3114
.pdfЗадание 7. Как и в предыдущей задаче, найти вероятность случая, когда заданным словом является ваша фамилия.
Задание 8. Бросают две монеты. Найти вероятности того, что:
1)на обеих монетах появится «герб»;
2)хотя бы на одной монете появится «герб»;
3)ни на одной монете не появится «герб». Бросают три монеты. Найти вероятности того, что:
4)на всех монетах появится «герб»;
5)хотя бы на одной монете появится «герб»;
6)только на двух монетах появится «герб»;
7)только на одной монете появится «герб»;
8)ни на одной монете не появится «герб». Бросают четыре монеты. Найти вероятности того, что:
9)на всех монетах появится «герб»;
10)хотя бы на одной монете появится «герб»;
11)только на одной монете появится «герб»;
12)только на двух монетах появится «герб»;
13)только на трех монетах появится «герб»;
14)ни на одной монете не появится «герб».
Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что на верхней грани появится:
15)четное число очков;
16)«1» или «6».
Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится следующие числа очков:
17)только четные;
18)одно четное, другое не четное;
19)сумма которых четна;
20)сумма которых нечетна;
21)сумма которых больше, чем их произведение;
22)сумма которых меньше шести;
23)сумма которых больше восьми.
Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится следующие числа очков:
24)только четные;
25)одно четное, остальные нечетные;
26)сумма которых четна;
27)сумма которых нечетна;
28)которые все одинаковые;
29)которые все различные;
30)сумма которых делится на четыре;
31)сумма которых делится на пять.
11
Задание 9. В магазине выставлены для продаж n изделий, среди которых k изделий некачественные (табл. 1). Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий будут некачественными?
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
Вариант |
n |
k |
m |
Вариант |
n |
k |
|
m |
1 |
20 |
6 |
2 |
16 |
15 |
5 |
|
2 |
2 |
18 |
8 |
3 |
17 |
17 |
6 |
|
3 |
3 |
16 |
6 |
2 |
18 |
18 |
8 |
|
4 |
4 |
14 |
5 |
3 |
19 |
20 |
7 |
|
2 |
5 |
12 |
4 |
3 |
20 |
22 |
6 |
|
3 |
6 |
10 |
4 |
2 |
21 |
26 |
8 |
|
2 |
7 |
18 |
6 |
3 |
22 |
28 |
7 |
|
3 |
8 |
22 |
8 |
2 |
23 |
30 |
10 |
|
2 |
9 |
24 |
10 |
3 |
24 |
26 |
6 |
|
2 |
10 |
26 |
6 |
2 |
25 |
28 |
10 |
|
3 |
11 |
30 |
8 |
3 |
26 |
14 |
5 |
|
2 |
12 |
25 |
7 |
2 |
27 |
18 |
5 |
|
3 |
13 |
23 |
6 |
3 |
28 |
16 |
4 |
|
2 |
14 |
24 |
8 |
2 |
29 |
17 |
3 |
|
2 |
15 |
30 |
9 |
3 |
30 |
19 |
6 |
|
3 |
Задание 10. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект (табл. 2). Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными?
Таблица 2
Вариант |
N |
n |
m |
k |
Вариант |
N |
n |
m |
k |
1 |
20 |
4 |
5 |
2 |
16 |
20 |
5 |
4 |
1 |
2 |
30 |
5 |
5 |
3 |
17 |
16 |
6 |
5 |
3 |
3 |
20 |
5 |
4 |
2 |
18 |
18 |
5 |
4 |
2 |
4 |
25 |
6 |
5 |
3 |
19 |
14 |
4 |
3 |
1 |
5 |
15 |
4 |
3 |
2 |
20 |
10 |
4 |
3 |
2 |
6 |
20 |
6 |
4 |
1 |
21 |
16 |
5 |
3 |
2 |
7 |
30 |
4 |
3 |
2 |
22 |
20 |
6 |
4 |
3 |
8 |
16 |
4 |
3 |
2 |
23 |
26 |
5 |
4 |
2 |
9 |
18 |
6 |
5 |
3 |
24 |
32 |
8 |
5 |
3 |
10 |
12 |
5 |
4 |
2 |
25 |
34 |
10 |
6 |
4 |
11 |
30 |
10 |
5 |
3 |
26 |
30 |
6 |
5 |
3 |
12 |
26 |
8 |
6 |
4 |
27 |
25 |
5 |
3 |
2 |
13 |
24 |
8 |
5 |
3 |
28 |
24 |
6 |
4 |
3 |
14 |
22 |
6 |
4 |
2 |
29 |
28 |
8 |
5 |
2 |
15 |
20 |
5 |
3 |
2 |
30 |
24 |
6 |
3 |
2 |
12
Задание 11. В квадратном окне со стороной а имеется прямоугольная форточка со сторонами b и с. Во время игры мяч случайно попадает в окно. Какова вероятность того, что мяч через открытую форточку влетит в комнату, не разбив окна (событие А)? Какова вероятность того, что окно разобьется (событие В)?
