Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Трофимов Агульник

.pdf

Скачиваний:

123

Добавлен:

11.04.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Доказательство эквивалентностей 7 и 8 предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

§3.9. Вычисление пределов с помощью эквивалентных величин

Приведенный выше список эквивалентностей играет существенную роль при вычислении пределов. Следующие теоремы обосновывают это применение.

Теорема

3.17.

Если f (x) f1 (x)

g (x) g1 (x), при

x → x0 , то из

существования

предела

f1 (x)

при

x → x0 ,

следует

существование

g1 (x)

f ( x)

предела

при x → x , и справедливо равенство

g (x)

lim

f ( х)

= lim

f1 ( x)

(3.7)

х→ х0

g ( х)

x→ x0

( x)

Доказательство. Рассмотрим левую часть равенства (3.7). Выражение, стоящее под знаком предела, умножим и разделим на f1 (x) g1 (x). Тогда получим

		lim	f (х)	= lim	f (x) f1(x) g1(x)	.
		lim	g(х)	= lim		.
		х→х0	g(х)	x→x0	g(x) f1(x) g1(x)
		х→х0		x→x0
Преобразуем правую часть этого последнего равенства. Учитывая, что, по
условию, lim	f1 (x)	существует,		и,	воспользовавшись тем, что предел
условию, lim	g1 (x)	существует,		и,	воспользовавшись тем, что предел
x→x0	g1 (x)
x→x0

произведения равен произведению пределов при условии, что предел каждого компонента существует, получаем:

lim

f (x) f1 (x) g1(x)

= lim

f (x)

lim

g1(x)

lim

f1(x)

(3.8)

f1(x)

g(x)

x→x0

g(x) f1

(x) g1(x)

x→x0

g1(x)

Так как

f (x) ~ f1 (x),

g1 (x) ~ g (x) при x → x0 , то

в правой части

(3.8)

lim

f (x)

=1 и lim

g1 (x)

=1. Следовательно, правая часть (3.8) равна lim

f1 (x)

x→x0

f (x)1

x→x0

g(x)

x→x0

g1 (x)

Таким образом lim

f (x)

= lim

f1(x)

. Теорема доказана.

g(x)

x→x0

g1(x)

Эффективность этой теоремы проиллюстрируем на следующем примере.


Пример 3.3. Вычислить lim		arcsin x (e x − 1)			.
	x →0 cos x − cos 3 x
Решение.	Воспользовавшись			таблицей			эквивалентности,				имеем:
arcsin x ~ x; e x −1 ~ x; cos x − cos 3x = 2 sin x sin 2 x 4 x 2 . Тогда получаем:
		lim	arcsin x (e x − 1)			= lim	x 2	=	1	;
		lim		cos x − cos 3 x		= lim	4 x 2	=	4	;
		x → 0		cos x − cos 3 x		x → 0	4 x 2		4

Итак, вычисление пределов существенно можно упростить, если заменить исходную функцию на эквивалентную ей. Приведем критерий эквивалентности функций.

Теорема 3.18 (Критерий эквивалентности). Для того чтобы функции

f (x) и

g (x) были эквивалентными при

x → x0 ,

необходимо и достаточно,

чтобы

f (x) = g(x) + o(g(x)) .

Доказательство. Необходимость. Пусть f (x) и g( x)

эквивалентны,

тогда по

определению

lim

f ( x)

= 1 ,

на основании

теоремы о

связи предела и

g ( x)

x → x0

f (x)

бесконечно малой, получаем:

=1 + α(x) , где α(x)

– бесконечно малая при

g(x)

но lim α(x)g(x) = lim α(x) = 0 . То есть

x → x . Отсюда f (x) = g(x) + α(x) g(x) ,

x→x0

g(x)

x→x0

α(x) g(x) = o(g(x)),

откуда

f (x) = g(x) + o(g(x)) .

Первая

часть

теоремы

доказана.

f (x) = g(x) + o(g(x)) .

Достаточность. Пусть

Разделив обе части последнего

равенства на g(x) и учитывая,

что lim

o(g(x))

= 0 ,

получаем

lim

f (x)

=1, а это

g(x)

x→x0

означает, что

f (x) g (x) при x → x0 . Теорема доказана полностью.

