ТСАУ (часть 1)

мы; второе (со знаком минус) – T – для большинства систем равно нулю;

qi

третье – Ф – определяет силы сопротивления, приводящие к рассеянию меха-

qi

нической энергии в системе; четвертое – П – выражает потенциальные силы

qi

(силы тяжести, упругости и т. п.).

Кинетической энергией обладают тела, имеющие массу m, если совершают поступательное движение, и моментом инерции J, если совершают вращательное движение (либо оба движения одновременно – плоскопараллельное движение). В общем случае выражение для кинетической энергии системы имеет вид:

где mi, qi – масса поступательно движущегося элемента и его скорость;

Jj, q j – момент инерции вращательно движущегося элемента и его угловая

скорость.

В случае рассмотрения динамики малых колебаний в механической системе все силы тяжести, не создающие вращающего момента и которые можно определить путем решения задачи статики, для упрощения расчетов можно исключить. Тогда потенциальная энергия определяется только свойствами всех упругих элементов согласно выражению:

где ci – жесткость произвольного упругого элемента;

i – деформация этого элемента, которую необходимо выразить через заданные обобщенные координаты.

Диссипативная функция системы определяется аналогичным образом для всех элементов, рассеивающих механическую энергию:

10

где βj – коэффициент вязкого трения диссипативного элемента или эквивалентный ему в случае, если элемент рассеивает энергию за счет сухого трения или каким-либо другим образом;

j – скорость деформация этого элемента, которую также необходимо вы-

разить через скорости обобщенных координат.

Обозначение элементов, обладающих массой, и их связей в системе приведено на рис. 3.

Рис. 3. Обозначение элементов механической системы на расчетной схеме: тела, движущиеся поступательно (а), вращательно (б) и плоскопараллельно (в); диссипативная (г) и упругая (д) связь

Для определения обобщенной силы Fi необходимо записать выражение для возможной мощности через скорость обобщенной координаты qi , а также для суммы возможных мощностей всех активных сил, приложенных в различных точках системы, через скорости этих точек при условии что все скорости обобщенных координат равны нулю, кроме выбранной i-й координаты:

k1

Ввыражении (20) присутствуют скалярные произведения, вычисляемые в общем виде по формуле:

где a, b – модули векторов a и b;– угол между ними.

11

Далее для каждого уравнения необходимо с помощью кинематических преобразований выразить скорости всех точек через одну, например, через скорость самой обобщенной координаты qi , а затем сократить левую и правую части выражения (20) на эту скорость:

k 1

здесь Fi и Fk – модули сил;

bk – некоторые числовые коэффициенты, полученные в процессе кинематических преобразований.

После определения всех составляющих уравнения Лагранжа 2-го рода для каждой обобщенной координаты в расчетной схеме механической системы или соотношений между падением напряжения на каждом из элементов и протекающим через него током в электрической схеме можно составить систему, содержащую однородные или неоднородные дифференциальные уравнения. Количество этих уравнений определяется числом степеней свободы механической системы или количеством токов в электрической цепи.

Полученные дифференциальные уравнения системы необходимо преобразовать в операторную форму, пользуясь прямым односторонним преобразованием Лапласа:

где L{x(t)} – оператор Лапласа;

x(t) – оригинал сигнала (функция времени); X(s) – изображение сигнала по Лапласу.

При определении передаточной функции принимают нулевые начальные условия для системы уравнений. При этом нужно отметить следующие основные свойства преобразования Лапласа:

1) Y(s) = a X(s), если y(t) = a x(t) и a = const; 2) Y(s) = X(s) + Z(s), если y(t) = x(t) + z(t);

3) Y(s) = s X(s), если y(t) dx(t) (при нулевых начальных условиях); dt

4) Y(s) = 1/s X(s), если y(t) x(t)dt.

12

Для успешного решения задачи необходимо, чтобы число уравнений в системе равнялось числу неизвестных сигналов, включая искомые и промежуточные. При этом входной сигнал считается заданным и слагаемые, содержащие его, должные располагаться в правой части неоднородного уравнения.

Если динамика системы задана уравнением (1), то, преобразовав его по Лапласу, получим выражение в операторной форме:

откуда можно выразить передаточную функцию в виде отношения двух полиномов:

где X(s) и Y(s) – изображения входного и выходного сигналов.

