Высшая математика 1 курс

í

û

ì

ÿ ñîî

òñ

ííî ì òðèö é è ð ñøèð ííîé

òðèö é ñèñò ìû

(1).Ò

Кронт к рт-К п лли: ля со м

тности сист мы (1) о хо имо

ри нностйоютсмочно,трицычтоrangы р(Aн) =мrangтрицы(Aj~bэтой).

ñèñò ìû ûë ð í ð í ó ð ñøè-

ний, т.р. линилйн я си срт м ур н ниé èì ò è

14

Ï

òíûõ ëèí éíî

с ст мы со п т с числом ур н -

Åñëè ÷èñ î Êðè ì

8

112

12 2

1

1

<

1

n

+ : :

2

2

: an1x1

+ an2x2

: + annxn

= bn

>

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : :

í , òî ñèñò ì èì ò èíñò ííî

è ì òð ö ñèñò ìû A = faijg í

р ш ни , которо н хо ится по прыроилу

Êð ì ð

x

k

= k

;

k = 1; 2; : : : ; n

этих формул х

= det(A)

îïð ëèò ëü ñèñò ìû,

k

îïð ëè-

ль, получ

è îïð ë òëÿ ñèñò ìû ì íîé k- î ñòîë ö ñòîë öîì

тс о о ных члнный.

15

М тричн

ð ø íè ñèñò ìû

Ñèñò ì ëèíî éíûõ óð í íèé

8

112

x1

12x2

2 xn

2

<

+ am2x2

+ ::

1

1

: am1x1

: + amnxn

= bm

>

: : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : : : :

Мо т ыть пис н м тричной форм

~

A = faij g ì òð

A~x = b

м триц -сто ц н и стных,

ñèñò ìû, ~x = fxig

b = fbj g ì òðèö -ñòîë ö

÷ë íî .

Åñëè ì òð ö A

ð òí ÿ è íûõ

íí ÿ, òî ð øë íè ñèñò ìû ìî-

ò ûòü ïèñ íî

кицм тричнс ой оформыро1

~

~x = A

~

b

28

16

Ëèí éí

ò

ðèôì

ских кторо

ч скимВсяк якторомупо япростричонно янсоч отсякупностьсим оломтичn чис л н ы тся рифм ти-

×èñ

x1; x2; : : : ; xn í

~x = (x1

; x2

; : : : ; xn)

êî î êòîð

þòñÿ êîîð

ìè ðèôì

~x.

Í

р фм тич скимиы ктор ми оинятся сл ующитичопср ции.

òî

Ñëî íè : ñëè

; x2

; : : : ; xn) ;

~y = (y1

; y2; : : : ; yn)

~x = (x1

Óìí

íè í

~x + y~ = (x1

+ y1; x2

+ y2

; : : :

n

+ yn)

число: сли

число и ~x = (x1; x2; : : : ; xn) ðèôì

Ìíî ñ

î

ñ õ

ôì òè÷ ñ

n-

ìïî

кторо

òè÷í

ñêèé

êò ð,

~x = ( x1

; x2; : : : ; xn)

í йным простр нст ом

÷ òñÿ ñèì îëîì

èôì òè÷ ñêèõ

кторо и

ûìèî ûø ò îï ð öèÿ

сло нияких умнко ниянтныхчисло н ы тся

è-

ССк лярным

пропрои ни м кторорм~x = (x1

; x2

; : : : ; xn)

è y~ = (y1

; y2; : : : ; yn) простр нст Rn

н ы тся числпростр нст

R

n

.

î

íè è í

ê îð î î

R

17

18

Îðòî î

~x y~ = x1y1 + x2y2

+ : : : + xnyn

n

êòî

y~ = (y1; y2

R

ñò R

кторн ль~x = (x1

; x2

; : : : ; xn)

; : : : ; yn) ïðîñ

í Äû þòñÿ îðòî íûî

ными,р слипрострих к лярнсто прои ни тр íî íóëþ.

