Rozova_Maximova

Рассмотрим функцию h*(t), которая обращается в

нуль вне Sδ(t*), а внутри этой окрестности строго положительна (например, функция типа «шапочки»). Тогда

Получили противоречие с условиями леммы. Лемма доказана.

b

A(t)h′(t)dt = 0 , h(t) C1[a;b]: h(a)=h(b)=0 , то A(t)≡const

a

на отрезке [a;b].

Док-во (от обратного).

Пусть A(t)≠const на [a;b]. Тогда существуют точки t1, t2 [a;b]: A(t1)≠ A(t2). Аналогично лемме Лагранжа, можно считать, что t1, t2 (a;b). Пусть, для определенности,

A(t1)< A(t2).

Тогда существует такая константа C, что

A(t1)<C< A(t2).

Рассмотрим на отрезке [a;b] функцию h*(t) такую, что

(h*(t))′ =0 вне окрестностей Sδ(t1) и Sδ(t2).

21

Тогда

Получили противоречие с условием леммы, стало быть, не

существует таких t1, t2 [a;b], что A(t1)≠ A(t2), т.е. A(t)≡const

на отрезке [a;b]. Лемма доказана.

Замечание. Леммы Лагранжа и Дюбуа– Рэймона называются основными леммами вариационного исчисления.

Первое слагаемое обращается в нуль, так как в задаче с закрепленными концами h(a)=h(b)=0.

22

Получаем

Оба слагаемых в правой части последнего равенства дифференцируемы по t, следовательно, и левая часть равенства так

Теорема существования второй производной экстремали.

Экстремаль x= xˆ(t) дважды дифференцируема во всех

23

Сопоставляя начало и конец этой цепочки преобразований, заметим, что предел левой части и первые два слагаемых правой части существуют, откуда вытекает, что у третьего слагаемого в правой части существует предел во

5.2. Вывод уравнения Эйлера для классической задачи вариационного

исчисления

24

существует.

Последнее слагаемое равно нулю в силу закрепленных концов, так как h(a)=h(b)=0.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Пусть xˆ(t) – точка локального экстремума в

задаче

b

F(x) = f (t, x(t), x(t))dt → extr, x(a)=xa, x(b)=xb,

a

f (t, x(t), x(t)) дважды непрерывно дифференцируема как

функция трех переменных, тогда выполнено уравнение Эйлера

Замечание. Запишем уравнение Эйлера в развернутом

виде:

25

Замечание. Данная теорема дает лишь необходимое, но не достаточное условие слабого локального экстремума.

Итак, для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала в задаче с закрепленными концами, необходимо:

1.Выписать уравнение Эйлера;

2.Решить полученное дифференциальное уравнение второго порядка;

3.Определить обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, из краевых условий

x(a)=xa, x(b)=xb.

Замечание. Экстремум функционала может реализоваться только на допустимых экстремалях. Однако для того чтобы установить, реализуется ли экстремум и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума, изложенными в пункте 8.4.

Пример 1. Найти экстремали функционала

общее решение уравнения Эйлера:

26

x(t) = − t 3 + C1t + C2 . 6

Граничные условия дают систему линейных уравнений для определения С1 и С2:

C1 + C2 = 16 ,

2C C 2 .+ =

1 2 6

Отсюда C1 = 16 ,C2 = 0 . Следовательно, экстремум может

достигаться лишь на кривой

xˆ = 6t (1 − t 2 ) ,

в классе x(t) C1([1;2]).

Пример 2. Найти экстремали функционала

2π

F(x) = (x2 − x2 )dt ,

0

удовлетворяющие граничным условиям x(0)=1, x(2π)=1.

Решение. Уравнение Эйлера имеет вид x + x = 0. Его общим решением является

x(t)=C1cost+C2sint.

Используя граничные условия, получим xˆ(t) =cost+Csint,

где С – произвольная постоянная.

Таким образом, поставленная вариационная задача имеет множество экстремалей.

27

5.3. Специальные случаи уравнения Эйлера

Возможны два случая:

1.Полученное уравнение – алгебраическое. Если данное уравнение имеет решение x(t), то оно не содержит произвольных постоянных. Таким образом, если полученное ре-

шение x(t) не удовлетворит краевым условиям x(a)=xa, x(b)=xb, то экстремальная задача решения не имеет.

2.Если (5.2) – тождество, т.е. ∂∂Mx (t, x) = ∂∂Nt (t, x) , то M(t,x)dt+N(t,x)dx – полный дифференциал.

Тогда

b b b

Таким образом, значение функционала постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача не имеет смысла.

Пример 1. Найти экстремали функционала

b

28

Таким образом, вариационная задача не имеет смысла.

Пример 2. Найти экстремали в следующей задаче

b) x(0)=0, x( π2 )= π4 .

Решение. Уравнение Эйлера примет вид 2t–2x=0. Получили алгебраическое уравнение, решив которое, получим:

x(t)=t.

Проверим краевые условия:

а) x(0)=0, x( π2 )= π2 . В данном случае кривая x(t)=t удовле-

творяет краевым условиям и, следовательно, xˆ(t) = t – решение поставленной задачи;

b) x(0)=0, x( π2 )= π4 . В данном случае полученная кривая

x(t)=t не удовлетворяет краевым условиям и поставленная задача не имеет решений.

29