Ляшков-Нач_гем

кости Σ12, Σ22, …, Σ52. На рис. 12.5 показаны наглядные изображения результа-

тов пересечения плоскостями тел, ограниченных конической поверхностью вра- щения.

В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (рис. 12.4, а).

Рис. 12.4

Эллипс получается в том случае, если секущая плоскость пересекает все обра- зующие поверхности и не перпендикулярна оси i (рис. 12.4, б).

Плоскость Σ32 параллельна одной образующей поверхности и пересекает

одну половину конической поверхности. Сечением является парабола (рис. 12.4,

в).

Плоскость Σ42 параллельна двум образующим и пересекает обе половины конической поверхности (сечение – гипербола) (рис. 12.4, г).

Плоскость Σ52 проходит через вершину конической поверхности (сечение – две пересекающиеся прямые) (рис. 12.4, д).

71

72

заданная поверхность линейчатая, то в качестве линии m на поверхности целесо- образно взять прямую (или прямые). Тогда алгоритм решения задачи будет сле- дующим:

1. Спроецируем из точки S прямую n на плоскость Π1, т.е. определим цен- тральную проекцию прямой n на плоскость Π1. Для этого проводим два проеци- рующих луча через точки 1 и 5 прямой до пересечения с плоскостью проекций Π1. Точки 1 и 2 задают центральную проекцию прямой n на Π1.

2.Строим образующие m1 и m2 на конической поверхности, конкурирующие

сn относительно П1 при ее центральном проецировании.

3.Находим точки Α и Β пересечения прямой n с образующими m1 и m2. Точки Α и Β – искомые.

4.Устанавливаем видимость проекций прямой n.

12.4. Пересечение поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, про-

ников.

Рассмотрим подробнее алгоритм решения задачи с использованием поверхностей пос- редников. Этот способ заключается в следующем.

Пусть даны пересекающиеся поверхности Φ и Ψ (рис. 12.10). Введем вспо- могательную секущую поверхность Θ1. Эта поверхность называется посредни- ком. Она пересечет поверхности Φ и Ψ по линиям m1 и k1, соответственно. Пере- сечение линий m1 и k1 даст точку M, принадлежащую искомой линии пересечения t, так как она принадлежит обеим поверхностям. Вводя ряд посредников, получа- ем семейство точек линии пересечения.

В качестве поверхностей посредников наиболее часто применяют плоскости или сферы. В зависимости от вида посредников выделяют следующие наиболее часто применяемые способы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ секущих плоскостей; б) способ сфер.

Посредники выбираются так, чтобы линии mi и ki можно было легко постро- ить, т.е. чтобы они были графически простыми (прямые или окружности).

74

диться на вырожденной проекции поверхности, а значит, известна. Вторая проек- ция линии находится из условия принадлежности ее поверхности. На рис. 12.11 показано построение линии пересечения цилиндрической и конической поверх- ностей вращения. Так как ось цилиндрической поверхности перпендикулярна П1, то на П1 поверхность проецируется в окружность. На эту же окружность проеци- руется и искомая линия. Точки A, B, C, D, E и F – опорные точки. Точки А и F принадлежат горизонтальному, а точка Е – фронтальному контуру цилиндриче- ской поверхности. На фронтальном контуре конической поверхности располо- жены точки В и С. Точка D – экстремальная.

Другие точки линии пересечения, обозначенные цифрами, – промежуточные. Фронтальные проекции линии построены из условия принадлежности ее кониче- ской поверхности.

12.4.1. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения

(рис. 12.12, 12.13).

Решение. Заданные поверхности – по- верхности вращения. Оси заданных по- верхностей параллельны П2, (любой диа-

метр сферы может быть принят за ось вращения), а их общая плоскость симмет-

рии параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, на заданных по-

верхностях можно выделить два семейства окружностей, расположенных в плоско- стях, параллельных горизонтальной плос- кости проекций. Это значит, что для реше-

ния данной задачи можно использовать в качестве посредников гори-зонтальные плоскости уровня.

Рис. 12.12

Характерными точками проекций линии пересечения поверхностей являют- ся точки Α, Β и С, D. Точки Α, Β находятся в пересечении очерковых образую- щих поверхностей, т.к. эти образующие расположены в общей плоскости сим- метрии поверхностей.

Точки С и D являются точками видимости горизонтальной проекции линии пересечения. Их построения выполнены в такой последовательности:

1) через центр сферы О проведена горизонтальная плоскость уровня Θ;

76

12.4.2. Способ концентрических сфер

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные по- верхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумиридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям.

77

Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 12.14, а и рис. 12.14, б показано пересечение сферы цилиндрической и кониче- ской поверхностями вращения, соответственно. На рис. 12.14, в приведены пере- секающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих усло- вий:

ловиям.

Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точ- ки линии пересечения. Точки А, В, K и L, а также E, F, С и D – это точки, при- надлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентриче- ских сфер или с помощью плоскостей посредников Σ(Σ2) и ( 1).

Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Θ(Θ2) с центром в точке О(О2) пересекает конические поверхности по окружно-

стям, которые на П2 проецируются в отрезки mi (m2i ) и ni (n2i ) (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 52=62 их пересечения являются фрон- тальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения по- верхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.

78