Òî ñòü,

ñëè

~xëü~y = x1y1

+ x2y2

+ : : : + xnyn

= 0

19

ðì (ìî ëü)

ð простр нст R

ННормой (мо улум) ктктрî ~x = (x1; x2

; : : : ; xn) н ы тся число

p

q

j~xj =

x2 + x

+ : : : + x2

~x ~x =

2

291

n

20321

Ñxjîéñò+>=y~0j,6j~xjxнормы=j,+0jy~òîj чинлоêðò лькорíñ

,óêîольник~x = ~0

21

4.

j~x~yj

6 j~xjj~yj

í ð í

Коши-Буняко

êî î

R

éí ÿ

нисимость и

è

, í ñ

ìû),

ëè ñóù ñò óþò (í

просущ ст проструют) т нстчи л нст;

; : : : ;

Простр нст о R

n

êî

ðî

ò î òí î

ê ëÿð

î

è

íè í û þò -

кли о ым прострнст î .

~x +

~x + : : : + êè~x = 0

22

Ëèí éí ÿ êîì

кторо

Rn

ëèí éíî

è èìû (í è è-

В кторы ~x

1

; ~x

2

; : : : ; ~x

k

òð í

н ы ют лин йн й комин цияци й кторо ~x

; ~x

; : : : ; ~x .

2

k

ð íûñ

óëþ, ÷òî

1

1

2 2

k

k

~

1

 êòîð

~x

~x

~x

~x =

1

1

+

2

2

+ : : : +

k

ïð

î ñò

k

è ëèí éíîé ì è

услоБ иии, чтпрострлþ ойнст кто

~x 2 R

èì

23

ñ

R

1

2

k

кторо ~e1

;~e2 ; : : : ;~en

Á ñîì í û

ò ëèí éíî í èñèì

ìíî ñ

í öèè

~x = x1~e1

n

+ : : : + xn~en

n

ннком -

x1

; x2

+ x2~e2

ñë

; : : : ; xn í û þò êîî

ïðò

êò òð î~x 2 R

×èñ

ПСтимнромртныйис Б ипрострпрострRнстслу т ктор

и пишут ~x = (x1

; x2

; : : : ; xn). Число

ìè

кторо , сост ляющих ис,

í û òñÿ

ì

ностью прос

n

èí R .

R

24

1

n

1 0

~e2: : : : : : :1: : : : : : : :

n

~en

= (0; 0; : : : ; 0)1

.

тот ис н ы тся ст н ртным исом простр нст R

30

1

íöè ëüíîÃë исчисл3

ни функций

ë íèð

í é ï ð ì ííîé

число y = f(x),

òî

му числу x 2 D

îñò ë íî î îîñ

ñò

ò

êîòî

Îïð ÿò, ÷òî í ìí

ðî D îïð

ë

функция f. Мн

ñ

D í

щиы Диффо от н ч

ìí

î

éñ

льных

ñ ë R. Åñëè

Ïó òü D

R функциикото

ê òñÿ

ë ñòüþ îïðî ñëò íèÿ, ìíî òñòо E ситх чисрол о y = f(x)

ìíî ñ

îì

ч ний функции

. Для функции y = f(x) принятт сло ую-

2

Монотонны

f : D ! E

ù é

û þù é) í ìí -

ñ

Фу кция y = fфункции(x) ы

ÿ

ð ñò

D R, ñëè ë

ëþ ûõ x1 ; x2

2 D, þ ð

ñò x1

< x2

ñë ó ò

í ð íñ

f(x1) < f(x2) (ñîî

òñò ííî f(x1) >(óf x2)). Âî ð ñò þùèî è

óòû þùèò î

функции

ы ю тся м онотонными функциями.

3

Пусть н я ныфункцияункции u = g(x) и y = f(u) т ки , что

Ñëî

g : D ! E ;

f : E ! G

òî ô

я y = f(g(x)) ы тся сло ной функци й или суп рпо и-

ци й функций.

Пусть опр л н функция y = f(x) т к я, что

4

Î ðð

îé ô

f : D ! E

й по отнош нию к функции y = f(x)

н ы тстн якфункцияя я x = g(y), что

f : D ! E

1

è g( (

= x è f(g(y)) = y. Î ð

g : E ! D

í ÷ þò f

.

f ô

Для монотонных функций

отнуюр я функциюя ос о

ñóù ñòó ò. Äëÿ

òî î ÷òî û ïî

тную функцию x = f

1

(y), ñë ó ò è ð íñò

y = f(x)) ыр лучитьx чор y.

