Математический анализ II Учебное Пособие

Выразим криволинейный интеграл, стоящий в правой части, через опре-

Применим к определённому интегралу, стоящему справа, теорему о

дифференцируема, причём d Φ(x ,y ) =P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy .

Следствие. По предположению теоремы P (x ,y ) и Q (x ,y ) непрерывны, следовательно, непрерывны Φ′x (x ,y ) и Φ′y (x ,y ) , а тогда непрерывна и сама функция Φ(x ,y ) .

Замечание. Доказанная теорема даёт нам возможность находить функцию Φ(x ,y ) по её полному дифференциалу с помощью криволинейного

интеграла. Для этого нужно закрепить какую-нибудь точку (a .b) , а затем, взяв произвольную точку (x ,y ) , соединить их какой-нибудь простой кри-

(x ,y )

вой L и вычислить Φ(x ,y ) = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy , лишь бы только на

(a ,b )

этой кривой были выполнены условия теоремы существования криволинейного интеграла второго рода.

Доказанные выше две теоремы позволяют сформулировать такую общую теорему.

Теорема. Если в области S заданы непрерывные функции P (x ,y ) и

Q (x ,y ), имеющие непрерывные частные производные ∂P (x ,y ) и ∂Q (x ,y ) ,

∂y ∂x

то любые из следующих утверждений равносильны (т.е. из одного следует другое и наоборот):

94

на B C : x =const , dx = 0 , y [1,y ], следовательно:

= ln x +1 −ln 2 + ln x +y 2 −ln x +1 = ln x +y 2 − ln 2

Ответ: Φ(x ,y ) = ln x +y 2 +c , где c - произвольная постоянная (рис. 11).

Заметим, что при решении данного примера мы не имеем права поместить точку A в начало координат, т.к. в этом случае подынтегральная функция будет претерпевать разрыв, т.е. нарушится условие теоремы существования определённого интеграла.

Замечание 1. Заметим, что если при интегрировании дифференциального уравнения P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy = 0 оказывается, что выполнено ус-

ловие ∂P (x ,y ) = ∂Q (x ,y ) , то это говорит о том, что левая часть данного

∂y ∂x

дифференциального уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции Φ(x ,y ) , т.е. P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy =d Φ(x ,y ) .

В этом случае дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.

Очевидно, что можно легко найти общий интеграл этого уравнения, а именно: Φ(x ,y ) =c , а функция Φ(x ,y ) находится, как показано выше, с

помощью криволинейного интеграла второго рода, т.е.

(x ,y )

Φ(x ,y ) = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy .

(a ,b )

Замечание 2. Можно доказать, что для того, чтобы криволинейный интеграл

I = ∫P (x ,y ,z )dx +Q (x ,y ,z )dy +R (x ,y ,z )dz

L

в некоторой области S не зависел от пути интегрирования, необходимо, чтобы в каждой точке этой области выполнялись условия

рывными и имеющими непрерывные указанные частные производные всюду в S , а на кривой L выполнены условия теоремы существования криволинейного интеграла второго рода.

96

ГЛАВА V. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Поверхностные интегралы I рода

Определение. Пусть S - квадрируемая поверхность, в каждой точке которой определена функция F (x ,y ,z ) .

n

σn = ∑F (xk ,y k ,zk ) Sk . k =1

Измельчая дробление таким образом, чтобы ранг дробления стремился к

нулю, будем искать предел I = limσn .

n →∞

λ→0

Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на ячейки и выбора точек M k (xk ,y k ,zk ) , то он называется

поверхностным интегралом первого рода от функции F (x ,y ,z ) по по-

верхности S и обозначается так:

I = ∫∫F (x ,y ,z )dS .

p (x ,y ) = ∂f (x ,y ) и q(x ,y ) = ∂f (x ,y ) и если в каждой точке поверхности S

∂x ∂y

функция F (x ,y ,z ) непрерывна, то тогда поверхностный интеграл первого рода от функции F (x ,y ,z ) существует и выражается через двойной интеграл так:

∫∫F (x ,y ,z )dS = ∫∫F[x ,y , f (x ,y )] p 2 (x ,y ) +q 2 (x ,y ) +1dxdy .

S D

(без доказательства).

97

I = limσn .

n →∞

λ→0

Если этот предел, не зависящий от способа дробления и выбора точек

M k , существует, то он называется поверхностным интегралом второго

рода соответственно по верхней и по нижней стороне поверхности S и обозначается

I = ∫∫F (x ,y ,z )dxdy .

S

Аналогично определяются интегралы ∫∫F (x ,y ,z )dydz и ∫∫F (x ,y ,z )dzdx ,

где все интегралы берутся по одной и той же стороне поверхности.

Свойства поверхностных интегралов очевидно. Отметим только, что ес-

ли поверхности S представляет собой цилиндрическую поверхность, обра-

зующие которой перпендикулярны плоскости xO y , то

∫∫F (x ,y ,z )dxdy = 0 .

S

Это с очевидностью следует из определения поверхностного интеграла

второго рода.

1. Теорема существования поверхностного интеграла второго рода

q(x ,y ) = ∂z (x ,y ) существуют и непрерывны в простой области D плоско-

∂y

сти xO y и если в каждой точке поверхности S задана непрерывная функция F (x ,y ,z ) , то поверхностный интеграл по верхней и нижней стороне

поверхности S существует и выражается через двойной интеграл для верхней стороны поверхности S :

∫∫F (x ,y ,z )dxdy = ∫∫F [x ,y , f (x ,y )]dxdy

и соответственно для нижней стороны поверхности S :

∫∫F (x ,y ,z )dxdy = −∫∫F [x ,y , f (x ,y )]dxdy .

100

∫∫P (x ,y ,z )dydz +Q (x ,y ,z )dzdx +R (x ,y ,z )dxdy =

S

= ∫∫[P (x ,y ,z )cos λ +Q (x ,y ,z )cos μ +R (x ,y ,z )cosν]dS ,

S

где через λ , μ и ν обозначены углы нормали, входящей в выбранную сто-

рону поверхности интегрирования, в интегралы, стоящие слева, с координатными осями O x , O y и O z , а интегралы, стоящие в правой и левой частях равенства, существуют.

§ 3. Формула Остроградского

Рассмотрим некоторое тело T , ограниченное снизу простой поверхностью S1 , уравнение которой z =ϕ(x ,y ) , сверху - простой поверхностью S 3 ,

Вычислим его, выразив через повторный:

Следовательно,

102

Формула (1) устанавливает связь между тройным интегралом по телу T и поверхностным по полной поверхности, ограничивающей это тело, причём поверхностный интеграл вычисляется по внешней стороне поверхности

∂Q (x ,y ,z ) . Совершенно аналогично можно доказать ещё две малые фор-

∂y

мулы Остроградского:

Складывая почленно формулы (1), (2) и (3), получим большую формулу Остроградского или просто формулу Остроградского:

ординатными осями O x , O y и O z , тогда в правой части формулы Остроградского можно перейти к поверхностному интегралу первого рода:

103