ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

плоскости xOy поворот координатных осей на угол α =

квадратичная форма 2x2 +2xy +2 y2

будет иметь

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

989 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

8.7.Найдите вектор pr , если он коллинеарен вектору ar =(−4;3; 2) и скалярное произведение его на вектор br =(−2; −3;3) равно 3.

8.8.При каком значении m векторы ar = i + rj +mk , b = i + rj +(m +1)kr и cr = ir− rj +mk

компланарны?

ar =(6;3;4),

8.9. Найдите

объем

параллелепипеда,

построенного

на

векторах

br =(−1; −2; −1) и cr = (2;1; 2).

8.10. Найдите

вектор

dr, зная, что он

перпендикулярен

векторам

ar =(0; −1; 2)

br =(1;3;3), а его скалярное произведение на вектор p = 3i − rj +2kr равно 8.

8.11. Вычислите координаты вектора c , ортогонального

векторам

= 2 j −k

br = −ir+2 rj −3kr , образующего тупой угол с осью Oy , если

= 7 .

8.12.Найдите орт er , перпендикулярный векторам ar = (1; −1;0) и b =(2;1; −1).

8.13.Заданы точки A(0; 2;0), B (3;0; −4),C (2;1;1), D (−1; −1; −1). Вычислить векторное

uuur

uur

uuur

произведение векторов (AB −3BC ) и (CD

+ AC).

uur

uuur

8.14. Какую

тройку

образуют

векторы

если

AB, AC, AD

A(1;1; −1), B (2;3;1), C (3; 2;1), D (5;9;8)?

8.15. Даны точки

A(0; −3; 4), B (2;5; −1),C (−4; 2; −2). Вычислить скалярное произведе-

uuuur

uuur

uur

uuur

ние векторов (3AB −2BC ) и (CB + BA).

8.16. Даны координаты вершин треугольника

A(1;1; −1), B (2; 4; −1), C (8;3; −1). Выяс-

нить, какого он вида (по углам, по сторонам).

8.17. При каком значении

+4k

m векторы a

= i +2 j

+mk , b = mi − j

c = 2i +m2

компланарны?

8.18. Векторы

и b образуют угол

π3 . Найдите длину вектора

если

= 2 ,

a −

2b ,

br =1.

8.19.При каком значении t векторы pr = ar+tb и qr = ar−tb будут взаимно перпендикулярны, если a = 6ir+2 rj −3kr , b =3ir−4kr?

8.20. Вычислить			объем		параллелепипеда,					построенного на векторах ar = pr −3qr + rr ,
r	r r		r		r	r	r	, где	r	r	взаимно перпендикулярные орты.
b	= 2 p +q	−3r		, c = p + 2q			+ r		p, q, r

8.21.Вычислите проекцию вектора pr =(2; −1; 2) на ось, образующую равные острые углы с координатными осями.

8.22.Найдите скалярное произведение векторов ) и (5ar−6br), если 4 ,ar =(3ar−2br

br =6 и угол между векторами a и b равен π3 .

8.23. Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам ar =(3; −1; −1) и br = (0; 2;1).

8.24. Упростить выражение (2ar+br)(cr−ar)+(br+cr)(ar+br).

8.25.Лежат ли точки A(1; −2; 2), B (1; 4;0),C (−4;1;1), D (−5; −5;3) в одной плоскости?

8.26.Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах (2ar+3br) и (ar−2b ),

если ar =6 , br =5 и угол между векторами a и b равен 60o .

8.27.При каких значениях α и β векторы 2ir−α rj +4k и βir−2 rj −kr коллинеарны?

8.28. При каком значении k точки A(1; k;3), B (−1;3; 4),C (1; 2;1), D (k; 2;5)								лежат в од-
ной плоскости?	r	что он ортогонален векторам					r	r	r	−k и
8.29. Найдите вектор	d , если известно,	что он ортогонален векторам					a	= i	+ j	−k и
br = 4ir− rj +2kr , а его скалярное произведение на вектор				p = −3ir		−2 rj −kr равно 3.
	r	r	r	r	r	r	r	r	r	r
8.30. Найдите угол между векторами a +b и a			−b , если a =	3i	− j +2k и b			= i	+ j	−k .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Как задается алгебраический вектор? Геометрический вектор?

2.Что означают числа, которые являются координатами геометрического

вектора?

3.Как следует направить векторы a и b , чтобы длина вектора ar +br была наибольшей? Наименьшей?

4.При каком условии для ненулевых векторов верно a +br = ar −br ? А

ar +br < ar −br ?

