Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1331 вуз, 5514 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Донецкий национальный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

методическое пособие 2

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
13.04.2015
Размер:
2 Мб
Скачать
☆

27. Проверить, лежат ли на одной прямой следующие три точки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

а) (3;0;1), (0;2;4), 1;

 

;3

 

; б)

(1; 2;1), (3;1; 1), 2;

 

;0 ; в) (3; 1;2), (2;1;1),( 4;0;5) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

28. Определить направляющие косинусы прямой:

а)

x 1

 

 

y 5

 

z 2

;

 

 

б)

 

 

x

 

y 7

 

z 3

 

;

 

в) 5x 6 y 27z 21 0,

 

4

 

 

 

3

12

 

 

 

 

 

12

9

 

20

 

 

 

 

 

x z 3 0.

 

 

29. Определите угол образованный прямыми :

 

а)

 

x 1

 

y 2

 

z 5

 

 

и

 

 

x

 

y 3

 

 

z 1

;

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

6

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

9

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

3x 4 y 2z 0,

 

 

4x y 6z 2 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

y

2z

 

и

 

 

y 3z 2 0

 

 

 

2x

 

0

 

 

 

 

 

x 3t 2,

в) y 0,

z t 3.

x 2t 1,

и y 0,

z t 3.

30. Привести к каноническому виду уравнения прямой:

а) 2x 3y 3z 0, ;

б) x 2 y 3z 4 0, ;

в)

5x y z 0,

 

x 2 y z 3 0.

 

 

3x 2 y 5z 4 0.

 

2x 3y 2z 5 0.

 

31. Через точку M1 (2; 5;3)

провести прямую:

 

 

 

 

а) параллельную оси Оz ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) параллельную прямой

 

x 1

 

y 2

 

z 3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) параллельную прямой

2x y 3z 1 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x 4 y z 7 0.

 

 

 

 

 

 

 

32. В плоскости xOz найти прямую,

проходящую через

начало

координат и перпендикулярную к прямой

x 2

 

y 1

 

 

z 5

.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

33. Написать

уравнения

перпендикуляра, опущенного из

точки

x 1 2t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(2;3;1) на прямую

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2 3t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34. Через точку A(4;0; 1)

провести прямую так,

чтобы она пересекала

две данные прямые:

 

x 1

 

 

y 3

 

 

z 5

и

 

x 5t, y 2 t,

z 1 2t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35. Проверить, пересекаются ли следующие прямые:

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

y 7

 

 

 

 

 

 

z 5

 

 

 

 

 

 

 

 

x 6

 

 

 

y 1

 

 

 

z

 

 

 

 

4x z 4

 

 

 

 

 

z 9 0,

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; б)

 

 

0,

и

3x y

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

x 2 y 3

0

 

 

y 2z 8 0

 

 

в) x 2t 3, y 3t 2, z 4t 6 и x t 5, y 4t 1, z t 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36. Доказать параллельность прямых:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

y 1

 

 

z

и

 

 

 

 

 

 

x y z 0,

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 5z 8 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3y z 2 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x 2t 5, y t 2, z t 7 и

 

 

 

y 3z 2

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37.

 

Даны прямые:

x 2

 

 

 

 

y

 

 

z 1

 

 

и

 

 

x 3

 

 

y 4

 

z 7

. При каком

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

m

4

 

 

2

 

 

 

значении m они пересекаются?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38. Доказать перпендикулярность прямых:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

y 1

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4z 2 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x y 5z 4 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x 2t 1, y 3t 2, z 6t 1 и

2x y 4z 2 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 5z 4 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.

 

Составить

 

 

 

 

уравнение

 

 

 

прямой,

 

которая

 

проходит

через точку

M1 ( 1;2; 3)

 

 

перпендикулярно вектору

 

 

(6; 2; 3)

 

и пересекает прямую

 

 

a

 

 

x 1

 

 

y 1

 

z 3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

x 1

 

y 3

 

z

 

и

3x 3y 2z 5 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

x 13

 

y 1

 

z 4

 

 

 

и

 

 

x 2y 2z 1 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

x 7

 

 

 

y 4

 

 

z 5

 

 

и

 

2x 3y z 1 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41. Составить уравнение прямой, проходящей через точки

пересечения

плоскости

 

2x y 3z 1 0

с

 

 

 

прямыми

x 3

 

 

y 5

 

z 1

 

и

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

x 5

 

y 3

 

 

z 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42. При каком значении коэффициента A плоскость Ax 3y 5z 1 0

будет параллельна прямой

 

x 1

 

 

y 2

 

 

z

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43.