Эта теорема позволяет эквивалентные функции при x → 0 записать в виде:

1. sin x = x + o(x);

tg x = x + o(x);

3. arcsin x = x + o(x);

х2

4. arctg x = x + o(x);

5. cos x =1 −

+ o(x

) ;

6. e

−1 = x + o(x);

7. ln (1+ x) = x + o(x) ;

8. (1 + x)α =1 + αx + o(x ).

Приведём примеры использования этих результатов.

e x −

1 +

x −

−

1 + x

Пример 3.4. lim

= lim

2 arctg x − arcsin x

2 x − x

x → 0

cos x

1 −

1 +

x ln(1+ x) = lim

Пример 3.5. lim

= e

− 2 : e

+ 2 =

x →0

x→0

ch x

§3.10. Односторонние пределы

Вычислим предел функции

f (x) ,

когда аргумент х стремится к

x0 , но

причём х остается меньше x0 . В этом случае мы будем говорить о пределе

функции слева, т.е. левостороннем пределе и записывать это так: lim f (x) .

x→x0 − 0

Предел справа (правосторонний предел) определяется как предел функции f (x) , когда х стремится к x0 , но при этом х больше, чем x0 . Правосторонний

предел обозначается lim f (x) .

x→x0 + 0

		2x −1		при x < 0;
Пример 3.6. Функция задана кусочно: f (x) =				при x > 0.
Найдём односторонние пределы в точке 0:		2x +1

lim	f (x) = lim (2x −1) = −1 ;	lim		0	f (x) = lim (2x +1) =1.
x→0− 0	x→0	x→0	+			x	→0
Пример 3.7. Найти односторонние пределы функции					1		в точке 0.
				f (x) = 2		x

			lim	1
Решение.	lim	f ( x) =	lim			т.е. левосторонний предел существует и равен
Решение.	lim	f ( x) =	2x→0−0	x	= 2−∞ = 0 ,	т.е. левосторонний предел существует и равен
	x→0− 0
		1
нулю; lim	f (x) =	lim
нулю; lim	f (x) =	2x→0+0 x	= 2+∞ = ∞ , т.е. правосторонний предел не существует.
x→0+	0
Совершенно очевидно, что функция							f (x) имеет предел в точке x0 , если
левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке равны:
				lim f (x) =		lim	f (x) = lim f (x) .
				x→x0 −0		x→x0 +0	x→x0

Для закрепления материала решите самостоятельно следующие примеры и задачи.

3.1. lim 5x3 − x2 +1 ;

x→∞ −7x3 + x

3.4

lim

5x2 + 7x

− x2 + 7 ;

x→∞ x4

3.7

lim

−x2

+ x − 5

+ x4 − 3x ;

x→∞ x2

3.10

lim

3x3 −1

5x3 + x2 − 4 ;

x→∞

3.13.

lim

x2 + x −12

−x

+ 5x − 6

x→3

3.16

lim

3x2

+ 8x − 3

x2 + 3x

x→−3

3.19

lim

8x3 −1

− 5x +1

x→1 2 6x2

3.22

lim

− x − 2

+ 2x − x2

x →−1

3.25.

lim

1 + 2x

x→−1

+ x + x

3.28lim x −1 − 2 x − 5x→5

3.2.	lim	x3 − x
		−3x2 +1 ;
	x→∞ x4

3.5	lim			x2 + x +1

					(x	−1)2 ;
	x→∞				(x	−1)2 ;
3.8	lim		5x2			+ 3x −1	;
3.8	lim				x5 + x2		;
	x→∞				x5 + x2
3.11	lim	6x2				− 4x + 4
3.11	lim			8x2		+ x + 4 ;
	x→∞			8x2		+ x + 4 ;
3.14.	lim				x2	+ x −12
3.14.	lim				4 − 3x − x2
	x→ −4				4 − 3x − x2
3.17	lim				20 + x − x2
3.17	lim	3x2 −11x − 20
	x→5	3x2 −11x − 20