5. Условие коллинеарности двух векторов? Условие перпендикулярности

двух векторов? Условие компланарности трех векторов? uuuur2

6. Какова длина отрезка MN , если MN =16 ?

7. Может ли вектор составлять с координатными осями углы α = 45o ,

β=60o и γ =120o ?

8.Можно ли говорить о скалярном произведении трех векторов? О скалярном кубе вектора?

9.Чему равно векторное произведение противоположныхr векторов?

иb , что ar×b = b ×ar?10.Существуют ли такие векторы a

11.Чему равно rj ×ir?

r r

12.Чему равно произведение aba ?

Тема 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Задание 9. В этом задании даны координаты вершин треугольника ABC . Требуется написать уравнения:

9.1стороны BC ;

9.2высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ;

9.3медианы, проведенной из вершины C .

Дано. A(−1;−5), B(3;−1) и C (1;−2).

Решение.

1. Уравнение стороны

BC напишем, используя уравнение прямой,

проходящей через две точки

x − x1

y − y1

− x

− y

В нашем случае получим

x −3

y +1

или

x −3

y +1

. Выполнив

1−3

−2

−1

−2 +1

преобразования, окончательно имеем x −2 y −5 =0 .

Ответ. BC : x −2 y −5 =0 .

2. Для высоты

будем использовать уравнение прямой с нор-

мальным вектором nr

=(A, B): A(x − x )

+ B(y − y )=0 .

Поскольку высота

BC ,

перпендикулярна стороне

в качестве

нормального вектора

возьмем

uur

=(−2;−1).

Так

как точка

вектор BC

A(−1;−5) лежит на высоте

AH , то уравнение высоты будет иметь вид

−2

(x +1)−1(y +5)=0 или после преобразований 2x + y +7 =0 .

Ответ.

AH : 2x + y +7 =0 .

3. Для медианы

CM будем использовать каноническое уравнение

прямой:

x − x0

y − y0

с направляющим вектором S =(m,n). В качестве

uuur

последнего используем вектор

CM , где точка M – середина отрезка AB .

Координаты

точки

найдем

по

формулам

xA + xB

, y

yA + yB

. В нашем случае, получим M (

−1+3

;

−5−1

)=(1;−3).

uuur

−1).

Подставляя

Теперь можно вычислить координаты вектора

CM =(0;

его координаты и координаты точки C (1;−2) в каноническое уравнение,

получим уравнение медианы CM :

x −1

y +2

. Заметим, что знаменате-

−1

лей какой-либо дроби может являться нулем, это означает лишь символическую запись. Поэтому из пропорции уравнение медианы имеет вид x =1.

Ответ. CM : x =1.

Задание 10. В этом задании необходимо привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, определить пара-

метры кривой и сделать рисунок

10.1с помощью преобразования координат;

10.2с помощью теории квадратичных форм.

Дано. Уравнение кривой 2x2 +2xy +2y2 + 2x − 2y −5 =0 .

Решение.

1. Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду, выполним поворот и параллельный перенос координатных осей.

Поворот

координатных

осей

выполняется

по

формулам

x = x1 cosα − y1 sinα

y = x1 sinα + y1 cosα

Подставив выражения для x и y в исходное уравнение, выделим ко-

эффициент при произведении x1 y1 и приравняем его к нулю:

(x cosα − y sinα)2 +

(x1 cosα − y1 sinα)(x1 sinα + y1 cosα)+

+2(x sinα + y cosα)2 +

2 (x1 cosα − y1 sinα)−

2 (x1 sinα + y1 cosα)−5 =0.

Коэффициент при произведении x y имеет вид 2cos2 α −2sin2 α =0 .

осей α = π ,

Решая уравнение, получим

угол

поворота

координатных

sinα = cosα =

. Подставим эти значения в уравнение и после преобра-

3x2

+ y2 −2 y −5 =0 .

зований получим

Теперь выполним параллельный перенос координатных осей по

формулам x1 = X +a .

y1 =Y +b

Подставим

их

в уравнение

3(X +a)2 +(Y +b)2 −2

(Y +b)−5 =0 и

приравняем к нулю коэффициенты при X и Y :

6a = 0

, отсюда получаем, что

a = 0

. Таким образом начало ко-

2b −2 =

b =1

ординат надо переместить в точку O′(0;1). Подставляя найденные значения a и b в уравнение кривой, получим 3X 2 +Y 2 −6 = 0 . Приведем его к

виду	X 2	+	Y 2	=1. Это уравнение эллипса с полуосями a = 2 и b = 6 , но
	2		6

т.к. a >b , то фокусы этого эллипса лежат на оси ординат и имеют коорди-

наты F1,2 (0;±

6) .

