Исследование функций

21

∆xk f = f (x10 , x20 ,..., x(k −1)0 , xko + ∆xk , x(k +1)0 ,..., xn0 )− − f (x10 , x20 ,..., xn0 ).

называется полным приращением функции z = f (x, y) в любой фиксированной точке M (x, y) D .

Если функция z = f (x, y) имеет непрерывные частные производные в точке M (x, y) D , то выражение (1) можно записать как

в равенстве (2) z′x∆x + z′y ∆y называется главной частью полного приращения

Приращения ∆x и ∆y независимых переменных x и y называются дифференциалами и обозначается символами dx и dy : ∆x = dx , ∆y = dy .

Тогда формула полного дифференциала примет вид: dz = z′xdx + z′y dy .

З а м е ч а н и е 1. Для функции трех переменных u = f (x, y, z) полный дифференциал можно найти по формуле du = u′x dx +u′y dy +u′z dz .

22

Определение 6. Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в области D , если для любой точки M D полное приращение находится по формуле

∆z = ∂∂xz ∆x + ∂∂yz ∆y +α∆x + β∆y ,

где α и β – бесконечно малые функции вместе с ∆x и ∆y .

Теорема 1. Для того чтобы z = f (x, y) была дифференцируема в области

D , необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна вместе со своими частными производными z′x и z′y в области D .

Если z′x и z′y – дифференцируемы в некоторой области D′, то функции z′x и z′y имеют частные производные, которые назовём частными производными второго порядка (вторыми частными производными) функции z = f (x,y).

Введём обозначения:

z′xx′ , z′xy′ , z′yx′ , z′yy′ .

П р и м е р 5. Найти частные производные второго порядка функции z = x3 + y2 +ln(sin y +5).

Аналогично можно ввести частные производные третьего, четвёртого, …, n -ого порядков.

Определение 7. Функция z = f (x,y), имеющая непрерывные частные производные до n -ого порядка включительно в области D , называется n раз

непрерывно дифференцируемой в области D .

Теорема 2. Если функция n раз непрерывно дифференцируема в области D , то смешанные частные производные m -ого порядка (m = 2,3,..., n) не

зависят от порядка дифференцирования.

Определение 8. Полным дифференциалом второго порядка (вторым полным дифференциалом) называется полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка:

d 2 z = d (dz).

Найдём d 2 z .

d 2 z = d (z′xdx + z′ydy)= (z′xdx + z′ydy)′x dx +(z′xdx + z′ydy)′y dy =

=z′xx′ dx2 + z′yxdydx + z′xy′ dxdy + z′yy′ dy2 =

=z′xx′ dx2 +2z′xy′ dxdy + z′yy′ dy2 .

23

З а м е ч а н и е 2. Для функции трех переменных u = f (x, y, z) полный дифференциал второго порядка

d 2u = u′xx′ dx2 +u′yy′ dy 2 +u′zz′ dz 2 + 2u′xy′ dxdy + 2u′xz′ dxdz + 2u′yz′ dydz .

дифференциалы первого и второго порядка в точке M 0 (0,2,0) .

Решение. Находим частные производные функции первого порядка и подставляем их в формулу для полного дифференциала первого порядка.

u(x,y ,z) := 3xy tan(z) − yx 3z

Вычисляем частные производные второго порядка и полный дифференциал.

27

З а м е ч а н и е. В точках ext частные производные могут и не

В любой малой окрестности точки (0;0) приращение ∆f (0,0) не сохраняет знака. Следовательно, точка (0;0) не является точкой экстремума.

Определение 15. Точки, в которых z′x и z′y равны нулю или не

существуют, называются критическими точками на ext.

Теорема 6(достаточный признак). Пусть функция z = f (x, y) трижды непрерывно дифференцируема и точка P0 (x0 , y0 ) критическая, т.е. z′x = 0 и

Решение. Найдем частные производные первого порядка.

Для нахождения критических точек решим систему.

Given

zx(x,y) 0

zy(x,y) 0

Find(x,y) → 21

20

Точка (21,20) – критическая. С помощью частных производных второго порядка проверим достаточное условие существования экстремума.