3.20lim 3x2 − x −10

x →2 6 − x − x2

3.23	lim	2x2 + x −10
		2 + x − x2
	x→2

3.26.limx→∞ (x − x2 − x +1)

	lim		−
3.29	lim	x + a	−	x
	x→∞

3.3.	lim	5x2 −1	;
		2x2 + 3x + 4
	x→∞

3.6

lim

5x2 − 4x +1

3x2 + x − 4 ;

x→∞

3.9

lim

5x3 − x2 +12x

;

3x2 + x −

x→∞

x 2

+ 3 x − 2 x 3

3.12

lim

;

3( x + 1)

x → ∞

3.15.

lim

x2 + x − 2

x3 − x2 − x +1

x→1

3.18

lim

x 2

− 9 x + 18

2 x

+ x − 21

x →3

3.21

lim

x2 + 6x −16

+ x −10

x→2

3.24

lim

x2 − 2x −8

2x2 + x −36

x→4

lim

5 −

3.27.

22 − x

x→−3

1 −

4 + x

limx→∞ (

− x )

3.30

x2 +1

2 −

3.31.

lim

3.32.

lim

3 1+ 3x2 −1

x→2 2 2x − x2

x→0

x2 + x3

x2 +1 −1

3.34.

lim

x2 +1 −1

3.35.

lim

x2 + 2 −

x→0

x2 +16 − 4

3.37.

lim

arctg 2x

3.38.

lim

sin2 5x

x→0

x→0 tg

3.40.

lim

tg kx

3.41.

lim

2 arcsin x

sin mx

x→0

3.43.

lim

1 − cos 2 x

3.44.

lim (xctg x)

x sin x

x→0

3.46.

lim

1− cos2 x

3.47.

lim

sin αx

2x2

x→0

sin βx

3.49.

lim

(

ln(2a + x) −ln(a + x)

))

3.50.

x→∞

3.51.

lim(1 + 2 sin x)ctg 2 x

3.52.

x→0

3.33.

lim

x − 2

−

x2 − 25

x→5

− 3

3.36.

lim

x + 6

− 5 − 2

x → 3

3.39.

lim

sin 2x

arcsin x

x→0

3.42.

lim

tg x −sin x

x→0

3.45.

lim

1− cos x

x→0

x sin x

3.48.

lim

xtg 2 x

1 − cos 2 x

x → 0

3x + 4 x+2

lim

x→∞ 3x +

lim 1+

x→∞

3.53.	lim x			(ln(x) − ln(x + 2))
3.53.	x→∞
3.55.	lim	((			)(		))
	lim		2x +1 ln(x + 3) − ln(x)
	x→∞
3.57.	lim [(3x + 5)(ln(x + 5) − ln(x))]
	x→∞
3.59.	lim x			(	ln(x +1) − ln(x)
3.59.	x→∞			(		)
	x→∞

3.54. lim(1+ tg x)ctg x

x→0

x2 +1 x2

3.56. lim x→∞ x2 −1

3.58.	l i m	3		+	2 x	2 x

			4	+	2 x
	x → ∞

		1 + 3 x 2 x
3.60. lim

x → ∞		2 + 3 x

Глава 4. Непрерывные функции и их свойства

§4.1. Непрерывность функции в точке

Определение 4.1. Функция f (x) , определенная в некоторой окрестности точки x0 , является непрерывной в точке x0 , если для любой последовательности {xn},

такой, что lim x	n	= x , выполняется соотношение lim f (x		n	) = f (x	).
n→∞	n	0	n→∞	n	0

На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = x0 :

1)функция f (x) определена в точке x0 ;

2)предел слева и предел справа функции f (x) в точке x0 равны;

3)общее значение пределов слева и справа равно значению функции в точке x0 .

Запишем это определение в виде формулы:

lim	f (x) = lim f (x) = f ( x0 ) .
x→x0 − 0	x→x0 + 0
Приведенное определение непрерывности равносильно приведенному
ниже определению непрерывности на языке « ε − δ».
Определение 4.2. Функция f (x)	называется непрерывной в точке x0 , если для

всякого ε > 0 , существует δ > 0 такое, что для всех х, для которых x − x0 ≤ δ,

выполняется неравенство f (x) − f (x0 ) < ε.