2. Рассмотрим квадратичную

форму

2x2 +2xy +2 y2 . Запишем ее

матрицу 2

Определим собственные числа матрицы (см. Задание 5.1) из характе-

ристического уравнения

2 −λ

= 0 или (2 −λ)2 −1 =0 . Решая урав-

2 −λ

нение, получим собственные числа λ1 = 3 и λ2 =1.

Найдем соответствующие единичные собственные векторы (см. За-

дание 5.2). Для этого решим системы уравнений:

Если

λ1 =3 ,

то −x + y = 0 ,

x = c

Получим собственный вектор

x − y = 0

y = c

er =

c .

Модуль этого вектора

c2 +c2 = c

2 . Нормируя, получаем

первый единичный собственный вектор e

то x + y = 0

, x = −c .

Если

λ2 =1,

Получим собственный вектор

x + y = 0

y = c

er =

−c

. Модуль этого вектора

+c2

= c

2 . Нормируя, получаем

−

второй единичный собственный вектор e

ero

Перейдем к базису векторов

ero . Составим матрицу перехода

−

T =

Тогда преобразования

координат

задаются системой

x		1	−		1	′		x =		1		x′−	1

		2		2						2			2
	=					x	или
											1			1
y		1		1		y′			y =			x′+


		2		2						2			2

y′

y′. Это преобразование задает в

вид λ1 (x′)2 +λ2 (y′)2 =3(x′)2 +(y′)2 . Подставив в линейную часть уравнения заданной кривой выражения для x и y из последней системы, получим:

3(x′)	2	+(y′)	2			1		1				1		1
				+	2		x′−		y′	−	2		x′+		y′	−5	= 0 ,
						2		2				2		2

′

−2 y

′

=5,

3(x )

+(y )

′

+(y

′

−1)

6 или

(x′)2

(y′−1)2

=1.

3(x )

Последнее

уравнение

является уравнением эллипса с полуосями

a =

2 и b = 6 и центром симметрии в точке O′(0;1)

в системе координат

′ ′

x Oy

, определяемой ортонормированным базисом e1

и e2 .

Ответ. В обоих случаях получили эллипс с полуосями a = 2 и b = 6 и центром симметрии в точке O′(0;1).

Построение рисунка.

Строить эллипс будем по следующей схеме: (см. рисунок 1)

а) Зададим произвольную систему координат xOy .

б) Повернем координатные оси против часовой стрелки на

угол π4 . Получим новую сис-

тему координат x′Oy′.

в) В системе координат x′Oy′ отметим центр симметрии эллипса O′(0;1) и проведем че-

рез него оси симметрии эллипса.

г) Построим эллипс с центром в точке O′(0;1) и полуосями

a = 2 и b = 6 .

	y
y1,Y	X
	x1
	2
O′
O	x
	6

Рисунок 1 – Построение эллипса

ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

Задание 9.

Написать уравнения:

1.стороны BC ;

2.высоты, опущенной из вершины A на сторону BC ;

3.медианы, проведенной из вершины C .

9.1	A(−3; 3), B (5;1),C (6; −2)	9.2	A(3; 2), B (−1; 3),C (1; −2)
9.3	A(2; −1), B (4;5),C (−3; 2)	9.4	A(3;4), B (2;1),C (5; 2)
9.5	A(2;0), B (5; 3),C (3;7 )	9.6	A(5; 4), B (4;1),C (7; 2)
9.7	A(−3; 3), B (5;1),C (6; −2)	9.8	A(2; 2), B (1; −1),C (4;0)
9.9	A(2;1), B (−1; −1),C (3; 2)	9.10	A(2;1), B (1; −2),C (4; −1)
9.11	A(0;1), B (−2; 2),C (3; −2)	9.12	A(2;7 ), B (1; 4),C (4;5)
9.13	A(−2; −1), B (1;1),C (4;0)	9.14	A(2;0), B (1; −3),C (4; −2)
9.15	A(3; −1), B (−3;1),C (1;4)	9.16	A(2;6 ), B (1;3),C (4; 4)
9.17	A(4; −2), B (1;6 ),C (−3;1)	9.18	A(−1;0), B (1; 5),C (4; −3)
9.19	A(4; 2), B (−1; 3),C (1; −2)	9.20	A(2; 5), B (1; 2),C (4; 3)
9.21	A(0; 4), B (−3; −2),C (0;1)	9.22	A(−3; −2), B (2; 2),C (4; −1)
9.23	A(2;0), B (−2;1),C (1; −1)	9.24	A(−2; 2), B (1; −1),C (4;1)
9.25	A(−1;1), B (1; −2),C (3;1)	9.26	A(2;7 ), B (−3; −3),C (3; −1)
9.27	A(1;1), B (−2; −3),C (2;0)	9.28	A(1; −4), B (3; 2),C (−3;1)
9.29	A(2; 4), B (1;1),C (4; 2)	9.30	A(2; 5), B (1; 2),C (4;3)

Задание 10.

