Лекции_ТУ
.pdf
8. Устойчивость линейных динамических систем |
81 |
корни: |
t |
= |
5 ± 13 |
|
. Отсюда корни |
уравнения U (ω) = 0 : |
ω |
= ± |
|
5 + 13 |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1,2 |
2 |
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
= ± |
|
|
5 − 13 |
|
; приближенные значения корней: ω |
≈ ±2,074 , ω |
|
≈ ±0,835. |
|||||||||||||||
3,4 |
|
|
|
|
|
3,4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2) V (ω ) = −3ω 3 + 7ω = −ω (3ω 2 − 7)= 0 ; корни уравнения |
V (ω ) = 0 : ω |
5 |
= 0 , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ω6,7 |
= ± |
|
|
|
7 |
|
≈ ±1,528 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Все корни уравнений U (ω) = 0 и |
V (ω ) = 0 действительные; |
для установ- |
|||||||||||||||||||||
ления факта их перемежаемости нанесем значения корней на действительную ось (рис. 8.13).
Рис. 8.13 – Графики функций U (ω) и V (ω ) для примера 8.10
Из рисунка следует, что все корни перемежающиеся. Следовательно, система асимптотически устойчива.
Пример 8.11. Исследовать на устойчивость с помощью критерия перемежаемости корней систему с характеристическим полиномом D ( p ) = 0, 003 p4 −
−0, 011 p3 + 0, 006 p2 − 0,16 p + 0, 48 .
Решение. U (ω ) = 0,003ω 4 − 0,006ω 2 + 0,48 , V (ω ) = 0,011ω 3 − 0,16ω .
Значения в нуле: U (0) = 0,48 > 0 , V (0) = 0 ; уравнение U (ω) = 0 |
имеет 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексных корня; уравнение V (ω ) = 0 имеет корни ω = 0 , |
ω |
|
= ± |
|
160 |
|
|
2,3 |
|
|
|
||||
1 |
|
11 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
(рис. 8.14). Условия критерия перемежаемости корней не выполняются, значит, система не является асимптотически устойчивой.
82 |
8. Устойчивость линейных динамических систем |
Рис. 8.14 – Графики функций U (ω) и V (ω ) для примера 8.11
8.6 Алгебраический критерий устойчивости Рауса
Критерий Рауса относится к классу алгебраических критериев устойчивости, к достоинствам которых относится простота, а также простая реализация на ЭВМ.
Рассмотрим линейную стационарную систему с характеристическим поли-
номом D(p) = an p n + ... + a1 p + a0 ; для определенности положим an > 0 .
Для проверки динамической системы на асимптотическую устойчивость по критерию Рауса необходимо построить таблицу Рауса, состоящую из n + 1
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
строки и |
|
|
+ 1 |
столбцов (см. Табл. 8.1). |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общий вид таблицы Рауса |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i / k |
|
|
|
ri |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
– |
|
c11 = an |
c21 = an−2 |
c31 = an−4 |
c41 = an−6 |
… |
|
|||
|
2 |
|
|
|
– |
|
c12 = an−1 |
c22 = an−3 |
c32 = an−5 |
… |
… |
|
|||
|
3 |
r3 |
= |
|
c11 |
|
c13 = c21 − r3c22 |
c23 = c31 − r3c32 |
c33 = c41 − r3c42 |
… |
… |
|
|||
|
c12 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
r4 |
= |
c12 |
|
|
c14 = c22 − r4 c23 |
c24 = c32 − r4 c33 |
… |
… |
… |
|
|||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Первые две строки таблицы Рауса заполняются коэффициентами характе- |
||||||||||||||
ристического полинома: в первой строке записываются коэффициенты |
D(p) |
||||||||||||||
8. Устойчивость линейных динамических систем |
83 |
с четными индексами в порядке их возрастания, во второй строке – с нечетными. Остальные элементы таблицы заполняются по формулам:
ri =
ck ,i
c1,i−2 , = + ;
i 3, n 1
c1,i−1
n
= ck +1,i−2 − rk ck +1,i−1,i = 3, n + 1, k = 1, + 1.
2
Утверждение (критерий Рауса). Динамическая система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все элементы первого столбца таблицы Рауса c11 , c12 , c13 ,..., c1,n+1 положительны.
Без доказательства.
Пример 8.12. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса систему с характеристическим полиномом D(p) = p3 + 3 p 2 + 4 p + 42 .