В случае, когда система содержит несколько неизвестных сигналов, необходимо решить эту систему в операторной форме (она будет содержать линейные алгебраические уравнения) для искомого сигнала, выразив его через входной сигнал, а затем из полученного решения выразить соотношение для передаточной функции, поделив изображение выбранного выходного сигнала Yi(s) на изображение входного сигнала X(s).

Если внешних воздействий в системе несколько, то необходимо определять передаточные функции по каждому из них отдельно, принимая остальные входные сигналы равными нулю. Затем в линейной системе согласно принципу суперпозиции можно определить произвольную i-ю выходную координату как сумму реакций системы на каждое из этих воздействий с учетом соответствующей передаточной функции:

1.2. Задание для самостоятельной работы

Задана расчетная схема механической (нечетные варианты) или электрической (четные варианты) системы (рис. 4). Параметры системы и сигналы в ней для нечетных вариантов приведены в табл. 1, для четных – в табл. 2.

13

Вмеханической системе внешнее воздействие может быть силовым (сила F(t) и момент силы M(t)) или кинематическим – перемещение точки системы η(t). Выходными сигналами являются обобщенные координаты. Параметры системы: m – масса и J – момент инерции тел, β – коэффициент вязкого трения

иc – жесткость связей, a и b – линейные размеры.

Вэлектрической схеме входным сигналом является напряжение на первом каскаде схемы e1(t), выходные сигналы – напряжение e2(t) на выходном сопротивлении последнего каскада и ток i2(t), протекающий через элементы, составляющие это сопротивление. Параметры системы: R – активное сопротивление резисторов, L – индуктивность катушек, C – емкость конденсаторов.

Определить систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы и найти передаточные функции для выходных сигналов по внешнему воздействию.

Рис. 4. Расчетные схемы динамических систем (по вариантам)

14

M

Рис. 4, лист 2

15

Рис. 4, лист 3

16

Т а б л и ц а 1

Параметры и сигналы механической системы

17

Дополнительное задание. Определить временные характеристики системы (импульсную и переходную).

Указание. Для решения задачи можно воспользоваться обратным преобразованием Лапласа и тем свойством, что импульсная характеристика является оригиналом передаточной функции и первой производной переходной характеристики.

1.3.Контрольные вопросы

1)Что такое передаточная функция?

2)Как перейти от системы дифференциальных уравнений к передаточным функциям и обратно?

2.ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ САУ

2.1.Теоретические сведения

В некоторых случаях для упрощения задачи составления дифференциальных уравнений динамики системы и исследования ее динамических свойств можно воспользоваться представлением системы в виде структурной схемы, состоящей из динамических звеньев с типовыми передаточными функциями, соответствующих отдельным функциональным устройствам реальной САУ. Чтобы проводить дальнейшие расчеты динамических характеристик системы, ее исходную модель, представленную структурной схемой, следует представить в удобном виде, соответственно возникает задача преобразования структурной схемы САУ.

В любой схеме САУ всегда можно выделить следующие основные элементы: одномерное динамическое звено, узел (разветвление), сумматор и устройство сравнения (табл. 3). Более сложные конструкции, имеющие место в частных случаях моделирования отдельных видов систем, могут быть представлены с помощью определенной комбинации указанных базовых элементов. Принципиальной разницы между сумматором и устройством сравнения нет, отличие заключается только в знаке арифметической операции, применяемой к сигналам. Тем не менее у устройства сравнения помимо входов, сигналы на которых вычитаются, как правило, существует единственный вход, в который сигнал пода-

18

ется со знаком плюс. Именно с этим сигналом производится сравнение остальных, располагается этот вход на одной линии с выходом устройства сравнения. У сумматора в свою очередь все сигналы складываются.

Т а б л и ц а 3

Базовые элементы структурной схемы САУ

При решении данного вида задач исходную структурную схему стремятся привести к типовому виду (рис. 5): в виде единственного динамического звена (для случая исследования разомкнутой системы) либо в виде схемы с единичной (жесткой) отрицательной обратной связью (для случая анализа замкнутой системы).

Рис. 5. Типовая структурная схема линейной разомкнутой (а) и замкнутой (б) системы

Различают три основных вида соединения динамических звеньев (рис. 6): последовательное, параллельное согласное и параллельное встречное. Каждое из указанных соединений можно заменить одним динамическим звеном с передаточной функцией, определяемой по формуле:

для последовательного соединения –

19