|
Рис.9. Функция распределения Фишера. Рис. 10. Функция распределения Стьюдента.
РЕКОМЕДУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ
1.Очков В.Ф. Mathcad 14 для студентов, инженеров и конструкторов БХВПетербург
2007
2.Очков В.Ф. Мультимедийный обучающий курс по Mathcad 13. Курс создан на фирме Мультимедиа Технологии – (495) 673-76-92, www.mmt-dl.ru
3. Интернетфорум exponenta.ru//Mathcad
36