MODELIROVANIE_metodichka

Порядок опытов рандомизировали посредством таблицы слу- чайных чисел, что исключает влияние неконтролируемых пара- метров на результаты эксперимента. Опыты в каждой точке мат- рицы выполняли два раза.

В результате статистической обработки эксперименталь- ных данных получены уравнения регрессии, адекватно описы- вающие при 5-ти % уровне значимости зависимости сопротивле- ния сдвигу вафельного листа относительно начинки y1 и удельно- го усилия резания вафель y2 от изучаемых факторов:

щие в уравнении (22) имеют разные знаки, то поверхность откли- ка, описываемая уравнением (20), представляет собой гиперболи- ческий параболоид с характерной центральной точкой «мини-

X1s = −5,91 и X 2s = −1,7 находятся на значительном удалении от

области эксперимента. Двумерные сечения поверхности отклика, представленные в виде линий равного уровня y1 = const для об-

180

Поскольку канонические коэффициенты B11 и B22 в урав-

нении (23) имеют разные знаки, то поверхность отклика, описы- ваемая уравнением (21), представляет собой гиперболический параболоид с характерной центральной точкой «минимакс», в которой функция отклика принимает значение Ys = 1,702 кПа.

перимента. Двумерные сечения поверхности отклика, представ- ленные в виде линий равного уровня y2 = const для области экс- перимента -1,41 £ Х1 £ +1,41 и -1,41 £ Х2 £ +1,41 имеют вид па-

рабол (рис. 6).

Задачу оптимизации решали в три этапа.

На первом этапе для поиска оптимальных параметров X1 и X 2 задачу оптимизации сформулируем так: необходимо найти такие значения независимых переменных X1 и X 2 , обеспечи- вающих условный экстремум (максимум) функции отклика y1 = f1(X1, X2 ), т. е. максимум сопротивления сдвигу вафельного листа относительно начинки. Значения независимых переменных X1 и X 2 при этом не должны выходить за область эксперимента,

границы которой определяются значениями факторов в звездных точках. Указанное ограничение аналитически может быть запи-

сано в виде выражения

что в факторном пространстве (для случая двух независимых пе- ременных) представляет собой сферу с центром в центре экспе- римента и с радиусом ρ.

Таким образом, постановка задачи оптимизации аналитиче-

ски записывается как

181

Поставленную задачу оптимизации (25) решим, используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этого соста-

вим целевую функцию вида

где λ – неопределенный множитель Лагранжа.

С учетом уравнения регрессии (20) и ограничение (24), ко- торое накладывается на независимые переменные, целевую функцию (26) представим как

Для решения системы уравнений (28) с последующим вы-

числением значения функции отклика по уравнению регрессии (20) воспользуемся интегрированным математическим пакетом MAPLEW 8. Расчет проводим при изменении радиуса сферы в диапазоне от 0,8 до 1,6 с интервалом 0,2. Выбор диапазона 0,8 ≤ ρ ≤1,6 обусловлен тем, что y1 ® max при X1, X 2 ® max .

Результаты вычислений представлены в табл. 4.

169

Как видно из результатов оптимизации (см. табл. 4) даль- нейшее продвижение по поверхности отклика, хотя и приводит к возрастанию параметра оптимизации, является невозможным, так как значения факторов выходят за границы области эксперимен- та. В связи с чем оптимальными значениями независимых пере- менных следует признать X1 = 0,89 и X 2 =1,07 , при которых

достигается условный экстремум (максимум) функции отклика y1 = 2,125 кПа.

На втором этапе для поиска оптимальных параметров X1 и X 2 задачу оптимизации сформулируем так: необходимо найти такие значения независимых переменных X1 и X 2 , обеспечи- вающих условный экстремум (минимум) функции отклика y2 = f2 (X1, X2 ), т. е. удельного усилия резания вафель. Значения независимых переменных X1 и X 2 при этом не должны выхо-

дить за область эксперимента, границы которой определяются значениями факторов в звездных точках.