Значение параметров а, b и с по вариантам приведены в табл. 3.
Таблица 3
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
a |
6 |
5 |
4 |
7 |
5 |
5 |
5 |
5 |
6 |
6 |
6 |
6 |
4 |
5 |
6 |
b |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
c |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
2 |
Вариант |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
a |
5 |
5 |
6 |
7 |
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
7 |
6 |
5 |
4 |
4 |
6 |
b |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
c |
3 |
3 |
1 |
3 |
3 |
2 |
2 |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
2 |
1 |
1 |
Задание 12. По цели произведено 40 выстрелов, причем зарегистрировано N попаданий. Найти относительную частоту попадания в цель.
Решение типового варианта
1. Студент знает ответы на 22 вопроса из 30. Найти вероятность того, что он вытащит на зачете известный ему вопрос.
Решение:
Определим испытание и его результат, т.е. элементарное событие. Испытанием является выбор студентом билета, результатом – известным или неизвестным для него окажется вопрос в этом билете. Исследуемое событие А – студент вытащил известный для него вопрос. Вероятность события А вычислим по формуле (1.1):
P(A) = mn .
Общее количество элементарных исходов n = 30, количество элементарных исходов, благоприятствующих событию А m = 22 . Имеем:
P(A) = 3022 = 1511 .
Ответ: P(A) = 1511 .
2. В группе 15 девушек и 12 юношей. По жребию выбирают одного человека. Найти вероятность следующих событий:
А – отобран юноша; В – отобрана девушка.
Решение:
13
Событие А – отобран юноша.
Общее число возможных исходов: n = 15 +12 = 27 . Число исходов, благоприятствующих событию А m = 12. По формуле (1.1) имеем:
P(A) = 1227 = 94 .
Событие В – отобрана девушка. n = 27 , m = 15, P(В) = 1527 = 95 . Ответ: P(A) = 94 , P(В) = 95 .
3. Сколькими способами можно расставить 12 книг на книжной полке? Решение. Способов расставить книги на полке столько, сколько возможно перетасовок из 12 элементов. По формуле (1.2) имеем:
Pn = n!
P12 = 12!= 1 2 3 ... 12 = 479001600. Ответ: 479001600.
4. Сколькими способами можно из 10-ти человек выбрать счетную комиссию из 4-х человек?
Решение. Порядок отбора людей в счетную комиссию не важен, поэтому число таких счетных комиссий вычислим как сочетание из 10 элементов по 4. По формуле (1.3) получаем:
C4 |
= |
10! |
|
= 210 . |
|
|
|||
10 |
|
4!(10 − 4)! |
|
|
|
|
|
||
Ответ: 210.
5. Сколькими способами можно распределить первые четыре места в команде из 10-ти человек?
Решение. Порядок распределения первых мест важен, поэтому вычислим количество размещений из 10 элементов по 4. По формуле (1.4) получаем:
А104 = 106!! = 5040 .
Ответ: 5040.
6. Слово «Первообразная» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятности того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.
Решение. Событие А – получено слово «первообразная». Все возможные исходы, это перестановки из 13 букв, значит, по формуле (1.2) имеем:
n = 13!= 6227020800 .
14
Некоторые буквы в слове «первообразная» повторяются (Р – 2 раза, О – 2 раза, А – 2 раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменится. Их число равно
Таким образом |
|
т = 2! 2! 2!= 8. |
|
|||||
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Р( А) = |
|
= |
. |
|||
|
1 |
13! |
778377600 |
|||||
|
|
|
|
|||||
Ответ: Р(А) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
778377600 |
|
|
|
|
|
|
||
7.Задача решается аналогично предыдущей.
