Математика

1 3x3 3x4 b1

9.3x1 2x2 5x4 b2 ,4x1 3x2 5x3 b3x

1 x3 3x4 b1

0.x1 2x2 x3 2x4 b2 .x1 x2 4x4 b32x

Вектор свободных членов b приведен в таблице 3.

Таблица 3 –Варианты задания 4

11

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Задание № 1

Вариант № 1

Написать уравнение прямой, проходящей через точки M(2; 3; –1) и

N(3; 2; 1).

Решение

Каноническое уравнение прямой линии в пространстве имеет вид:

где x0, y0, z0 – координаты любой точки, лежащей на прямой;

l, m, n – координаты направляющего вектора прямой, т.е. координаты любого не нулевого вектора, параллельного прямой.

В качестве точки, лежащей на прямой, возьмем точку M(2; 3; –1), а

качестве направляющего вектора прямой – вектор MN :

MN 3 2 i 2 3 j 1 1 k i j 2 k .

Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точки M и N, имеет

Вариант № 2

Написать уравнение прямой, проходящей через точку M(2; 5; – 1) перпендикулярно плоскости : 14x 2y 25z 35.

12

Решение

Каноническое уравнение прямой линии в пространстве имеет вид:

перпендикулярного плоскости и, следовательно, параллельного искомой прямой. Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M(2,5, –1)

перпендикулярно плоскости : 14x 2y 25z 35, имеет вид:

Вариант № 3

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M(2; 4; 6), N(3; 1; – 4) и K(– 3; – 5; 1).

Решение

Уравнение плоскости имеет вид:

Ax By Cz D,

где A, B, C – координаты вектора a, перпендикулярного плоскости,

D Ax0 By0 Cz0,

x0, y0, z0 – координаты любой точки, лежащей на плоскости.

В качестве точки, лежащей на плоскости, возьмем точку M(2; 4; 6).

13

Векторы MN 3 2 i 1 4 j 4 6 k i 3 j 10 k и

MK 3 2 i 5 4 j 1 6 k 5 i 9 j 5 k параллельны искомой

плоскости, следовательно, их векторное произведение будет вектором a,

перпендикулярным плоскости.

Вычислим вектор a:

3 5 10 9 i 1 5 10 5 j 1 10 3 5 k

15 90 i 5 50 j 10 15 k 75 i 55 j 25 k.

искомой плоскости.

Вычислим величину D:

D 15 2 11 4 5 6 16.

Таким образом, уравнение искомой плоскости имеет вид:

15x 11y 5z 16.

Ответ: 15x 11y 5z 16.

Вариант № 4

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(– 1; 1; 0)

Решение

Уравнение плоскости имеет вид:

Ax By Cz D,

14

где A, B, C – координаты вектора a, перпендикулярного плоскости,

D Ax0 By0 Cz0,

Вычислим величину D:

D 8 1 4 1 1 0 4.

Таким образом, уравнение искомой плоскости имеет вид:

8x 4y z 4.

Ответ: 8x 4y z 4.

Вариант № 5

Определить расстояние от точки M(2; 0; 1) до плоскости :

x y 2z 9.

s

где s l,m,n – направляющий вектор прямой,

MM0 x1 x0, y1 y0,z1 z0 .

Рассчитаем координаты вектора MM0 :

MM0 1 3, 3 2, 2 1 4,1,3 .

Рассчитаем модуль векторного произведения:

16

1 1 1 3 2 4 1 2 3 2 4 1 2 1 2

42 22 62 56 214 .

Рассчитаем модуль вектора s:

s l2 m2 n2 22 12 12 6.

Следовательно,

Ответ:d 2 21. 3

Решение

плоскостям и .

В рассматриваемой задаче a1 3,1,2 , a2 1, 1,3 .

Рассчитаем скалярное произведение:

a1 a2 3 1 1 1 2 3 8.

Рассчитаем модули векторов a1 и a2 :

17

a1 32 12 22 14 ,

a2 12 1 2 32 11.

2x y 3z 7.

a s

где s l,m,n – направляющий вектор прямой р,

a A,B,C – вектор, перпендикулярный плоскости .

В рассматриваемой задаче s 1,1,2 , a 2, 1,3 .

Рассчитаем модуль скалярного произведения:

a s 1 2 1 1 2 3 3.

Рассчитаем модули векторов s и a:

s 1 2 12 22 6,

18

a 22 1 2 32 14 .

где s1 l1, m1, n1 , s2 l2, m2, n2 – направляющие векторы прямых р и q.

В рассматриваемой задаче s1 3,2, 1 , s2 2, 1,3 .

Рассчитаем скалярное произведение:

s1 s2 3 2 2 1 1 3 1.

Рассчитаем модули векторов s1 и s2 :

s1 32 22 1 2 14,

19

s2 22 1 2 32 14.

Следовательно,

Ответ: p,q arccos 1 .

14

Вариант № 0

Определить площадь треугольника MNK, где.M(5, –2, 3), N(4, 6, 1), K(3, 7, –8).

Решение

Площадь треугольника определяется по формуле:

1

S 2 MN MK .

Рассчитаем координаты векторов MN и MK :

MN 4 5, 6 2 ,1 3 1, 8, 2 ,

MK 3 5, 7 2 , 8 3 2, 9, 11 .

Рассчитаем модуль векторного произведения:

8 11 9 2 2 1 11 2 2 2 1 9 2 8 2

702 72 72 72 102 12 12 7102 .

Следовательно,

20