1 курс 2 семестр (Математика - задание)

Рис. 11: Область, ограниченная параболой и прямой

Задание 4. Вычислить c помощью полярных координат

∫∫ x2 − y2

Ωx2 + y2 dxdy,

41

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = 9 − 2x + 4y − x2 − 4y2.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 + xy,

−1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 3.

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = xy(1 − x − y).

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) â çà-

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

где область Ω ограничена осями координат и кривой x = acos3t, y = asin3t, 0 ≤

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

42

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = 2x+ y −xy,

0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 4.

4.Вычислить c помощью полярных координат

∫ ∫

x2

Ω x2 + y2 dxdy,

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = exp(4y − x2 − y2).

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) â çà-

мкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 + y2 + x2y + 4, |x| ≤ 1; |y| ≤ 1.

4.Вычислить c помощью полярных координат

∫∫

ln(1 + x2 + y2)dxdy,

Ω

43

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) â çà-

мкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 + 3y2 + x − y, x ≤ 1; y ≤ 1; x + y ≥ 1.

4.Вычислить c помощью полярных координат

∫∫ √

x2 + y2dxdy,

Ω

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = exp(y) cos(x).

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2/2 − xy, y ≥ x2/3; y ≤ 3.

4.Вычислить c помощью полярных координат

∫∫ √

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = x2 + y2 + x21y2 .

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) â çà-

мкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 + y2 − xy + x + y, x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3.

44

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = (2x − x2)(2y − y2).

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = xy −2x−y,

0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 4.

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = x2y2 − 2xy2 − 6x2y + 12xy.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 +y2 −4x,

∫ ∫

dxdy

Ω (x + y + 1)2 ,

+ y2 = R2, y ≥ 0}

−→

z = f(x, y), точка A(x0, y0) и вектор a = (a1, a2). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = x4 + y4 − 2x2.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) â çà-

мкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x3 + 8y3 − 6xy + 1, 0 ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ 1.

45

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = x4 + y4 − 2(x − y)2.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкну-

той области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 −2y + 3, y − x ≤ 1, x ≤ 0; y ≥ 0.

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = 2x4 + y4 − x2 − 2y2.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2y, x2 + y2 ≤ 1.

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = xy2(12 − x − y), x > 0, y > 0.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) â çà-

мкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 + y2 − xy − x − y, x + y ≤ 3; y ≥ 0; x ≥ 0.

46

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = x2y3(6 − x − y).

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = xy(6−x−y), x + y ≤ 12, y ≥ 0; x ≥ 0.

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = (x + y)x−1y−1 − xy.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкну-

той области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x + 3y, x + y ≤ 6; x + 4y ≥ 4, y ≤ 2.

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = (x + y2) exp(x/2).

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) â çà-

мкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = (y2 − x2) exp(1 − x2 + y2), x2 + y2 ≤ 4.

47

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = (5 − 2x + y) exp(x2 − y).

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x3+y3−3xy,

1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по направ-

2.Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции f(x, y), f(x, y) = x2 + xy + y2 − 4 ln x − 10 ln y.

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в замкнутой области Ω, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = y4 − x4, x2 + y2 ≤ 9.

Список литературы

[1]Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1. Издательство "Интеграл-Пресс 2009.

[2]Бугров С.Я., Никольский С.М. Высшая математика: Дифференциальное и интегральное исчисление. Издательство Дрофа, 2004.

48

[3]Булдырев В.С., Павлов Б.С. Линейная алгебра и функции многих переменных. Издательство ЛГУ, 1985.

[4]Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.Н. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. СПб., Кристалл, 2009.

[5]Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, ч.2. М.:МГУ, 2007.

49