Следует особо подчеркнуть, что в определении непрерывности, в сравнении с определением предела, рассматривается полная, а не «проколотая»

окрестность точки		x0 , и предел функции в точке x0 есть не что иное, как
значение функции в этой точке.
Если	разность	x − x0	= ∆x мы называем приращением аргумента, а
разность	f (x) − f (x0 ) = ∆y		- приращением функции, то из определения и 4.1, и

4.2 следует, что для непрерывной функции всегда выполняется равенство

lim ∆y = 0 .

∆x→0

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Замечание. Определение 4.1 называют определением непрерывности функции по Гейне, а определение 4.2 называют определением непрерывности по Коши.

Как показано в [1], эти определения равносильны в принятой нами концепции числа.

						1
Пример 4.1. Доказать непрерывность функции			x sin				,	x ≠ 0	.
			x sin			x	,	x ≠ 0
			f ( x) =			x
				0,				x = 0,
				0,				x = 0,
Решение.	Функция	f (x) непрерывна на	интервале		(−∞;0) (0;+∞). Исследуем
поведение	функции	в окрестности точки	x = 0 , для		чего			найдём левосторонний и

правосторонний пределы функции в этой точке. Примем во внимание, что							sin	1	≤1, т.е.
								x
	1		1		1
sin		– ограниченная функция. Следовательно, lim xsin		= lim xsin		= 0	. Но		f (0) = 0
	x		x		x
		x→−0		x→+0

и, таким образом, согласно определению 4.1, функция непрерывна в точке x = 0 , а значит, и на всей числовой оси.

§4.2. Точки разрыва и их классификация

Если в точке x = x0 не выполнено хотя бы одно из условий определения непрерывности 4.1, то говорят, что в этой точке функция f (x) терпит разрыв. При этом возможны следующие случаи:

•Устранимый разрыв. В точке x = x0 предел функции слева равен пределу справа, но не равен значению f (x0 ) , или значение функции f (x) в точке x = x0 не определено:

	lim	f (x) = lim f (x) ≠ f (x0 ).
	x→x0 −0		x→x0 +0
y		В этом случае, мы говорим, что в точке
y		x = x0	функция	f (x)	умеет	устранимый
		разрыв. Графически этот факт представлен на
		рис.4.1.
		Разрыв называется устранимым, потому
		что его можно устранить. Другими словами,
		функцию f (x)		можно сделать непрерывной,
x0	x	если доопределить (или переопределить) её в
Рис. 4.1		точке x = x0 , положив
Рис. 4.1			f (x0 ) = lim		f (x) = lim f (x) .
			f (x0 ) = lim		f (x) = lim f (x) .
				x→x0 −0	x→x0	+0

•Разрыв первого		рода. Если в точке
x = x0	пределы слева и справа для функции		y
f (x)	существуют, но не равны, то говорят,
что в этой точке функция имеет разрыв
первого рода:
	lim f (x) ≠ lim f (x) .
	x→x0 −0	x→x0 +0
Графически это выглядит следующим			x0	x
образом (рис.4.2). В этом случае не важно,			Рис. 4.2
определено или нет значение функции в			Рис. 4.2
определено или нет значение функции в
точке разрыва. Например, функция sign(x) (знак числа), определенная в §3.11,
имеет разрыв I рода в точке x = 0 . Иногда разрывы I рода называют скачками
функции.
		56