По аналогии с условием (25) аналитически представим по-

становку задачи оптимизации

С учетом уравнений (21) и (24) составим целевую функцию

170

Систему уравнений (31) решаем при значении радиуса сфе- ры 1,41 (табл. 5). При этом для каждого фиксированного значе- ния ρ получаем несколько решений, поскольку поверхность от- клика имеет вид гиперболического параболоида. Выбор ρ =1,41

обусловлен тем, что по условию задачи оптимизации y2 ® min . Это достигается при X1 ® min и X 2 ® max , что следует из рас-

смотрения регрессионных коэффициентов, стоящих при линей- ных членах уравнения (21).

Как видно из результатов оптимизации (см. табл. 5), оп- тимальными значениями независимых переменных следует при- знать результаты, полученные на 4 шаге X1 = -0,29 и X 2 =1,38 ,

при которых достигается условный минимум функции отклика y2 = 0,856 кН/м.

171

Следующим этапом оптимизации явился поиск оптималь- ных значений переменных X1 и X2 , при которых достигается

максимум y1 при некотором заданном значении y2.

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. При этом будем искать

172

Ранее установлено, что одновременно y1 → max и y2 → min при значении радиуса сферы ρ = 1,41, поэтому поиск

условного экстремума проводим при указанном значении ρ. Сис- тему уравнений (34) решаем при изменении значения функции отклика y2 в диапазоне от 1,6 до 1,0 с интервалом 0,2 (табл. 6).

полученные на 4-м шаге. В связи с чем оптимальными значения- ми независимых переменных следует признать X1 = −0,87 и X2 = 1,1, при которых достигается условный экстремум функции отклика y1 = 2,02 кПа.

Переходя к натуральным переменным, имеем оптимальные значения дозировок экструдата x1 (%) и муки нутовой x2 (%) (табл. 7).

Следующим этапом работы явилась экспериментальная проверка найденных оптимальных параметров и оценка степени точности и надежности полученных значений параметров опти- мизации.

При оптимальных значениях x1 = 13,83 %; x2 = 92,28 % бы- ли изготовлены образцы изделий (n = 10 шт.), для которых опре- деляли сопротивление сдвига вафельного листа относительно на-

173

чинки y1 и удельное усилие резания вафель y2. В табл. 8 пред- ставлены средние арифметические значения указанных парамет- ров yэ и дисперсии S2, полученные по результатам 10-ти парал- лельных опытов.

Как видно из табл. 8, расчетные и экспериментальные зна-

чения параметров оптимизации несколько отличаются друг от друга. Для того, что бы эти различия признать несущественными и объяснить только случайной ошибкой, была выдвинута нуль- гипотеза о том, что расчетные и экспериментальные значения

каждого параметра оптимизации принадлежат к одной и той же генеральной совокупности.

Для проверки выдвинутой нуль-гипотезы воспользуемся распределением Стьюдента. При этом для каждого параметра оп-

тимизации вычисляем расчетное значение критерия Стьюдента (см. табл. 8)

Сравнение каждого значения tр с табличным значением критерия Стьюдента tт = 2,29 (при числе степеней свободы f = 9 и принятой доверительной вероятности γ = 95 %), показывает для каждого параметра оптимизации выполняется условие tр < tт .

Это указывает на то, что выдвинутая нуль-гипотеза может быть принята, т. е. различия между расчетным и экспериментальным

значениями каждого параметра оптимизации следует признать несущественными (с доверительной вероятностью 95 %) и объяс- нить только случайной ошибкой.

Ошибку предсказания значения параметра оптимизации δ

определяли по формуле

174

Результаты вычислений по каждому параметру оптимиза- ции представлены в табл. 8 в виде доверительных интервалов

yр ± δ при принятой доверительной вероятности γ = 95 %.

Как видно из результатов табл. 8, экспериментальные зна- чения параметров оптимизации не выходят за границы соответст- вующих доверительных интервалов, полученных расчетным пу- тем, что указывает на достоверность и надежность полученных результатов.

175