Решение. В данном случае степень характеристического полинома n = 3 ,
поэтому таблица |
Рауса для |
данной системы имеет |
4 |
строки и 2 столбца |
||||||||||||||
(Табл. 8.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.2 |
|
|
|
|
|
Таблица Рауса для примера 8.12 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i / k |
|
|
|
ri |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
– |
c11 |
= 1 |
|
c21 |
= 4 |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
– |
c12 |
= 3 |
|
c22 |
= 42 |
|
|||||||
|
3 |
|
r3 |
= |
1 |
|
|
c13 = 4 − |
1 |
42 = −10 |
|
c23 = 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
r4 |
= − |
3 |
|
c14 = 42 − 0 = 42 |
|
|
- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Не все элементы первого столбца ( k = 1) табл. 8.2 положительны ( c13 < 0 ),
следовательно, система не является асимптотически устойчивой.
Пример 8.13. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Рауса систему с характеристическим полиномом D(p ) = p 4 + 3 p 3 + 5 p 2 + 7 p + 3 .
Решение. В данном случае степень характеристического полинома n = 4 , поэтому таблица Рауса для данной системы имеет 5 строк и 3 столбца
(табл. 8.3).
84 |
8. Устойчивость линейных динамических систем |
Таблица 8.3
Таблица Рауса для примера 8.13
i / k |
|
ri |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
– |
c11 = 1 |
c21 = 5 |
c31 = 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
– |
c12 |
= 3 |
|
c22 |
= 7 |
c32 |
= 0 |
||||||||
3 |
r3 |
= |
|
1 |
|
|
c13 |
= |
8 |
|
|
c23 |
= 3 |
c33 |
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
4 |
r4 |
= |
9 |
|
|
c14 = |
29 |
|
c24 |
= 0 |
c34 |
= 0 |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
r5 |
= |
64 |
|
c15 |
= 3 |
|
c25 |
= 0 |
c35 |
= 0 |
||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Все элементы первого столбца табл. 8.3 положительны, следовательно, система является асимптотически устойчивой.
8.7 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Наряду с критерием Рауса, критерий асимптотической устойчивости Гурвица является представителем класса алгебраических критериев устойчивости. Достоинством критерия Гурвица является простота, недостатком – необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка).
Проведем обоснование критерия Гурвица на основе критерия Рауса. Можно заметить, что элементы первого столбца таблицы Рауса вычисляются по следующему правилу:
c11 = an ;
c12 = an−1 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an−1 |
an |
|
|
|
c = c + r c = a |
− |
an |
a |
n−3 |
= |
an−2an−1 − anan−3 |
= |
|
|
an−3 |
an−2 |
|
|
; |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13 |
21 3 22 |
|
n−2 |
|
|
an−1 |
|
an−1 |
|
|
|
an−1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
an−1 |
|
an |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
an−3 |
an−2 |
an−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
c |
= ... = |
|
|
an−5 |
an−4 |
an−3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
|
|
|
|
an−1 |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
an−3 |
an−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. Устойчивость линейных динамических систем |
85 |
Методом математической индукции можно показать, что для всех коэффи-
циентов первого столбца таблицы Рауса верны соотношения: c11 = an , |
c12 = 1 , |
|||||||||||||||
c |
= |
2 |
, c |
= |
3 |
, …, c |
= |
n |
, где |
|
, |
|
,..., |
n−1 |
– главные |
миноры |
|
|
|
1 |
2 |
||||||||||||
13 |
|
14 |
|
|
1,n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
старшего определителя Гурвица |
n . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Определитель Гурвица n |
определяется следующим образом: его порядок |
||||||||||||||
равен порядку характеристического полинома, по главной диагонали записываются коэффициенты характеристического полинома: an−1 , an−2 , ..., a0 . Далее определитель заполняется по строкам коэффициентами характеристического полинома: вправо от главной диагонали с ростом индексов, влево –
субыванием индексов.
Всоответствии с указанными соотношениями и критерием Рауса, справед-
лив следующий критерий асимптотической устойчивости Гурвица.
Утверждение (критерий Гурвица). Динамическая система является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все главные миноры определителя Гурвица 1,..., n положительны.
Пример 8.14. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица систему с характеристическим полиномом D(p ) = p 4 + 3 p 3 + 5 p 2 + 7 p + 3 .