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду

1.с помощью преобразования координат;

2.с помощью теории квадратичных форм.

10.19x2 +12xy +4 y2 −24x −16 y +7 =0

10.25x2 −6 xy +5 y2 −24x −32 =0

10.37 x2 +60xy +32 y2 −14x +60 y +7 =0

10.429x2 −24xy +36 y2 +82x −96 y −91 =0

10.54x2 +4xy + y2 +16 x +8 y +15 =0

10.64x2 −4xy + y2 −3x +4 y −7 =0

10.74xy +3y2 +16 x +12 y −36 =0

10.811x2 −20xy −4 y2 −20x −8 y +1 =0

10.94x2 −12xy +9 y2 −20x +30 y +16 =0

10.104x2 −4xy + y2 −6 x +3y −4 =0

10.119x2 +24xy +16 y2 −230x +110 y −475 =0

10.125x2 +12xy −22x −12 y −19 =0

10.1314x2 +24xy +21y2 −4x +18 y −139 =0

10.143x2 + xy −2 y2 −5x +5 y −2 =0

10.154x2 −12xy +9 y2 −2x +3 y −2 =0

10.164x2 +24xy +11y2 +64x +42 y +51 =0

10.179x2 −4xy +6 y2 +16 x −8 y −2 =0

10.184x2 +16 xy +15 y2 −8x −22 y −5 =0

10.195x2 +4xy +8 y2 −32x −56 y +80 =0

10.208x2 +6 xy −26 x −12 y +11 =0

10.21x2 −2xy + y2 −10x −6 y +25 =0

10.222x2 −5xy −12 y2 − x +26 y −10 =0

10.23x2 −12xy −4 y2 +12x +8 y +5 =0

10.24x2 −4xy +4 y2 +4x −3y −7 =0

10.25x2 −5xy +4 y2 + x +2 y −2 =0

10.265x2 +6 xy +5 y2 −6 x −10 y −3 =0

10.272x2 +4xy +5 y2 −6 x −8 y −1 =0

10.2812xy +5 y2 −12x −22 y −19 =0

10.295x2 +24xy −5 y2 =0

10.3041x2 +24xy +9 y2 +24x +18 y −36 =0

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Что называется уравнением линии на плоскости? Приведите примеры уравнений линий.

2.Что такое порядок алгебраической линии?

3.Что называется угловым коэффициентом прямой линии на плоскости? определен ли угловой коэффициент прямой, параллельной оси Oy ?

4.Что называется нормальным вектором прямой на плоскости? Как по общему уравнению прямой на плоскости определить один из ее нормальных векторов?

5.Как определить острый угол между прямыми, заданными общими уравнениями?

6.Каково взаимное положение двух прямых с угловыми коэффициентами

−2,5 и 0,4 ?

7.Что такое полуоси эллипса?

8.Что называется эксцентриситетом эллипса? Что характеризует эксцентриситет эллипса, и в каких пределах находится его значение?

9.Сколько осей симметрии имеет эллипс?

10.Чему равен эксцентриситет эллипса, у которого малая ось равна расстоянию между фокусами?

11.Какая кривая называется гиперболой?

12.Сколько осей симметрии имеет гипербола?

13.Что называется эксцентриситетом гиперболы? Что характеризует эксцентриситет гиперболы, и в каких пределах находится его значение?

14.Что такое асимптоты гиперболы? Сколько асимптот имеет гипербола? 15.Чему равен угол между асимптотами гиперболы y2 =100 + x2 ?

16.Что называется параметром параболы? Можно ли, зная параметр параболы, найти расстояние от ее фокуса до вершины?

17.Сколько осей симметрии имеет парабола?

18.Чему равна длина хорды, проходящей через фокус параболы x2 =8y и

перпендикулярной к ее оси симметрии?

19.Сколько существует различных видов кривых второго порядка?

