Лекции по ТВ и МС(ч.1)

совместную плотность распределения (ξ,η). Вычислите маргинальные плотности

ξи η. Вычислите коэффициент корреляции между ξ и η.

6.Дана ковариационная матрица системы случайных величин

Найти корреляционную матрицу.

7. Закон системы двух абсолютно непрерывных случайных величин (ξ,η)задан плотностью распределения вероятностей

Найти: а) константу c , б) корреляционную матрицу. Зависимы или нет случайные величины ξ и η.

независимым случайным величинам ξ1,ξ2 ,K,ξn , имеющим равномерное на отрезке [0,1] распределение, т.е. значения ξ1,ξ2 ,K,ξn , расположенные в порядке неубывания. Найти ковариацию и коэффициент корреляции ρξ(i )ξ( j ) .

11. Найти коэффициент корреляции между числом появлений единицы и числом выпадений шестерки при n испытаниях.

149

Лекция № 15

Производящие, характеристические функции.

В случае существования плотности fξ (x) случайной величины ξ эту формулу можно переписать следующим образом

−∞

Непосредственно из определения вытекают свойства характеристической функции:

1)ϕ(0)=1, ϕ(u) ≤1 для всех действительных x .

2)ϕ(−u)=ϕ(u).

3)ϕ(u) — равномерно непрерывная функция на всей числовой оси.

150

Лекция № 15 Характеристические функции

4) Характеристическая функция положительно определена, т.е. для любых действительных чисел u1,u2 ,Kun и любых комплексных чисел c1, c2 ,K, cn

n n

∑∑ϕ(uk −ur )ck cr ≥ 0 . k =1 r =1

5)Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Действительно, пусть ϕξ (u) — характеристическая функция случайной величины

ξ, ϕη (u) — случайной величины η, тогда характеристическая функция их суммы

ξ+η равна

ϕξ +η (u)= M eiu(ξ +η) = M eiuξ eiuη = M eiuξ M eiuη =ϕξ (u)ϕη (u).

6) Если η = a +bξ , где a и b — некоторые постоянные, то ϕη (u)=ϕξ (bu)eiua . Не сложно видеть, что ϕη (u)= M eiuη = M eiu(a +bξ ) = eiua M eiubξ = eiuaϕξ (bu).

7)Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.

Доказательство последнего свойства в общем случае можно найти, например, в [2 стр. 246].

Если случайная величина ξ абсолютно непрерывна, выражение (15.2) суть преобразование Фурье функции fξ (x). Для абсолютно непрерывной величины ξ плотность fξ (x) восстанавливается по ее характеристической функции ϕξ (u)

следующим образом:

fξ (x)= 21π +∞∫e−iuxϕξ (u)du .

−∞

Зная характеристическую функцию дискретной целочисленной случайной величины ξ , такой что P{ξ = k}= pk , ϕξ (u) можно восстановить ее

распределение. Не трудно видеть, что справедливы равенства:

151

Пример 15.2. Найдем характеристическую функцию случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром λ .

152

Лекция № 15 Характеристические функции

Выполнив интегрирование по частям, получим

Таким образом, характеристическая функция ϕξ (u) удовлетворяет задаче Коши, поставленной для дифференциального уравнения ϕξ′ (u)= −uϕξ (u), с

начальным условием ϕ(0)=1. Решая ее, получим, что ϕξ (u)= e−u22 .

Еще одно важное свойство характеристических функций сформулируем в виде теоремы.

Если существует абсолютный начальный момент порядка n

M ξ n , то функция ϕξ (u) имеет n непрерывных производных

и справедливо равенство

ϕξ(n)(0)= in Mξn .

Теорема 15.1.

При этом имеет место соотношение

−∞

Далее, используя метод математической индукции, получим требуемое в теореме равенство

ϕξ(n)(0)= in Mξn .

Запишем разложение функции eix в ряд Тейлора в окрестности нуля с остаточным членом в форме Лагранжа

153

εn (u)→ 0 при u → 0 .

Пример 15.6. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром λ , тогда ϕξ (u)= eλ(eiu −1). Следовательно,

ϕξ′ (u)= λieiu eλ(eiu −1) и ϕξ′′(u)= −(λeiu + λ2e2iu )eλ(eiu −1).

Таким образом,

M ξ = ϕξ′i(0)= λ, Dξ = −ϕξ′′(0)+[ϕξ′ (0)]2 = λ .

15.2 Производящие функции

Для неотрицательных целочисленных величин используют производящие функции.

Так как eix =1, тогда характеристическая и производящая функции

154

непосредственно вытекают утверждения теоремы.

Пример 15.7. Найдем производящую функцию случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром λ .

Пример 15.8. Если ξ имеет геометрическое распределение с параметром p ,

P{ξ = k}= p(1− p)n , n = 0,1,K Тогда

155

1.lξ (0)=1.

2.Если функции распределения случайных величин ξ и η равны, то совпадают и их преобразования Лапласа lξ (z) и lη (z).

3.Преобразование Лапласа является аналитической функцией в правой полуплоскости.

Доказательство данной теоремы аналогично двум предыдущим.

Пример 15.9. Если ξ имеет показательное распределение с параметром λ ,

тогда

156

15.4. Рекомендуется изучить самостоятельно:

¾[2] – стр. 119 — 126, 128 — 133;

¾[3] – стр. 207 — 219, 234 — 244.

15.5. Теоретические вопросы, выносимые на экзамен:

1. Характеристические, производящие функции. Преобразования Лапласа. Их свойства.

15.6. В результате успешного усвоения материала лекции студент должен знать:

9определения:

¾характеристическая функция;

¾производящая функция;

¾преобразование Лапласа;

9теоремы:

¾о связи характеристических функций и моментов случайных величин;

¾о связи производящих функций и моментов случайных величин;

¾о связи преобразования Лапласа и моментов случайных величин;

уметь:

9доказывать теоремы:

¾о связи характеристических функций и моментов случайных величин;

¾о связи производящих функций и моментов случайных величин;

¾о связи преобразования Лапласа и моментов случайных величин;

9решать задачи, используя свойства:

¾характеристических функций;

¾производящих функций;

¾преобразований Лапласа.

15.7. Задачи и упражнения

1. Найти характеристическую функцию и, используя ее, математическое

157

Характеристические функции Лекция № 15

ожидание и дисперсию (если они существуют) случайной величины, имеющей:

2.Найти характеристическую функцию числа появлений события при одном испытании, если вероятность появления события при одном испытании равна p .

3.Найти характеристическую функцию числа появлений события A при n

независимых испытаниях, если вероятность появления события A от испытания к испытанию меняется и для k –го испытания равна pk (k =1,2,K, n).

ожидание и дисперсию (если они существуют) случайной величины, имеющей: а) биномиальное распределение с параметрами n и p ;

158