32

F5 (x;ÃîÍy)îÿ=ÿò,íî0 сличто фуíëÿ

ÿñ

функцииõ xy =2 Df(x), x 2 D,

ÿ íî í óð í íè ì

6

òðè÷ ñ

íí Fÿ(x;функцияf(x)) = 0

Ïóñòüð ì íû ôункции

y = (t) ;

t 2 ( ; )

x = '(t) ;

Åñëè

è ýòîì x = '(t) èì ò î ð òíóþ t = '

1

(x), òî îïð ë í íî ÿ

7

Îïð

ë íè

число ой посл о

1

í

функция

y(x) =

'

(x)

н ы м я функци й, нной п рм тричски.

ð íè÷ ííîé ñ ð-

Ïîñë

о т нльяость fxng

í òûëü

остья р нич нной

Åñëè

к ому н тур льному числу n с посостил н

н которо число xn,

î ò ì ñ ìûì îïð

л н число я п

ë

î

льность, которую о о н ч -

þò fxng, xn

í û þò

î ùèì ÷ë íîì ï

т льот т льности.

8

ïîñë î

í

î

льнос fxng, сли ля лю о о

×èñÎ ð îíè÷a û

òñÿ

лостим п

ë

õó, î

í é ñíè

ñëè

óù òñò ó ò ò êî ÷èñë(î M, ÷òî jxnj < M

(ñîîò òñò íí

xn < Mó),M < xn) ëÿ ñ õ n = 1; 2; : : :.

9

Ï

ë ïîñë

í

aj < ïðòè n > N.

> 0 ñóù ñòó

êî

÷èñ î N, ÷òîñ jxn

Åñëè a ÿ ëÿòñÿ ïð

îì ï

î ò

ности fxng, то пишут

1

Åñëè ï

ë ò ëüí

ñÿòü

õ èòñÿ,

î îí

остим т только о ин пр л.

2.

ÿ

õî ÿù

ñ

ïîñ

îñëò ëü

òü î ð íè÷ í , è è

é ð

lim xn = a

èëè

xn

! a

Ïîñë

n!1

êîò ðîé

óù ñ

ó ò, í û òñÿ ñõî ÿù éñÿ.

льность, пртпрль

10

Люо йстльность.

ï

33

í

é

Ñ î

ñõî

î

íè÷ ííîñ

посл ящихо т льности

мо ност льы лить схо ящуюсялюп о пîñë -

11

3Åñëè. АрифмЕслит ïîñëльностьпослòè÷î îòñòêèòëüíëüíîñõîñòèтьитсfxèÿõîngê,итсчиfynëóïðgêñõîчислуa. ÿòñaÿ,òîïòîëþслпослÿî îòïîòëüíïîñëльносттиîé-

fxn

+ yng, fxnyng, fxn=yngйстк схон ятся, причл ми

+ yn) =

lim xn

+ lim yn

(

n

yn) =

n!1

n!1

lim xn

lim yn

lim

x

=

x

;

yn

=6 0 ;

lim yn =6 0

n!1

n!1

n!1

n!1

lim yn

yn

12

Ï ð õî ê

n!1

é í ð

1

ëó ïîñë î ò ëüí

посл про т льности fxng, fyng схостятся

è xn 6 yníñò, î õ

2. Åñëè xn 6 yn 6 zn

è

lim xn

= a ;

lim zn = a

lim xn

6 lim

yn

òî

n!1

n!1

n!1

n!1

lim yn = a

13

Ï

л монотонной посл

n!1

è

î

ò ëüíî

þù

ñ

Ïîñë

т льность fxng

û

òñÿ

ð ñò þù é (í ó

è ëÿ

ò ëüí

î n ûïî

ÿ òñÿ í ð

íñò î xn

< xn+1

(xn

6 xn+1é),.Ïî-

ñë

î

òü fxng í

ÿ ó û þù é

í î ð ñ

þù é), ñëè ëÿ

ë

n ûï

ÿ òñ ëí

òñ

xn+1

< xn

(xn+1 6 xn). Âñ

óê

Т ор м : мослносòîíí ÿ

о ыр ничтнно я посл о т льность имы т кон чный

îñë

î

ëþò ëüíî

è

û þòñя м нотонными.

ïþð î ë.