•Разрыв второго рода. Если в точке x = x0 ,					хотя бы один из пределов либо
справа, либо слева равен бесконечности или не существует, то в этой точке
функция	f (x) имеет	разрыв второго		рода.	Графически		это	может	быть
иллюстрировано рисунками 4.3 – 4.6. Обратим внимание на рис.4.6. Это график
функции sin 1 . В точке x = 0 предел этой функции не существует.
	x
	y				y
			x						x
	Рис. 4.3					Рис. 4.4
	y					y
			x					x
	Рис. 4.5					Рис. 4.6
Рассмотрим несколько функций, которые
хотя и не являются элементарными, но, тем не							y
менее, заслуживают интерес с точки зрения						2
непрерывности.						1
Функция «знак числа» определяется так:						1
Функция «знак числа» определяется так:					–2	–1	0
		−1, при x < 0,			–2	–1	0
		−1, при x < 0,					1	2	x
	sign (x) =		0, при x = 0,				1	2	x
	sign (x) =		0, при x = 0,				–1
							–2
		+1, при x > 0.					–2
Эта функция определена и непрерывна для всех						Рис.4.8
значений	аргумента	за	исключением	точки		Рис.4.8
значений	аргумента	за	исключением	точки
x = 0 , в которой функция sign (x) терпит разрыв I рода – скачок.
Заметим следующее свойство этой функции:
			x = x sign (x).
			57

Функция «целая часть числа» определена для всех чисел и равна

наибольшему

целому,

не превосходящему это число. Обозначается

entier (x) = E (x) =[x]

(читается «антье x»). Целая часть числа удовлетворяет

двойному неравенству

[x] ≤ x <[x] +1.

[

]

[

Например,

3,14

= 3;

= 5;

−2,5

= −3. График функции приведен на рис.4.8.

[ ]

]

Очевидно, функция разрывная во всех целых точках, причем в каждой из них

скачок функции равен +1.

Функция «дробная часть числа» есть разность между числом и его целой

частью:

frac

(

)

{

= x −

[

]

}

Например, {3,14} = 0,14;{5} = 0; {−4,25} = 0,75 . Таким образом, целая и дробная

часть числа связаны соотношением:

[

]

{

x =

x .

}

График функции представлен на рис.4.9.

Функция frac(x) также разрывная

при каждом целом значении аргумента,

причем скачок функции в каждой из них

равен −1. Интересно также, что эта

функция периодична, период её равен 1.

–2

–1

Функции

entier (x), frac(x)

находят

применение не только в математическом

Рис.4.9

анализе, но в теории чисел, в теории

рекурсивных функций.

§4.3. Свойства функций, непрерывных в точке и на интервале

Сформулируем ряд свойств непрерывных функций. Доказательства этих свойств выходит за рамки нашего курса. Строгие доказательства имеются в полных курсах математического анализа (см. список литературы в конце настоящего пособия).

Свойство 4.1 (ограниченность непрерывной функции). Если функция f (x)

непрерывна в точке x0 , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, т. е. существуют δ > 0 и C > 0 такие, что для всех x, для которых x − x0 < δ выполняется неравенство f (x) < C

Свойство 4.2 (непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных

функций). Если функции	f (x)		и g (x) непрерывны в точке x0 , то функции
f (x) + g (x) , f (x) g (x),	f (x)	,	(g(x) ≠ 0)	– непрерывны в точке x .

	g(x)			0

Свойство 4.3 (знакоопределенность непрерывной функции). Если функция

f (x)	непрерывна в точке x0 и при этом f (x) ≠ 0 , то в некоторой окрестности
точки	x0 знак функции совпадает со знаком числа x0 т. е. существует δ > 0,

такое что для всех x , для которых	x − x0	< δ	выполняется	равенство

sign f (x) = sign f (x0 ).				z = f ( y)
Свойство 4.4 (непрерывность сложной функции).			Если функция

непрерывна в точке y = y0 , а функция y = ϕ(x) непрерывна в точке x = x0 при этом y0 = ϕ(x0 ), то в некоторой окрестности точки x0 определена сложная функция f (ϕ(x)), которая непрерывна в точке x = x0 .

Определение 4.3. Функцию f (x) назовем непрерывной на отрезке [a,b], если

она непрерывна в каждой точке интервала, а также непрерывна справа в точке x = a и слева в точке x = b .

Для непрерывных на отрезке функций справедливы нижеследующие утверждения

Теорема 4.1 (об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Если


функция f (x) непрерывна на				отрезке [a,b],	то она ограничена, т. е.
существует постоянная	C > 0 ,			такая что для	любого x из отрезка [a,b]
выполняется неравенство		f (x)	< C .
выполняется неравенство		f (x)	< C .