Решение. Запишем старший определитель Гурвица и найдем все его главные миноры.
|
|
|
3 |
1 |
|
0 |
0 |
|
4 |
= |
|
7 |
5 |
|
3 |
1 |
; |
|
|
|
0 |
3 |
|
7 |
5 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
3 |
|
1 = 3 > 0 ; |
|
|
|
|||||
2 |
|
= |
|
1 |
|
= 8 > 0 ; |
||
|
3 |
|
||||||
|
|
|
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
||
3 = |
|
7 |
5 |
|
3 |
= 29 > 0 ; |
||
|
|
|
0 |
3 |
|
7 |
|
|
4 = 3 |
3 = 3 29 > 0 . |
|||||||
Все главные миноры положительны, следовательно, система асимптотически устойчива.
Пример 8.15. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица систему с характеристическим полиномом D(p ) = p 3 + 2 p 2 + 6 p − 24 .
86 |
|
|
|
8. Устойчивость линейных динамических систем |
Решение. Запишем старший определитель Гурвица и найдем все его глав- |
||||
ные миноры. |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
2 |
|
||
3 = |
− 24 |
6 |
2 |
; |
|
0 |
0 |
− 24 |
|
1 = 2 > 0 ; |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 = |
2 |
1 |
= 12 + 24 = 36 > 0 ; |
|
|
− 24 |
6 |
|
|
3 = −24 |
2 = −24 36 < 0 . |
|||
Не все главные миноры положительны ( 3 < 0 ), следовательно, система не является асимптотически устойчивой.
Контрольные вопросы к теме 8
Основной уровень
1.Дайте определения устойчивой системы; нейтральной системы; неустойчивой системы; асимптотически устойчивой системы.
2.Что называют свободным движением системы?
3.Сформулируйте признак асимптотической устойчивости системы.
4.Сформулируйте необходимое условие асимптотической устойчивости. Для каких систем оно является достаточным для устойчивости?
Продвинутый уровень
1.Сформулируйте частотный критерий асимптотической устойчивости Михайлова. Что называют годографом Михайлова?
2.Сформулируйте критерий перемежаемости корней. Приведите примеры расположения перемежающихся корней.
3.Сформулируйте алгебраические критерии асимптотической устойчивости Рауса и Гурвица. В чем их преимущество перед другими способами проверки устойчивости системы?
Литература |
87 |
Список рекомендованной литературы
1.Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы: учеб. пособие для вузов / И. В. Мирошник. – СПб.: Питер, 2005.
2.Бесекерский В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. – СПб.: Профессия, 2004.
3.Артамонов Д. В. Основы теории линейных систем автоматического управления: учеб. пособие / Д. В. Артамонов, А. Д. Семёнов. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2003.
4.Повзнер Л. Д. Теория систем управления: учеб. пособие для вузов / Л. Д. Повзнер. – М.: Изд-во. МГГУ, 2002.
5.Лазарева Т. Я. Линейные системы автоматического регулирования: учеб. пособие / Т. Я. Лазарева, Ю. Ф. Мартемьянов. – Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн.
ун-та, 2001.
6.Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г. Ф. Зайцев. – К.: Вища школа, 1989.
7.Михайлов В. С. Теория управления / В. С. Михайлов. – К.: Вища шк.,
1988.
8.Диткин В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А.П. Прудников. – М.: Наука, 1974.
9.Шостак Р.Я. Операционное исчисление / Р.Я. Шостак. – М.: Высш. шк.,
1972.
10.Диткин В. А. Справочник по операционному исчислению / В. А. Диткин, А.П. Прудников. – М.: Наука, 1965.
11.Шелковников Ф. А. Сборник упражнений по операционному исчислению / Ф. А. Шелковников, К.Г. Такайшвили. – М.: Высш. шк., 1976.
Навчальне видання
Вайсруб Наталія Володимирівна Чуберкис Віктор Петрович
Теорія управління
Конспект лекцій
(Рос. мовою)
Редактор |
О. М. Сорокова |
Технічний редактор |
А. Ю. Муромцева |
Підписано до друку 28.08.2012 р. Формат 60 х 84/16. Папір офсетний.
Друк – цифровий. Умовн. друк. арк. 5,23 Тираж 100 прим. Зам. № 320
Донецький національний університет 83001, м. Донецьк, вул. Університетська, 24. Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до Державного реєстру
серія ДК № 1854 від 24.06.2004 р.