 

 

При каких

 

значениях

коэффициентов A

 

 

 

и

 

B

плоскость

 

Ax By 6z 7 0 перпендикулярна к прямой

 

x 2

 

 

y 5

 

z 1

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44.

 

 

Из

 

точки

M (3;-2;4) опустить

перпендикуляр

на

плоскость

5x 3y 7z 1 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

45. Через начало координат провести плоскость перпендикулярную к

прямой

 

x 2

 

y 3

 

 

z 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46.

 

Найти проекцию точки A(4;-3;1)

на плоскость x 2y z 3 0

 

 

 

47.

 

Проверить, лежит ли прямая на плоскости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

x 1

 

y 3

 

 

z 2

 

 

 

и

 

 

 

4x 3y z 3 0 ,

б)

 

x 1

 

y

 

z 2

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

7

 

 

3

 

 

 

 

 

 

5x 8y 2z 1 0 , в)

 

x 2

 

y 5

 

z

 

и

3x 2y z 15 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48.

 

Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку

 

M (3;1;-2)

и прямую

 

x 4

 

y 3

 

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49.

 

 

Через

прямую

 

 

 

x 2

 

y 3

 

z 1

 

провести

плоскость,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перпендикулярную к плоскости x 4y 3z 7 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50.

 

 

Найти

 

проекцию

 

прямой

 

 

 

x

 

y 4

 

z 1

 

на

плоскость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y 3z 8 0 .

41

 

 

 

 

51.

 

Найти уравнение

 

плоскости,

 

проходящей

через

 

прямую

 

x 3

 

y 4

 

z 2

 

и параллельно прямой

 

x 5

 

 

y 2

 

 

z 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

7

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52. Через прямую

 

 

x 5

 

y 2

 

z

 

провести плоскость параллельную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости x y z 15 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

53. Найти расстояние от точки P(7;9;7)

 

до прямой

 

 

x 2

 

y 1

 

 

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

54.

 

На

прямой

 

 

x

 

y 7

 

 

z 3

 

найти

 

точку, ближайшую

к точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(3;2;6) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55. Найти расстояние между двумя прямыми:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

x 2

 

 

 

y 1

 

 

 

z

 

 

 

 

 

и

 

x 7

 

y 1

 

 

z 3

;

 

 

б)

 

 

x 9

 

 

y 2

 

z

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y 7

 

z 2

; в)

 

x 3

 

 

y 6

 

 

z 3

и

 

x 4

 

y 1

 

z 7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

9

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56. Найти точку, симметричную

 

 

 

с

точкой

 

P(4;3;10) относительно

прямой

x 1

 

y 2

 

z 3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57. Выяснить, какие поверхности определяются следующими

уравнениями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) x2 z2 4 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

2) x2 3y 2 4z 2

12;

 

 

 

 

 

 

 

3) x2 y2

4z2 9;

 

 

 

 

 

 

 

 

4) 2z x2 y 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

5) x2 2y 2 3z 2 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

6) 2x2 3y2 4z;

 

 

 

 

 

 

 

 

7) z 2

 

4 y;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8) 3x2 4y2

8z2 24;

 

 

 

 

 

 

 

9) 3x2 5z2

15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

58. Выделением полных квадратов и переносом начала координат

упростите уравнения поверхности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x2 y2 z 2 4x 8y 6z 20 0;

 

 

 

 

г) 3x2 y2 2z 2 12x 6y 4z 13 0;

б) 4x2 y2 8z 2 8x 4y 16z 32 0;

 

 

 

 

 

д) 2x2 3z 2 4x 2y 6z 1 0;

 

в) 9x2 4y2 36z 2

18x 16y 216z 367 0; е) 2x2 3y2

12x 12y 18z 30 0.

 

42

3.5. Тема №5. Введение в анализ

Литература

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.

Дифференциальное и интегральное исчисление. Гл 3.

2.Высшая математика: Учеб. пособие для студентов пед. иститутов.

Под ред. Г.Н.Яковлева. Гл 5.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.

Гл 1- 2.

Основные навыки и умения

Обучаемые должны уметь:

1.строить и читать графики основных элементарных функции;

2.находить область определения функции и множество её значений;

3.раскрывать неопределённость 0 , , , 0 ;

0

4.вычислять пределы отношений функций, используя эквивалентные бесконечно малые функции;

5.вычислять пределы при помощи первого замечательного предела и его следствий;

6.вычислять пределы при помощи второго замечательного предела и его следствий;

7.исследовать на непрерывность функции в точке, на промежутке;

находить и классифицировать точки разрыва.