Замечание. Теорема 4.1 неверна для промежутка, не являющегося отрезком.

Например, функции f (x) = ln x , f (x) = x12 непрерывны на интервале (0;1), но

не ограничены на этом интервале.

Теорема 4.2 (о достижении наибольшего и наименьшего значения). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает своего

наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.

Замечание. Функция, непрерывная на интервале, может не достигать своих наибольших и наименьших значений. Например, функция y = x не достигает на

интервале (0,1) своего наименьшего значения, равного нулю и не достигает наибольшего значения, равного единице.

Теорема 4.3 (о нулях непрерывной функции). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значения разных знаков, то на отрезке [a,b] существует точка x = x1 такая, что f (x1 ) = 0 .

Теорема 4.4 (о промежуточных значениях). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] и m, M – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции на этом отрезке, то для любого числа y0 такого, что m ≤ y0 ≤ M , существует точка x0 [a,b], что f ( x0 ) = y0 .

Теорема 4.5 (о существовании обратной функции). Если функция y = f (x)

непрерывна и монотонно возрастает (убывает) на отрезке [a,b], то на

отрезке f (a), f (b)		определена функция x = g ( y), обратная к f непрерывная

и монотонно возрастающая (убывающая).

Теорема 4.6 (о непрерывности элементарных функций). Всякая
элементарная функция f (x) непрерывна во всех точках, где она определена.
Пример 4.2. Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва, определить их
характер, выявить интервалы непрерывности.
				+ π x ≤ −π
			x	+ π x ≤ −π
								π
						− π < x <		π
			f ( x) = sin x			− π < x <		2
							π	2
						x ≥	π
			1			x ≥	2
Решение.							2
Решение.
Каждая из частей функции y = x + π, y = sin x и y =1 - непрерывны в своей области
определения, и даже на всей числовой оси. Поэтому подозрительными на разрыв являются
точки, в которых «склеиваются» эти части: x = −π и x = π . Исследуем поведение функции
							2
в окрестности каждой из этих точек, т.е. вычислим односторонние пределы и значения
функции в точках:
Для x = −π имеем:			(x + π) = 0 ; f (−π + 0) =					(x + π) = 0 ;
f (−π − 0) =	lim		(x + π) = 0 ; f (−π + 0) =				lim	(x + π) = 0 ;		f (−π) = 0 .
	x→−π−0						x→−π+0
Поскольку все три значения равны,				то	заключаем:			функция	непрерывна в точке
x = −π.		π
Аналогично, для x =		π	имеем:
π		2			π				π
π	− 0				π	+ 0	= lim 1 =1;		π
f	− 0	= lim sin x =1;		f	2	+ 0	= lim 1 =1;		f	=1.
2			x→π−0		2		x→π+0		2
			2				2
И на этот раз все три значения равны. Вывод: функция непрерывна и в точке x = π .
										2
						y
				1
		−π								x
							π
							2
				Рис. 4.7
Таким образом, данная функция непрерывна на всей числовой оси. График функции
приведен на рис.4.7.

Для закрепления материала решите самостоятельно следующие примеры и задачи.

Найти точки разрыва функции, установить их род, доопределить функцию до непрерывности в точках устранимого разрыва.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20253 Мб4дипломная работа1.doc
#
01.07.20251 Мб7Дипломный проект_Вознесенский(1).doc
#
01.03.2025721 Кб7Дискретка.docx
#
11.04.20151 Мб142Дискретная_матем1.doc
#
11.04.2015837 Кб48Дискретная_матем2.doc
#
11.04.20153 Мб123ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Трофимов Агульник.pdf
#
01.04.202545 Кб10ДКБ Microsoft Office Word.docx
#
11.04.2015184 Кб26ДКБ Реферат.doc
#
01.07.20253 Мб3ДКР по ПиЭСС.doc
#
01.04.2025628 Кб9для экзамена НС и СЗ.doc
#
11.04.20153 Мб59ДМ Практикум.pdf