Тема 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Задание 11. Дано общее уравнение прямой (пересечение двух плоскостей). Составить:

11.1каноническое уравнение этой прямой;

11.2параметрическое уравнение этой прямой.

Дано. x + 2 y −3z + 2 = 0 .2x −2 y + z −5 = 0

Решение.

Можем воспользоваться одним из трех способов:

1. Первый способ. Каноническое уравнение прямой имеет вид

x − x0

y − y0

z − z0

, где

(x ; y ; z

) – какая-либо точка, принадлежа-

– направляющий вектор.

щая прямой, а S

=(m, n, p)

Выберем точку на прямой. Ее координаты должны удовлетворять

системе уравнений x + 2 y −3z + 2 = 0

. Эта система неопределенная, по-

2x −2 y + z −5 = 0

скольку ранг ее матрицы равен двум, а число неизвестных – трем. Найдем

частное решение системы при z = 0 . Получим x + 2 y + 2 = 0 . Решая ее,

2x −2 y −5 = 0

найдем одну из бесконечного числа точек M0 (1;−32 ;0).

Построим направляющий вектор прямой. Заметим, что общее уравнение прямой представляет собой пересечение двух плоскостей. Первая плоскость x + 2 y −3z + 2 =0 имеет нормальный вектор nr1 =(1;2;−3), а вто-

рая плоскость 2x −2 y + z −5 =0 – вектор n2 =(2;−2;1).

Направляющий вектор S перпендикулярен n1 , поскольку

прямая

принадлежит первой плоскости и S

перпендикулярен n2 ,

так как прямая

принадлежит второй плоскости. Поэтому

r r

2 −3

1 −3

1 2

= n1

×n2

−2 1

i −

2 1

2 −2

= −4i

−7 j

−6k .

Запишем

каноническое уравнение прямой

x −1

y +

или

−4

−7

−6

x −1

y +

Второй

способ. Сложим два уравнения системы

получим

3x −2z −3 =0.

Выразим из

этого равенства

z =

3(x −1)

Теперь

первое

уравнение системы умножим на −2 и сложим со вторым уравнением, по-

																											6(y +				3	)
																											6(y +					)
лучим −6 y +7z −9 = 0 . И снова выразим z =																														2			.
лучим −6 y +7z −9 = 0 . И снова выразим z =																												7					.						6(y +						)
																												7					3(x −1)
Первое и второе выражения для z приравняем																																					=						3					= z .
																																											2
																																	2
																					x −1						y +		3			z	2				7
Делим равенства на				6 и получаем																					=				3	=			то же каноническое
																												2
																						4				7						6
уравнение прямой.																						4				7						6
уравнение прямой.
Третий способ. Найдем две точки на заданной прямой: M0 (1;−																																														3	;0),
Третий способ. Найдем две точки на заданной прямой: M0 (1;−																																														2	;0),
она найдена выше и, например, при																						x = 0					M1 (0;−134 ;−							3		).	Тогда направ-
она найдена выше и, например, при																						x = 0					M1 (0;−134 ;−							2		).	Тогда направ-
			uuuuuur																																		3
ляющий вектор S = M0M1 (−1;−															7	;−		3	).				Искомая прямая												x −1			=		y +				=				z		,
															7			3																	x −1					y +		2						z
															4			2
																																				−1				−	7							−	3
		x −1					y +								z																					−1				−	4							−	2
что эквивалентно					=					3		=					.
										2
			4					7							6
			4					7							6
Ответ.	x −1			=		y +			3	=			z		.
	x −1					y +		2					z
		4					7						6
		4					7						6
2. Параметрическое уравнение прямой легко получить, имея канони-
ческое уравнение					x − x0						=			y − y0						=			z − z0				,		т.к.				оно					эквивалентно
ческое уравнение											=									=							,		т.к.				оно					эквивалентно
							m										n							p

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.2016117 Кб39типовик 7 модуль.doc
#
14.04.20151 Мб188Типовик матан 5 модуль.pdf
#
21.03.201616 Мб26Типовик по матану 3 семестр.pdf
#
21.03.201648 Мб142Типовик_мат_6модуль.pdf
#
01.05.2025547 Кб1типовик.doc
#
14.04.2015989 Кб29ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль.pdf
#
14.04.20151 Мб32Типовые расчеты.pdf
#
21.03.2016844 Кб10типовые расчеты.pdf
#
20.03.201635 Кб62ТЛТ.docx
#
01.03.20251 Мб7ТММ 1 лист.doc
#
14.04.201565 Кб14ТО_Л-1.docx