8.Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять. Определим испытание и его результат, т.е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом одно из сочетаний очков 1, ..., 6 на верхних гранях трех костей.
Решение. Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы (1.1):
P( A) = mn .
Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 6 6 = 216
Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А, найдем выписав всевозможные испытания и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросаний первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:
113 |
154 |
235 |
316 |
361 |
442 |
523 |
564 |
645 |
122 |
163 |
244 |
325 |
366 |
451 |
532 |
613 |
654 |
131 |
212 |
253 |
334 |
415 |
456 |
541 |
622 |
663 |
136 |
221 |
262 |
343 |
424 |
465 |
546 |
631 |
|
145 |
226 |
311 |
352 |
433 |
514 |
555 |
636 |
|
В результате получаем, что P(т) = 43 , значит P( A) = 21643 .
Ответ: P( A) = 21643 .
9. В магазине продается 17 изделий из которых 5 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 2 изделия будут некачественными?
Решение. Испытание – выбор 2-х изделий из 17. Событие А – оба выбранных изделия оказались некачественными.
15
Общее число возможных исходов n равно количеству сочетаний по 2 из 17.
n = C2 |
= 16 |
17 = 136 . |
17 |
1 |
2 |
|
Число исходов, благоприятствующих событию А m равно количеству сочетаний по 2 из 5.
т = C52 = 14 25 = 10
Итак, искомая вероятность P( A) = mn = 13610 = 685 .
Ответ: P( A) = 685 .
10. В партии из 19 изделий 6 имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 5 изделий 2 являются дефектными?
Решение. Испытание – выбор пяти изделий из 19. Событие А – из пяти изделий две с дефектом, а значит остальные 3 – без дефекта.
Общее число возможных исходов n определим как кол-во сочетаний по 5 элементов из 19.
n = C5 |
= 15 16 17 18 19 |
= 11628 . |
19 |
1 2 3 4 5 |
|
|
событию А m определим, |
|
Число исходов, благоприятствующих |
||
использую правило умножения, т.к. среди отобранных изделий 2 из 6 дефектные и значит, оставшийся 3 из 13 без дефекта.
т = C 2 С3 |
= 5 |
6 11 12 13 = 4290 . |
||
6 |
13 |
1 |
2 |
1 2 3 |
|
|
|||
Итак, искомая вероятность P(A) = m |
= 4290 = 0,369 |
|||
Ответ: P( A) = 0,369 . |
|
|
n |
11628 |
|
|
|
|
|
11. В квадратном окне |
со стороной а = 1,5 имеется прямоугольная |
|||
форточка со сторонами b = 0,5 , c = 0,7 . Во время игры мяч случайно попадает в
окно. Какова вероятность того, что мяч через открытую форточку влетит в комнату, не разбив окна (событие А)? Какова вероятность того, что окно разобьется (событие В)?
Решение. Событие А – мяч попал в открытую форточку.
|
|
|
Пусть SD - |
площадь области D – всех |
|
|
|
|
|||
0,5 |
|
|
возможных исходов |
|
|
|
|
|
n = S |
D |
= 1,52 = 2,85 . |
0,7 |
1,5 |
||||
|
|
Sd - площадь области d соответствующий всем |
|||
|
|
|
благоприятствующим событию А исходам |
||
|
|
|
m = 0,5 0,7 = 0,35. |
||
|
|
|
Тогда по формуле (1.6) получаем: |
||
|
|
|
|||
|
|
|
16 |
|
|
P( A) = Sd = 0,25 = 0,156 . SD 2,25
Событие В – окно разбилось т.е. мяч не попал в форточку, является противоположным для события А, поэтому его вероятность можно вычислить по формуле:
P(B) = 1 − P(A) = 0,844 . Ответ: P( A) = 0,156 , P(B) = 0,844 .
12. По цели произведено 30 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попаданий в цель. Найти относительную частоту попадания в цель.
Решение. Событие А – попадание в цель при одном выстреле. Общее число проведенных испытаний (выстрелов) n = 30, число испытаний, в которых событие А произошло (попадание в цель) m = 18. Относительную частоту попадания в цель W (A) вычислим по формуле (1.5)
W (A) = mn = 1830 = 53 .
Ответ: W (A) = 53 .
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В.
Произведение нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий: |
|
P(A + B) = P(A) + P(B) . |
(2.1) |
Если событие А и В совместные, вероятность их суммы вычисляется по формуле:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) . |
(2.2) |
17 |
|
где АВ – произведение событий А и В.
Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:
n |
|
n |
|
P ∑ Ai |
= ∑ P(Ai ) . |
(2.3) |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
Если событие Ai совместны, вероятность их суммы вычисляют по формуле:
n |
|
= ∑P(A ) − ∑P(A A ) + ∑ P(A A A ) −... |
|||||
P ∑A |
|||||||
i=1 |
i |
i |
i |
i, j |
i j |
i, j,k |
i j k |
...+ (−1)n−1P(A A ...A ). |
|
|
(2.4) |
||||
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов i, j,k,..., взятых по одному, по две, по три и т.д.
Следствия из теоремы сложения
1. Если событие A1A2...An несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:
n
∑ P( Ai ) = 1. (2.5)
i=1
2. Сумма вероятностей противоположных событий А и A равна единице:
|
|
= 1. |
|
P(A) + P(A) |
(2.6) |
||
Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них P(A) , умноженной на условную вероятность другого при наличии первого
P(B
A) :
P(AB) = P(A) P(B A) . |
(2.7) |
Для независимых событий
18
P(AB) = P(A) P(B) . |
(2.8) |
Если событие A1A2...An независимы, то
n |
|
n |
|
|
|
P П A |
= П P(A ) |
. |
(2.9) |
||
i=1 |
i |
i=1 |
i |
||
АЗ – 1.2
1. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события:
А – появление герба на первой монете; В – появление цифры на первой монете; С – появление герба на второй монете; D – появление цифры на второй монете; Е – появление хотя бы одного герба; F – появление хотя бы одной цифры;
G – появление одного герба и одной цифры; H – непоявление ни одного герба;
K – появление двух гербов.
Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события:
1) A+С; 2) АС; 3) ЕF; 4) G+E; 5) GE; 6) BD; 7) Е+К.
Ответ: 1) А+С=Е; 2) АС=К; 3) EF=G; 4) G+Е=Е; 5) GE=G; 6) BD=H; 7)
Е+К=Е.
2. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события А1 – попадание при i-м выстреле (i = 1,2, 3).
Представить в виде сумм, произведений или сумм произведений событий
Аi и Аi следующие события:
А – все три попадания; В – все три промаха;
С – хотя бы одно попадание; D – хотя бы один промах;
Е – не меньше двух попаданий; F – не больше одного попадания;
G – попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле.
Ответ: 1) А= А1 А2 А3 ;
2)В = А1 А2 А3 ;
3)С = А1 + А2 + А3 или С = А1 + А1 А2 + А1 А2 А3
19
или С = А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 ;
4)D = А1 + А2 + А3 ;
5)E = А1 А2 А3 + А1 А2 А1 + А1 А2 ;
6)F = А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 ;
7)G = А1А2 = А1 А2 А3 .
3.Событие В является частным случаем события А, т. е.
из появления события В с достоверностью вытекает появление |
А |
события А. Чему равны: 1) их сумма; 2) их произведение? |
|
Ответ: 1) А + В = А; 2) АВ = В. |
В |
4. Назвать противоположные для следующих событий: А – выпадение двух гербов при бросании двух монет;
В – появление белого шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых, 3 черных и 4 красных шара;
С – три попадания при трех выстрелах;
D – хотя бы одно попадание при пяти выстрелах; Е – не более двух попаданий при пяти выстрелах; F – выигрыш первого игрока при игре в шахматы.
Ответ: A – выпадение хотя бы одной цифры;
В– появление черного или красного шара;
С– хотя бы один промах;
D – все пять промахов; Е – более двух попаданий;
F – выигрыш второго или ничья.
5. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события:
А – выпадение герба на первой монете; D – выпадение хотя бы одного герба; Е – выпадение хотя бы одной цифры; F – выпадение герба на второй монете.
Определить, зависимы или независимы пары событий: 1) А и Е; 2) А и F; 3) D и Е; 4) D и F.
Определить условные и безусловные вероятности событий в каждой паре.
Ответ: 1) P(E) = 34 ; P(E A) = 12 ; события зависимы.
2)P(A) = 12 ; P(A F) = 12 ; события независимы.
3)P(D) = 34 ; P(D E) = 23 ; события зависимы.
4)P(D) = 34 ; P(D F) = 1; события зависимы.
20