43

Задания для самостоятельной работы

1. Построить интервалы изменения переменной х, удовлетворяющей неравенствам:

1.

 

x

 

4 ;

2.

x2 9 ;

 

 

3.

 

x 4

 

1;

4. 1 x 3 2;

 

 

5.

 

x2 16 ;

6. x 2 2 4;

7.

x2 2 3 ;

8.

 

x 1

 

2 ;

 

 

9.

 

x 3

 

3;

10. 2 x 5 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Даны:

а) f(x) x2 x 1: вычислить f(0), f(1), f(–1), f(2), f(a+1).

 

x 5

 

 

3

 

б) (х)

 

 

: вычислить (0) , ( 1)

,

 

,

x 3

 

 

 

 

2

 

 

1

 

1

 

 

 

,

 

.

 

(x)

x

 

 

 

 

3. Построить графики функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

у=4х+8;

 

 

 

 

 

2. у=3х–2;

 

3.

y

6

;

 

 

 

 

 

 

 

4. y

x

2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

5.

у=3х–х2;

 

6. у=х2–5х+6;

 

7.

y

x 5

;

 

8. y

3x 4

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

x 1

 

9.

y 2x 3 ;

 

 

 

 

 

10.

y 1 3x 3 ;

 

11.

y

x

 

 

1;

12.

y

1

3x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

13.

y 1 lg(x 2);

14.

y lg(x 1);

 

15.

y

 

lnx

 

;

 

16.

y

 

x 1

 

 

 

x 1;

 

 

 

 

 

 

17. y=sin2x;

 

18. y=cos2x;

 

 

 

y sin

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

 

 

 

 

 

;

20.

y 2sin x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

44

4. Найти область определения функций:

1. f(x)

3х 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. f(x)

2х 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5х 6

 

 

 

 

 

 

3х 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. f (x)

 

5 2x

 

 

 

 

 

 

4. f (x)

 

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. f (x)

 

 

x 1

3 x;

6. f (x)

 

 

 

 

x

 

 

 

4 x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

7. f (x)

 

x2 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. f(x)

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. f (x)

x2 9 lg(x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. f (x)

 

 

 

 

2 3x lg x

11. f(x) 1 lgx

 

 

 

 

 

 

12. f (x) lg(x 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

13. f(x)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. f(x)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lоg3 (3-x)

 

 

 

 

 

 

 

 

lоg5 (3-2x)

15. f (x) log(x 2) log(x 2)

16. f (x) log

3

(x2

6x 5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. f (x) 2x

 

 

 

 

 

 

18. f (x) 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. f (x) sin 3x

 

 

 

 

 

 

20. f (x) соs2x

 

 

 

 

 

 

 

 

21.f(x)=arcsin(x–2);

22.f(x)=arcos(1–2x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. f (x)

 

 

(x2 9)(x2 4) 3 5x 7

24. f(x)

 

 

 

3 x 4

7 x

5. Проверить функции на чётность и нечётность:

1.

f (x) x3 1;

 

 

3.

f (x) x2 x ;

 

 

5.

f (x) 2arccos( x) ;

7.

f (x) cosx x sin x ;

9.

f (x)

 

x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

11. f (x)

2x

2 x

 

;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. f (x)

 

 

x

, x [ 1,1] ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x 2

 

 

 

 

 

2.

f (x) x

x3

 

x5

;

 

 

 

6

120

 

4.

f (x) 5 x2 ;

 

 

 

6.

f (x) arcsinx arccosx ;

8.

f (x) 2sin x cosx ;

10.

f (x) cos(x 1) ;

12.

f(x)

5x 5 x

;

5x 5 x

 

 

 

14. f (x) 3 (4 x)2 3 (4 x)2 ;

45

15. f (x) ln(x) ;

17. f (x) x 1 x 1, x R ;

19. f (x) 1 sin x ; sin x

6. Найти пределы функций:

1. lim

 

 

 

2 х

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

х

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. lim

 

2x2

x 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 lim

 

z2

1

.;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. lim

 

х2

25

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. lim

 

x2

5x 6

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. lim

2x 2 3x 2

;

 

 

 

 

 

x 2 3x

2

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. lim

 

 

 

 

x 2 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15. lim

 

9 x2

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. lim

 

 

 

 

x 1

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

5

 

 

 

2x 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 x

3 3x 1

 

19. lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 x)3 (1 5x)3

 

 

21. lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. f (x) ln 11 xx ; 18. f (x) 10lg x ;

20. f(x) arccos(cosx) .