é ì ÷

íûé ïð ë

14

Âòî

1

n

Ï ë

ðî ò ëü îñò

xn

= 1 +

î ð

îñ

ò

è î ð íè÷ íëüñ ðõó, ñë î ò ëüíî îí ñõî èòñÿ. ż ïð ë î î-

í ÷ òñÿ e

e =

lim

1 +

1

n

;

n

e = 2; 71828 : : :

n

n!1

34

15îè îËîÁû÷ñðèôìêîíòñÿ ln÷èñxî.

ûìï îñíîøèì ÷ òïниюльнымe нпры

тсяомí .

н тур льным ло

рифмом,

Åñëè ÷ë íû ï

ò ëüí òè xn

í î ð è÷ ííî

ð

þò

ï ñî-

лютной

֏֒

ос ростом n, тослп сл от льльí

òü í û òñÿ ñêîí ÷íî

ольшой или

стр мящольйся к

кон очности. Оостин ч нио

lim xn

= 1

n!1

í ÷èí ÿ ñ í êî îðî î íîì ð , ïî-

Если при этом чл ны осл о тс льнос

ë

льны (отриц т льны), то о орятти,что xn

стр мится к плюс (минус)

осконит чности, и пишут

lim xn = 1

lim xn = +1;

16

n!1

n!1

֐

ë íè ïð

îí ÷íîé

×èñ î A í û òñÿ ïðë ëîì

ункции f(x) при x, стр мящ мся к a,

ñëè

ëÿ

ëþ î î

> 0, сущфункциист т Ж > 0 т ко , чттоjf(x) Aj

< ïðè

Î î Îïðí ÷ íè :lim f(x) = A ;

ëè

f(x) ! A ; ïðè

x ! a

0 < jx aj < Æ.

f(x) = A ;

функциили f(x) ! A ;

ïðè

x ! +1

lim

17

x!a

í

í ÷í

Îïð ë íè ïð

×èñ î A í û òñÿ ïðë ëîì

ункции f(x) при x,

оститр мящ мся к +1,

ñëè

ÿ

ëþ î î

> 0, ñóù ñò ò N > 0 òñêî , ÷òî jf(x) Aj < ïðè

x > N.

Î î í ë íè :

Ан ло ичным о р ом опр ляются пр лы при x ! 1 и x ! 1.

18

x!+1

Пр л функции сл

Чис о A н ы тся пр лом сл функции f(x) при x, с мящ мся

ê a, ñëè

ëÿ

ëþ î î > 0, ñóù ñò ó ò Æ > 0 ò

÷òî jf(x)

òðAj < ïðè

Î î í ÷ íè :

lim f(x) = A ;

èëè

f(aêî 0),

= A

a Æ < x < a.

x!a 0

35

19

×èñÏð î A íфункцииòñÿ

ëîì ñïð

функции f(x) при , с мящ мся

aê <a, xñ<ëèa +ëÆÿ. ëþû î î >ñïð0, óù ñò ó ò Æ > 0 ò êî , ÷òî jf(x) òðAj < ïðè

Î î í ÷ íè :

lim

f(x) = A ;

èëè

f(a + 0) = A

20

x!a+0

í

л ми функций

Арифм тич ски

Пусть a чис о или о йст ияим олопр 1, +1, 1. Если сущ ст уют

êîí ÷íû ïð ëû lim f(x)

èí lim g(x), òî

x!a

x!a

(f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

f( ) g(

x!a

x!a

lim

) = lim f(x)

lim g(x)

=

x!a

;

g(x) =6 0 ; lim g(x) =6 0

f

x!a

x!a

f

x!a

21

x!a g(x)

lim g(x)

ð

Ï ð õî ê ïð

Пусть f(x) 6 g(x) лун которофункцийро стности нсточки хa (x =6 a). То

lim f(x) 6 lim g(x)

x!a

x!a

ñëè ýòè ïð ëû ñóù ñò óþò.

Если f(x) 6 g(x) 6 h(x) н которой окр стности точки a (x =6 a) и

òî

lim f(x) = lim h(x) = A

x!a

x!a

lim g(x) = A

22

íû ïð

x!a

sin x

ПЗр мыйч тмльч т льный прлы л

= 1

Второй м ч т льный пр л

lim

x

x!0

1

lim 1 +

x

= e

x!1

36x

Н которы ру и

ïð ëû