2.

lim

 

x2

3

 

;

 

х4 x2 1

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

4.

lim 5x ;

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

6.

lim

 

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x2 6

 

 

 

8. lim z2 1 ;

z 1 z 1

10. lim

 

2 х

;

 

 

 

 

х x2 2

 

x 2

 

 

12. lim

 

x 2 8x 12

;

 

x 2 7x 6

x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

lim

 

 

 

1 4x 1

;

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

lim

 

 

 

x2 4

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

lim

 

 

 

 

 

x 4 3

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

24

7

 

x 5

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

3

 

x 1 1

;

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 1

 

 

 

x 0

 

 

 

 

22. lim x100 2x50 1 ;

x 1 x50 2x25 1

46

23.

lim

 

 

x 2 3x 5

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2 2x

6

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

lim

 

 

5 x 12x

2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2 2x

9

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

lim

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.

lim

 

x3 5 x 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31.

lim

 

 

 

 

x 5x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33.

lim

 

 

 

 

4x 2

 

 

x

3 x 4

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35.

lim

 

(2x 3)20 (3x 2)30

;

 

 

 

 

 

 

 

(2x

3)50

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37.

lim

 

 

 

 

 

4x 2 1 x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.

lim

 

 

 

 

 

 

5x6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

12

5x

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41.

lim

 

3 x 4 3 5 x3 4

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x7 1

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

lim

7x 2 5x 1

;

 

 

 

 

 

 

3 14x 2

2x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

26.

lim

 

 

x 2 1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5x 2 x 7

 

 

 

 

 

 

 

28.

lim

 

 

2x 3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30.

lim

 

 

 

 

x2 2x 5

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

53 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32.

lim

 

1 14x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2x 3 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34.

lim

 

 

9x 2 1 3 x

2 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x 4 1

5 x 4 1

 

x

 

36.

lim

(2x3 7x 1)6

;

 

(2x6 13x 2 x)3

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38.

lim

 

 

 

x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x3 x x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40.

lim

 

 

 

 

 

x 2 1 3

 

x 2 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x 4 1 5 x 4 1

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42.

lim

5 x7 3 4 2x

3 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 x8 x7 1 x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

43.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

44.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

1 x

 

 

 

1 x3

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

x 1

 

 

 

 

x 2

1

 

 

 

 

 

45.

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

;

 

 

 

46.

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

;

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

2

5х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

3 x

 

 

6

 

 

 

 

 

 

x 1

x

1 x

 

 

 

3х 4

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

47.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

1

 

 

 

2x

1

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

49.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

50.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x

 

4

 

3(x

3x

2)

 

 

 

 

 

x

2 2x

 

5x 3)

 

 

x 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ;

 

 

52. lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ;

 

 

 

51. lim

 

 

x2

1

 

 

 

 

x2

4x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

53.

 

 

 

x2

2x 2

x2 7x 3

54. lim

 

x2

3x 1 x2

3x 4

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x ;

 

 

56. lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x .

 

 

 

55.

 

 

 

x2

3

 

 

 

 

9x2 1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

58. lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57.

lim

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59.

lim

tg x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60. lim

 

 

 

 

3x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61.

lim

 

 

sin 5x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62. lim

sin 5x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 8 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

63.

lim

 

sin 7 x

;

 

 

 

 

 

64. lim

tg 4x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

sin 2 x

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65.

lim

 

 

 

 

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

66. lim

 

 

 

 

5x2

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg 2 3х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

67.

lim

 

 

1 cos2x

;

 

 

68. lim

 

1 cos2x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

x sin x

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

69 lim

arcsin 2x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

70. lim

 

2arcsin x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

4x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

71.

lim

 

sin(x-3)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

72. lim

 

 

 

 

 

 

 

4 х

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

tg(4 х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

73;

 

lim

1 sin x

 

 

74. lim

 

 

со s x+1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

75.

lim

 

 

 

xtgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

76. lim

1 2sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

cos x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

77.

lim

sin x tgx

;

 

 

 

 

78. lim

sin 2x tg2x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79.

lim

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

;

 

 

 

80. lim

 

 

 

 

 

 

sin 7x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности